\documentclass[12pt,a4paper]{article}

\usepackage{t1enc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{nicefrac}
\usepackage{mathptmx}
\renewcommand{\familydefault}{ptm}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts}
\usepackage{ae,aecompl}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{ntheorem}
\usepackage{eucal}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{lscape}

\bibliographystyle{ieeetr}
\sloppy
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\kB}{k_{\text{B}}}
\newcommand{\muB}{\mu_{\text{B}}}
\newcommand{\muN}{\mu_{\text{N}}}
\DeclareMathAlphabet{\mathbfsl}{OML}{cmm}{b}{sl}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}
\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}

\newtheorem{feladat}{Feladat}[section]

\title{ Alkalmazott Fizikai Módszerek Laboratórium \\
        Fizikus MSc \\[6cm]
        \huge \textbf{Elektronspin rezonancia}
        \vfill}

\author{ \textbf{Mérő neve: Márkus Bence Gábor} \\
         \textsl{Mérőpárok: Kaposvári István, Kórádi Zoltán} \\[5mm]
         Mérésvezető: Kürti Jenő}

\date{ \begin{flushright}
       Mérés ideje: 10/24/2013 \\
       Beadás ideje: 10/27/2013 \\[5mm]
       \end{flushright}}

\begin{document}

\begin{titlepage}

\setcounter{page}{0}

\maketitle
\thispagestyle{empty}

\end{titlepage}

\tableofcontents

\pagebreak

\section{A mérés rövid leírása}

Mérésünk során megismerkedtünk az elektronspin rezonancia módszerrel. Részletesen foglalkoztunk a Mn$^{2+}$ és Cr$^{3+}$ ionok spektrumával,
hiperfinom felhasadásával. A króm $g$-faktorát kalibrációként használva meghatároztuk a mangán $g$-faktorát, illetve megállapítottuk a mintában
található mangán atomok számát.

\section{Méréshez használt eszközök}

\begin{itemize}
\item ESR spektrométer
\item NMR magnetométer
\item Lock-In erősítő
\item Mérésvezérlő számítógép
\end{itemize}

\section{Elméleti összefoglaló}

Elektronspin rezonancia során a sztatikus mágneses tér hatására bekövetkező Zeeman-nívók közötti átmeneteket tudjuk vizsgálni. A felhasadások
karakterisztikájából következtetni tudunk az energianívókat befolyásoló tényezőkre, például a hiperfinom felhasadásra, illetve a vizsgált atom
környezetében lévő atomok befolyására ($g$-faktor eltérése a vákuumbeli $g_e=2.00232\dots$-tól).
Sztatikus mágneses tér hatására az atomi energiaszintek felhasadnak. Szilárdtestek esetén általában jó közelítéssel elmondható, hogy
$\langle L \rangle \approx 0$, így a spin-pálya csatolás elhanyagolható.
Ekkor a mágneses tér hatására (a hiperfinom tagot egyelőre figyelmen kívül hagyva) a Hamilton-operátor az alábbi taggal egészül ki:
%
\begin{equation}
\hat{H}_{\text{int}} = g_e \muB \mathbfsl{J} \mathbfsl{B}_0 \approx \hat{H}_{\text{int}} = g_e \muB S_z B_0,
\end{equation}
%
ahol $\muB = \frac{\hslash e}{2m_e}$ a Bohr-magneton, $\mathbfsl{J}$ az impulzusmomentum operátor, $\mathbfsl{B}_0$ a sztatikus mágneses tér
indukcióvektora ($\mathbfsl{B}_0 \parallel z$). A magspint is figyelembe véve, mely az elektronspinnel közvetlenül kölcsönhat az alábbi
formula írható:
%
\begin{equation}
\hat{H}_{\text{int}} = g_e \muB S_z B_0 - g_{\text{mag}} \muN I_z B_0 + A \mathbfsl{S}\mathbfsl{I},
\end{equation}
%
ahol $\muN$ a mag-magneton, $I_z$ a magspin operátor $z$ irányú komponense, $A$ a spin-spin csatolási állandó. Megjegyezzük, hogy $\muB$ $3$ nagyságrenddel
nagyobb, mint $\muN$.

A felhasított nívók között egy, a $\mathbfsl{B}_0$ térre merőleges, időben periodikusan váltakozó $\mathbfsl{B}_1$ mágneses térrel hozunk létre.
A vizsgált rendszernek az elektromágneses térből legalább egy kvantumnyi energiát ($\hslash \omega$) fel kell vennie az átmenethez, ezért a
mágneses rezonanciára a következő feltételt fogalmazhatjuk meg:
%
\begin{equation}
\Delta E = \hslash \omega = h \nu = g \muB B_0 + A m_I.
\end{equation}
%
A kiválasztási szabályok a következőek lesznek: $\Delta m_S = \pm 1$, $\Delta m_I = 0$.
Mérések során a $B_0$ mágneses tér nagyságát változtatjuk, és a $\nu$ frekvenciát állandónak tartjuk. Ennek az az oka, hogy a mágneses tér
nagysága nagyobb pontossággal állítható, mint a frekvencia. NMR méréstechnikában a helyzet fordított, mivel ott a mágneses tér legalább 1
nagyságrenddel nagyobb. Az abszorpciós csúcsok kiszelésedésének természetes oka a Heisenberg-féle határozatlansági reláció, illetve a műszer
véges mérési pontossága.

Szobahőmérsékleten az energianívók betöltöttsége Boltzmann-eloszlást követ. Elméleti úton belátható, hogy ebből következik,
hogy az ESR-jel intenzitásából, azaz a görbe által bezárt területből becsülhető a mintában lévő atomok száma. Ezen a ponton figyelembe
kell vennünk, hogy a mintához mérten megfelelő mikrohullámú teljesítményt alkalmazzunk, hogy a spineknek legyen idejük relaxálni. 

A mérési elrendezés \aref{fig:esr}. ábrán látható. A minta a mikrohullámú üreg geometriai közepébe kerül. 
%
\begin{figure}[hb]
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{pics/esr}
\caption{a) ESR-spektrométer blokkvázlata, b) Magic-Tee kinagyítva.}
\label{fig:esr}
\end{center}
\end{figure}
%
A mikrohullámú teret egy klisztonnal állítjuk elő, melyet az üreg rezonanciájára hangolunk mérés előtt. A spektrométer X-sávot használ,
azaz a mikrohullámok frekvenciája $9-10$ GHz között változik. Az ehhez tartozó mágneses tér nagysága néhány tized tesla. A mikrohullámok
egy részét a mintára juttatjuk, egy részét pedig a referenciaágba csatoljuk. Az üregből visszaverődő hullámokat a detektorok előtt
egyesítjük a referenciaággal, majd egy úgy nevezett \emph{balanced-mixer} segítségével (mely $2$ db detektordiódából áll) detektáljuk. 
Méréseink során a mintára jutó teljesítmény nagysága $2$ mW, a diódaáramok pedig $I_1 = 0.6$ mA, illetve $I_2 = 0.5$ mA nagyságúak voltak.
Mivel a detektálandó jel nagysága sok nagyságrenddel kisebb, mint a termikus zaj, ezért detektáláshoz egy Lock-In erősítőt használunk.
Ehhez szükséges, hogy a sztatikus mágneses teret (szinuszosan) moduláljuk, esetünkben $100$ kHz-cel. Ilyen módon a zajszűrés könnyedén
elvégezhető olyan módon, hogy a detektált jelben is a $100$ kHz körüli komponenseket keressük, mivel a válasz is ilyen modulációval fog rendelkezni.
A moduláció hatására a jel derivált Lorentz-görbe alakú lesz. A mérés elméletéről és a kísérleti elrendezésről további információ az \cite{kurti2013,
poole,bernathbsc,markusbsc} 
irodalmakban található.

\section{Mérési eredmények}

\subsection{Cr$^{3+}$ ionok vizsgálata}

A króm $53$-as izotópját mérésünkhöz kalibrációs anyagként használjuk, mivel $g$-faktora pontosan ismert:
$g_{\text{Cr}} = 1.9800 \pm 0.0001$. Ezen kívül ismert a minta krómtartalma: $N_{\text{Cr}}=8.3 \cdot 10^{13}$.
A króm a természetben többféle stabil izotópként fordul elő, ám ezek többsége zérus magspinnel rendelkezik, ez alól kivétel az $53$-as
izotóp, mely $I=3/2$ magspinnel bír, így ESR-spektrumában megtalálhatóak a hiperfinom vonalak. A spektrum közepén lesz a $0$ magspinű
izotópok által szolgáltatott intenzív jel, míg tőle szimmetrikusan $2-2$ helyezkednek el a hiperfinom csúcsok. Mivel a természetben mindössze
a króm magok $9.6\%$-a $53$-as, így a hiperfinom csúcsok összintenzitása $1/9$-ede a nagy csúcsénak. A krómról felvett teljes spektrum
\aref{fig:cr1}. ábrán látható. A spektrum felvétele során használt paraméterek \aref{tab:cr1}. táblázatban találhatóak.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.698\textwidth]{pics/cr1}
\caption{Króm ESR-spektruma, a vonalak kiemelésével.}
\label{fig:cr1}
\end{center}
\end{figure}

\begin{table}[h!]
\centering
	\begin{tabular}{|c|c|}
		\hline
		Erősítés & $20$ dB \\
		Érzékenység & $500~\mu$V \\
		Időállandó & $500$ ms \\
		Meredekség & $24$ dB/oktáv \\
		Moduláló frekvencia & $99000$ Hz \\
		Moduláció amplitudója & $0.198$ Gauss \\
		A mérés kezdőpontja & $3400$ Gauss \\
		A mérés végpontja & $3470$ Gauss \\
		\hline
	\end{tabular}
	\caption{Króm spektrumfelvételéhez használt beállítások.}
	\label{tab:cr1}
\end{table}

A hiperfinom csúcsok helyéből meghatározható a krómra vonatkozó spin-spin csatolási állandó. A csúcsok helyét derivált
Lorentz-görbe illesztés segítségével határozhatjuk meg. A görbe egyenlete:
%
\begin{equation}
f' = -\frac{2\tilde{A}}{w^2} \cdot \frac{B-B_0}{ \left(1+((B-B_0)/w)^2\right)^2},
\end{equation}
%
ahol $B_0$ a csúcs helye, $w$ a vonalszélessége, $T=\pi \tilde{A} w$ a területe. A hiperfinom csúcsok helyét \aref{tab:crhf}. táblázat foglalja össze:

\begin{table}[h!]
\centering
	\begin{tabular}{|c|c|}
		\hline
		$m_I$ & $B_0~(\text{G})$ \\ \hline
		$-3/2$ & $3411.42 \pm 0.98$ \\ \hline
		$-1/2$ & $3430.60 \pm 1.58$\\ \hline
		$1/2$ &  $3447.49 \pm 30.16$ \\ \hline
		$3/2$ &  $3465.2 \pm 6.443$ \\
		\hline
	\end{tabular}
	\caption{Hiperfinom csúcsok helyei a krómban.}
	\label{tab:crhf}
\end{table}

A rezonanciahelyek a következő egyenesre illeszkednek:
%
\begin{equation}
B(m_I) = B_0 + \frac{A}{g \muB}m_I.
\end{equation}
%
A csúcshelyekre illesztett egyenes \aref{fig:crlin}. ábrán látható.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.698\textwidth]{pics/crlin}
\caption{Spin-spin csatolási állandó meghatározása króm esetén.}
\label{fig:crlin}
\end{center}
\end{figure}

Az illesztésből $\frac{A}{g\muB} = 18.65 \pm 0.47$ adódott, innen a spin-spin csatolási állandó:
%
\begin{equation}
A = (342.5 \pm 8.6) \cdot 10^{-28}~\text{J} = 213.7 \pm 5.3~\text{neV}.
\end{equation}
%
$B_0$ ismeretében meghatározható a tér frekvenciája is:
%
\begin{equation}
\nu = \frac{g \muB B_0}{h} = 9.542 \pm 0.001~\text{GHz}.
\end{equation}

Mivel a hiperfinom csúcsokra illesztett görbék szélessége és intenzitása csak meglehetősen nagy hibával illeszthető, ezért a csúcsok 
alatti teljes területet a legintenzívebb $0$ magspinű csúcs segítségével határozzuk meg, az izotóparány ismeretében. Az illesztett görbe
\aref{fig:crnagy}. ábrán látható. Az illesztési paraméterek:
%
\begin{gather}
\tilde{A} = 10500 \pm 722, \\
w = 2.40 \pm 0.13~\text{G}, \\
B_0 = 3442.92 \pm 0.16~\text{G}.
\end{gather}
%
Innen a teljes terület:
%
\begin{equation}
T = \sum\limits_i T_i = \frac{100}{90.4} \tilde{A} w = 87\,575 \pm 7665~\text{G}.
\end{equation}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[angle=270,width=0.698\textwidth]{pics/crnagy}
\caption{Zérus magspinű krómionokból származó ESR-jel.}
\label{fig:crnagy}
\end{center}
\end{figure}

\subsection{Mn$^{2+}$ ionok vizsgálata}

A mangán esetén a magok közel $100\%$ rendelkezik $I=5/2$-es magspinnel. Várakozásunk tehát ez esetben, hogy $6$ db körülbelül
azonos intenzitású csúcsot lássunk. A mangánról készült teljes spektrum \aref{fig:mnteljes}. ábrán látható. A spektrumot \aref{tab:mn}. táblázatban
található beállítások mellett vettük fel.

\begin{table}[h!]
\centering
	\begin{tabular}{|c|c|}
		\hline
		Erősítés & $20$ dB \\
		Érzékenység & $2$ mV \\
		Időállandó & $500$ ms \\
		Meredekség & $24$ dB/oktáv \\
		Moduláló frekvencia & $99000$ Hz \\
		Moduláció amplitudója & $0.198$ Gauss \\
		A mérés kezdőpontja & $3200$ Gauss \\
		A mérés végpontja & $3650$ Gauss \\
		\hline
	\end{tabular}
	\caption{Mangán spektrumfelvételéhez használt beállítások.}
	\label{tab:mn}
\end{table}

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.698\textwidth]{pics/mnteljes}
\caption{Mangán ESR-spektruma.}
\label{fig:mnteljes}
\end{center}
\end{figure}

A rezonanciák helyét \aref{tab:mnrez}. táblázat foglalja össze.

\begin{table}[h!]
\centering
	\begin{tabular}{|c|c|}
		\hline
		$m_I$ & $B_0~(\text{G})$ \\ \hline
		$-5/2$ & $3228.20 \pm 0.20$ \\ \hline
		$-3/2$ & $3292.94 \pm 0.15$ \\ \hline
		$-1/2$ & $3359.84 \pm 0.18$\\ \hline
		$1/2$ &  $3428.08 \pm 0.20$ \\ \hline
		$3/2$ &  $3497.69 \pm 0.24$ \\ \hline
		$5/2$ &  $3568.38 \pm 0.22$ \\
		\hline
	\end{tabular}
	\caption{Hiperfinom csúcsok helyei a mangánban.}
	\label{tab:mnrez}
\end{table}

A magspin $z$ irányú vetületének függvényében a csúcshelyekre illesztett egyenest \aref{fig:mng}. ábra tartalmazza.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.698\textwidth]{pics/mng}
\caption{Mangán csúcshelyei a magspin $z$ irányú vetületének függvényében.}
\label{fig:mng}
\end{center}
\end{figure}

A tengelymetszetből, feltételezve, hogy a rezonanciafrekvencia továbbra is $\nu=9.542$ GHz a mangánra vonatkozó $g$-faktor meghatározható:
%
\begin{equation}
g_{\text{Mn}} = \frac{h \nu}{\muB B_0} = 2.00589 \pm 0.00056.
\end{equation}
%
Az egyenes meredekségéből és a meghatározott $g$-faktorból a spin-spin csatolási állandó is meghatározható:
%
\begin{equation}
A = (1.27 \pm 0.01) \cdot 10^{-25}~\text{J} = 792.7 \pm 6.2~\text{neV}.
\end{equation}

A teljes területet mangán esetében hasonlóan kaphatjuk, mint króm esetén. Mivel a mérés során nem volt idő mind a 6 csúcs részletes
feltérképezésére, ezért azzal a feltételezéssel éltünk, hogy a csúcsok paraméterei jó közelítéssel egyformák. Részletesen egy csúcs
spektrumát vettük fel, ennek területe a teljes terület $1/6$-a. Az illesztett görbe \aref{fig:mnnagy}. ábrán látható.

\begin{figure}[h!]
\begin{center}
\includegraphics[angle=270,width=0.698\textwidth]{pics/mnnagy}
\caption{Kinagyított mangán rezonanciacsúcs.}
\label{fig:mnnagy}
\end{center}
\end{figure}

Az illesztett csúcs paraméterei:
%
\begin{gather}
\tilde{A} = 20229 \pm 668, \\
w = 1.106 \pm 0.024~\text{G}, \\
B_0 = 3358.19 \pm 0.06~\text{G}.
\end{gather}
%
Az illesztett görbéből meghatározható a teljes terület:
%
\begin{equation}
T = 6\pi \tilde{A} w = (4.22 \pm 0.17) \cdot 10^{5}~\text{G}.
\end{equation}
%
Mangán esetén az érzékenység $M=4$-szer nagyobb volt, ezért a mangán atomok száma az alábbi módon számolható:
%
\begin{equation}
N_{\text{Mn}} = M N_{\text{Cr}} \frac{T_{\text{Mn}}}{T_{\text{Cr}}} = (1.60 \pm 0.15)\cdot 10^{15}.
\end{equation}

\pagebreak

\section{Bónusz feladatok}

\begin{feladat}A legtöbb ESR-spektrométer $10$ GHz frekvencián és kb. $0.3$ T mágneses térnél működik. Milyen előnyei illetve hátrányai lennének
ha feljebb, illetve lejebb mennénk.\end{feladat}

Célszerű a két paramétert, bár anyagonként szorosan csatolt mégis külön tárgyalni. Frekvencia esetében amennyiben lefelé mennénk egyre
nagyobb fizikai méreteket öltene a rendszer, mivel a \emph{waveguide}-ok mérete a frekvencia reciprokával növekednek. Némi előnyt jelentene,
hogy lassabb válaszidejű elemeket is lehetne alkalmazni, illetve az alacsonyabb frekvenciákon működő oszcillátorok pontosabbak. Nagyobb
frekvencia esetén a legnagyobb nyereség a fizika méreteken lenne, ám cserébe bonyolultabb elektronikát és más detektorokat kellene használnunk.

Mágneses tér esetén amennyiben kisebb tereket állítanánk elő sokkal kevesebb anyagból megoldható lenne az elektromágnes, ezzel mind kisebb,
mind jóval könnyebb és költséghatékonyabb lenne a rendszer. Hátránya az volna, hogy az amúgy is kis effektusnak számító rezonancia intenzitása
leesne. Nagy mágneses térnél megkerülhetetlen a szupravezető mágnesek használata, melyek viszont a használatukhoz hélium rendszert is igényelnek.
Az egész konstrukció így meglehetősen drága és rugalmatlan. Nyilván nagy mágneses tér esetén, gyengébb átmenetek is gond nélkül vizsgálhatóak.

Amennyiben egy adott anyagra nézzük a frekvencia, mágneses tér párt, úgy leginkább mindkettő növeléséből profitálnánk, mivel ekkor
nőne a jel intenzitása. Megjegyezzük továbbá, hogy a legtöbb disszipáció a frekvenciával arányos, így magasabb frekvenciájú spektrométer
működtetéséhez több energiát is kellene befektetni.

\begin{feladat}Miért $100$ kHz a Lock-In modulációjának sebessége?\end{feladat}

A Lock-In modulációs sebességét elsősorban az üreg sávszélessége, azaz fizikai méretei határozzák meg. Amennyiben túl gyorsan
modulálnánk az üreget hagyományos értelemben nem kapnánk választ, az üregben lévő térnek nincs ideje felépülnie. Ilyen esetekben
elterjedt az optikából jól ismert PDH (Pound--Drever--Hall) módszer.

Egyéb korlátozó tényező lehet a diódák karakterisztikája, illetve, hogy az alacsonyabb frekvenciákon üzemelő Lock-In-ok maximális
modulációs sebessége $100$ kHz, a magas frekvenciás Lock-In erősítők pedig jelentősen drágábbak.

\begin{feladat}Miért tekinthetőek közel azonosnak a hiperfinom csúcsok területei?\end{feladat}

A hiperfinom felhasadás karakterisztikus energiái, mint azt korábban láttuk $\mathcal{O}(10^{-25}~\text{J})$ nagyságrendűek. Ehhez képest a termikus
$k_B T_{300~\text{K}} \sim \mathcal{O}(10^{-21}~\text{J})$ lényegesen nagyobb. Emiatt a rendszerünk eloszlását a termikus egyensúly dominálja,
azaz a magspinek beállásának valószínűsége egyenlő, eloszlásuk egyenletes.

\begin{feladat}H atom ESR spektruma?\end{feladat}

A hidrogénatom alapállapoti konfigurációja 1s$^1$, azaz feles spinű. Mivel a magja egyetlen protonból áll, így magspinje is feles. 
A kiválasztási szabályokat kielégítve ilyen módon kétféle átmenet valósulhat meg, azaz két csúcsot kapunk a spektrumban.

A spin-spin csatolási állandó arányos a csúcsok távolságával. Míg H esetén a két csúcs távolsága $400-500$ G, addig Mn esetén $50-60$ G-t
tapasztaltunk. Ennek oka, hogy az egyetlen elektron sokkal erősebben tud csatolni a maggal, mint egy sokelektronos rendszer külső elektronjai.

\bibliography{markus}

\end{document}
