Analízis III

Analízis III

Simon László előadása alapján

ELTE, 2009. December

Előadó e-mail címe: simonl a ludens.elte.hu-nál

Ez a jegyzet nem szakirodalom s nem garantált, hogy az órai anyagot teljesen lefedi, az előadásokra bejárni ajánlott.

Ha a jegyzetben helyesírási, tartalmi vagy formai hibát találsz, kérlek jelezd az előadónak vagy a tuzesdaniel@gmail.com e-mail címen! Ha a jegyzet nem jelenik meg helyesen, olvasd el az útmutatót, vagy egyszerűen használd a Firefox legújabb böngészőjét!

09.07

Differenciálegyenletek

(Simon Péter helyettesít) Mi a differenciálegyenlet?

Pl

  1. x ¨ ( t ) = ω 2 x ( t )
  2. x ¨ ( t ) = F ( t ) / m
  3. t u = Δ u
  4. x ˙ ( t ) = x ( t 1 )

Ezeket lehet rendszerezni: ODE (ordenary differential equation, azaz közönséges differenciál-egyenlet, 1-es és 2-es), PDE (partial differential equation, 3-as), FDE (functional differential equation, 4-es).

Most az ODE-val foglalkozunk. Mi a közönséges differenciál-egyenlet?

Definíció: legyen F : n + 2 , n-edrendű közönséges differenciálegyenlet: t -re 0 = F ( t , x ( t ) , x ˙ ( t ) , x ¨ ( t ) ,..., x ( n ) ( t ) )

Megjegyzés: egy ilyen n-edrendű egyenlet átírató elsőrendű rendszerré. Pl: x ¨ ( t ) = ω 2 x ( t ) egyenletet átírjuk: y 1 ( t ) = x ( t ) , y 2 ( t ) = x ˙ ( t ) . Ekkor y-ra az alábbi elsőrendű, kétismeretlenes rendszer áll fenn:
y ˙ 1 ( t ) = y 2 ( t ) y ˙ 2 ( t ) = ω 2 y 1 ( t )

n-edrendűnél: y 1 = x , y 2 = x ˙ , … , y n = x ( n 1 ) . Ekkor ( y 1 ,..., y n ) -re elsőrendű rendszert kapunk.

Definíció: legyen f : × n n , x ˙ ( t ) = f ( t , x ( t ) ) elsőrendű (explicit) közönséges differenciálegyenlet-rendszer. Ismeretlen az x : n függvény. Koordinátánként kiírva:
x ˙ 1 ( t ) = f 1 ( t , x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ,..., x n ( t ) ) x ˙ 2 ( t ) = f 2 ( t , x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ,..., x n ( t ) ) x ˙ n ( t ) = f n ( t , x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ,..., x n ( t ) )

Mivel foglalkozik a közönséges differenciálelmélet?

  1. Mi a megoldás? Azaz számítsuk ki a megoldást. (Ezt már tanultuk.) Vannak:
    1. képlettel megoldhatók
    2. képlettel nem megoldhatók (de numerikusan közelíthetők)
  2. Megoldás létezésének, egyértelműségének keresése, függése a paraméterektől
  3. Milyen a megoldás? Pl periodikus-e, korlátos-e… A megoldást szeretnénk jellemezni annak kiszámítása nélkül. Pl x ˙ = x és x ( 0 ) > 0 . Ekkor egyből látjuk, hogy x szigmon nő, akkor is, amikor még nem tudtuk, hogy konkrétan mi a megoldás.

Közönséges differenciálegyenlet megoldásának létezése és egyértelműsége

Pl: x ˙ ( t ) = x ( t ) , ennek egy jó megoldása x ( t ) = c e t , c , azaz végtelen sok megoldás van. Legyen kezdeti feltétel: x ( 0 ) = a adott. Ekkor már csak 1 megoldás van az ilyen fajtákból: c e 0 = a c = a , vagyis a megoldás x ( t ) = a e t . De más fajtából lehetne még megoldás? Nem, ugyanis:
x ˙ ( t ) = x ( t ) x ˙ ( t ) e t x ( t ) e t = 0 ( x ( t ) e t ) = 0 x ( t ) e t = c

Az implikáció csak akkor igaz, ha D ( x ) (azaz a differenciáloperátor) egy intervallumon van értelmezve. Tehát k : x ( t ) e t = k x ( t ) = k e t . A megoldás egyértelmű, mert bármilyen kezdőfeltételt adok meg, lesz pontosan 1 megoldás.

Másik példa: x ˙ ( t ) = | x ( t ) | . Mi a megoldás x > 0 -ra? x ˙ ( t ) x ( t ) = 1 2 x ( t ) = t + c x ( t ) = ( t + c 2 ) 2 . Hamis gyökök a parabolák „bal oldalai”. x < 0 esetén a megoldás „lefelé fordított parabolák bal oldalai”, hamis megoldás a parabolák „jobb oldalai”. x = 0 esetén mindkét fajta megoldás jó. Így adott kezdeti feltétel mellett végtelen sok megoldás létezik. Ha x ( t 0 ) = a a kezdeti feltétel, akkor a > 0 esetén a megoldás csak lokálisan egyértelmű, de globálisan nem.

Mitől lesz a megoldás egyértelmű?

Tétel: ha x ˙ ( t ) = f ( t , x ( t ) ) közönséges diffegyenletben az f függvény az x változóban teljesíti a lokális Lipschitz feltételt, akkor a megoldás egyértelmű. Vagyis ha minden pont egy alkalmas környezetéhez L + : | f ( t , p ) f ( t , q ) | L | p q | , akkor a megoldás egyértelmű.

Pl: g ( x ) = 5 x , vagy g ( x ) = x 2 teljesítik a lokális Lipschitz feltételt, de a g ( x ) = | x | már nem. Ez utóbbi 0-ban nem lok. Lip, csak 1-ben pl.

Észrevétel: ha a derivált létezik, és korlátos minden pont környezetében, akkor lok. Lip.

A tétel bizonyítása az alábbi lemmán alapszik: Gronwall lemma (egyszerű eset): legyen u : [ a , b ] diffható, melyhez k + : u ˙ ( t ) k u ( t ) t [ a , b ] . Ekkor u ( t ) u ( a ) e k ( t a ) t [ a , b ] .

Bizonyítás: beszorzunk e k t -vel:
u ˙ ( t ) e k t k u ( t ) e k t 0 ( u ( t ) e k t ) 0 u ( t ) e k t u ( a ) e k a u ( t ) u ( a ) e k ( t a )
Tétel bizonyítása: legyen x és y két megoldás, amelyekhez τ : x ( τ ) = y ( τ ) . Belátjuk, hogy x ( t ) = y ( t ) t . Bizonyítás n = 1 esetre: u ( t ) = ( x ( t ) y ( t ) ) 2 , u ˙ ( t ) = 2 ( x ( t ) y ( t ) ) ( x ˙ ( t ) y ˙ ( t ) ) = 2 ( x ( t ) y ( t ) ) ( f ( t , x ( t ) ) f ( t , y ( t ) ) ) . u ˙ ( t ) | u ˙ ( t ) | = 2 | x ( t ) y ( t ) | | f ( t , x ( t ) ) f ( t , y ( t ) ) | 2 | x ( t ) y ( t ) | L | x ( t ) y ( t ) | = 2 L u ( t ) Gronwall alkalmazása: u ( t ) u ( a ) e 2 L ( t a ) , u ( τ ) = 0 u ( t ) = ( x ( t ) y ( t ) ) 2 0 x ( t ) = y ( t ) t τ . Hasonlóan igaz a t τ -ra is.

09.14

A Hilbert tér geometriája, Fourier sorfejtés

Kiegésztés: fogalmaink használatához be kell vezetni a komplex Euklideszi tér fogalmát.
Komplex vektortér: a definíció analóg a valós vektortér definíciójával, kivéve: komplex számmal való szorzás is értelmezve van, a műveleti tulajdonságok ugyanazok.

Komplex Euklideszi tér: komplex vektortér (az alaptest a komplex számok halmaza, ), plusz 2 elem skalárszorzata is értelmezve van, értéke komplex szám. A műveleti tulajdonságok analógok, eltérés: x , y = y , x ¯ (a felülhúzás a komplex konjugálás), ekkor amúgy λ x , y = λ x , y és x , λ y = λ ¯ x , y . (Vegyük észre, hogy a komplex vektortereken értelmezett skaláris szorzás kétféleképp definiálható. Itt - és a matematikában általában - a skaláris szorzás az első változójában lineáris és a másodikban konjugált lineáris. Fizikában fordítva, azaz az első változójában lineáris, a másodikban konjugált lineáris: λx,y = λ ¯ x,y , illetve x,λy =λ x,y .)

Megjegyzés, példák komplex euklideszi térre:

Ortogonális kiegészítő altér

Definíció: legyen X Hilbert tér (vagy akár Banach is). Egy Y X halmazt altérnek nevezzük, ha az összeadás és számmal való szorzás nem vezet ki belőle és zárt részhalmaz (a konvergencia nem vezet ki).

Definíció: legyen X Hilbert tér, s két eleme x és y. Ezek merőlegesek, vagyis x y , ha x , y = 0 .

Definíció: legyen X Hilbert tér, Y X altér. Azt mondjuk, hogy az x X elem Y ortogonális, ha y Y -ra x , y = 0 .

Definíció: legyen X Hilbert tér, Y X altér. Az Y altér ortogonális kiegészítő altérét, Y -t így értelmezzük: Y : = { x X : x Y } .

Állítás: Y X is altér.

Bizonyítás: az összeadás és számmal való szorzás nem vezet ki belőle, ugyanis tfh y 1 , y 2 Y , x Y tetszőleges. Ekkor λ 1 y 1 + λ 2 y 2 , x = λ 1 y 1 , x + λ 2 y 2 , x = 0 . Y zárt halmaz, ugyanis legyen y j Y , lim ( y j ) = y X . Tudjuk, hogy y j , x = 0 x Y . y j y y j , x y , x minden rögzített x-re, ugyanis a skalárszorzat a tényezőktől folytonosan függ, tehát y , x = 0 , x X -re, vagyis y Y .

Megjegyzés: komplex Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség, azaz | x , y | x y bizonyítása:
0 x + λ y , x + λ y = x , x + λ y , x + λ ¯ x , y + λ λ ¯ y , y 0 x , x + λ y , x + λ ¯ [ x , y + λ y , y ]
A λ számot válasszuk meg úgy, hogy λ ¯ együtthatója 0 legyen. Ez teljesül, ha λ = x , y y , y ( y = 0 triviális eset, így feltesszük, hogy y 0 ), behelyettesítve: 0 x , x x , y y , y y , x = x , x | x , y | 2 y , y | x , y | 2 x , x y , y .

Riesz-féle felbontási tétel: legyen X Hilbert tér, Y egy altere, Y az Y-nak ortogonális kiegészítő altere! Ekkor x X elemre x = y + z , ahol y Y , z Y és a felbontás egyértelmű.

Lemma (paralelogramma egyenlőség): legyen X egy Hilbert tér. Ekkor a , b X esetén a + b 2 + a b 2 = 2 a 2 + 2 b 2 .

Bizonyítás (lemmáé): a + b 2 + a b 2 = a + b , a + b + a b , a b = = a 2 + b 2 + a , b + b , a + a 2 + b 2 a , b b , a = 2 a 2 + 2 b 2 .

Bizonyítás (tételé): legyen d : = inf { x y : y Y } 0 (d véges). Belátjuk, hogy y 0 Y : x y 0 = d . Az infinimum definíciója miatt y j Y : d 2 x y j 2 < d 2 + 1 / j j . Tekintsük az ( y j ) sorozatot!
Állítás: ( y j ) Cauchy sorozat. Ehhez felhasználjuk a paralelogramma egyenlőséget: a : = x y j , b : = x y k . ( x y j ) + ( x y k ) 2 + ( x y j ) ( x y k ) 2 = 2 x y j 2 + 2 x y k 2 , y k y j 2 = 2 x y j 2 + 2 x y k 2 2 x ( y j + y k ) 2 4 x y j + y k 2 2 2 ( d 2 + 1 / j ) + 2 ( d 2 + 1 / k ) 4 d 2 = 2 j + 2 k < ε , ha j , k j 0 .
Mivel X tér teljes y 0 X : lim j y j y 0 = 0 . Mivel Y altér zár halmaz y 0 = lim ( y j ) Y .
Másrészt d = inf { x y : y Y } , d 2 x y j 2 < d 2 + 1 j és lim ( y j ) = y 0 x y 0 2 = d 2 , mivel x y 0 = lim x y j . Legyen z 0 = x y 0 . Be kellene még látni, hogy z 0 Y , vagyis x = y 0 + z 0 , ahol y 0 Y , z 0 Y .
Legyen yY ! Mivel d a fenti infinimum, ezért tetszőleges λ 𝕂 esetén d 2 = x y 0 2 x y 0 λ y 2 = = z 0 λ y 2 = z 0 λ y , z 0 λ y = z 0 2 λ y , z 0 λ ¯ [ z 0 , y λ y 2 ] . Most λ -t megint úgy választjuk, hogy λ ¯ együtthatója 0 legyen, vagyis legyen λ = z 0 , y y 2 (megint feltehetjük, hogy y 0 ). Tehát d 2 d 2 λ y , z 0 = d 2 z 0 , y y 2 y , z 0 = d 2 | z 0 , y | 2 y 2 , 0 | z 0 ,y | 2 y 2 | z 0 ,y | 2 =0 z 0 ,y =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaaGimaiabgsMiJkabgkHiTmaalaaabaWaaqWaaeaadaaadaqaaiaadQhadaWgaaWcbaGaaGimaaqabaGccaGGSaGaamyEaaGaayzkJiaawQYiaaGaay5bSlaawIa7amaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOqaamaafmaabaGaamyEaaGaayzcSlaawQa7amaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccqGHshI3daabdaqaamaaamaabaGaamOEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacYcacaWG5baacaGLPmIaayPkJaaacaGLhWUaayjcSdWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaeyypa0JaaGimaiabgkDiEpaaamaabaGaamOEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiaacYcacaWG5baacaGLPmIaayPkJaGaeyypa0JaaGimaaaa@7B8A@ . Tehát z 0 Y MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOEamaaBaaaleaacaaIWaaabeaakiabgIGiolaadMfadaahaaWcbeqaaiabgwQiEbaaaaa@588A@ , vagyis valóban lehetséges ilyen felbontás.
Indirekt bizonyítjuk, hogy a felbontás egyértelmű. Tfh két alakban is felírható x: x = y 0 + z 0 = y 1 + z 1 , ahol y 1 , y 2 Y és z 1 , z 2 Y . Y ( y 0 y 1 ) : = a = ( z 1 z 0 ) Y .

y 0 y 1 , z 1 z 0 = a 2 =0 y 0 y 1 = z 0 z 1 =0 y 0 = y 1 , z 0 = z 1
09.21

Ortogonális rendszerek

Definíció: egy X vektortérben az M halmaz elemei lineárisan függetlenek, ha bármely véges sok lineárisan független.

Definíció: legyen X normált tér! X dimenziója az olyan lineárisan független elemek maximális száma, amelyek véges lineárkombinációi mindenütt sűrűn vannak X-ben (egy A X sűrű X-ben, ha A ¯ = X , ahol a halmaz felülvonása a lezárást jelenti, ez amúgy ekvivalens azzal, hogy x X -nek minden környezetében van A-beli elem). Másképp fogalmazva: jelöljük ( x 1 , x 2 ,... ) -val azt a lineáris teret, amely az x 1 , x 2 ,... elemek véges lineárkombinációjaként előáll. (Az előálló lineáris tér egyértelmű, de egy teret több ilyen vektorrendszer is előállíthat.) Ekkor X tér dimenziója az olyan lineárisan független elemek maximális száma, melyekre ( x 1 , x 2 ,... ) ¯ = X . A D dimenziószám egyértelmű, 0 D .

Definíció: egy X normált teret szeparábilisnak nevezünk, ha benne megadható megszámlálhatóan sok (azaz véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok) lineárisan független elem, amelyek véges lineárkombinációi sűrűn vannak X-ben.

Definíció: legyen X Hilbert-tér! Azt mondjuk, hogy az x 1 , x 2 ,..., x k ,... elemek ortogonális rendszert alkotnak, ha x j , x k 0 esetén x j , x k = { 0 j k nem 0 j = k . A rendszer ortonormált, ha x X esetén x = 1 .

Kérdés: ha az X Hilbert-térben y 1 , y 2 ,..., y k ,... lineárisan függetlenek, akkor lehet-e ezekből ortonormált rendszert konstruálni, és ha igen, hogyan? Válasz: lehet, az ún. Schmidt-féle ortogonalizációs eljárással.

Tétel: az y 1 , y 2 ,..., y k ,... lineárisan független elemekhez megkonstruálhatók az x 1 , x 2 ,..., x k ,... elemek úgy, hogy az utóbbiak ortonormált rendszert alkossanak, mégpedig úgy, hogy k -ra ( x 1 , x 2 ,..., x k ) = ( y 1 , y 2 ,..., y k ) .

Bizonyítás:

  1. legyen x 1 = y 1 y 1 , ekkor x 1 = 1 . y 1 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiabgcMi5kaaicdaaaa@56CA@ , mert y 1 , y 2 ,... MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamyEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaWG5bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaaiilaiaac6cacaGGUaGaaiOlaaaa@59AF@ lineárisan függetlenek.
  2. z 2 : = y 2 λ 1 x 1 , ahol λ 1 . Ezt hogy válasszuk meg, hogy z 2 x 1 teljesüljön? 0 = z 2 , x 1 = y 2 λ 1 x 1 , x 1 = y 2 , x 1 λ 1 x 1 , x 1 = 1 λ 1 = y 2 , x 1 . Ekkor z 2 0 , mert y 1 , y 2 lineárisan függetlenek. x 2 : = z 2 z 2 , ekkor x 2 = 1 és x 1 , x 2 = 0 .
  3. z 3 : = y 3 μ 1 x 1 μ 2 x 2 , ahol μ 1 , μ 2 . Ezeket hogy válasszuk meg, hogy z 3 x 1 , x 2 teljesüljenek? 0 = y 3 μ 1 x 1 μ 2 x 2 , x 1 = y 3 , x 1 μ 1 0 μ 1 = y 3 , x 1 0 = y 3 μ 1 x 1 μ 2 x 2 , x 2 = y 3 , x 2 0 μ 2 μ 2 = y 3 , x 2 . z 3 0 y 1 , y 2 , y 3 lineáris függetlensége miatt, ezért x 3 : = z 3 z 3 jó választás, így x 3 = 1 és x 3 x 1 , x 2 .

Nem nehéz belátni, hogy az eljárás folytatható k -ra és ( y 1 , y 2 ,..., y k ) = ( x 1 , x 2 ,..., x k ) .

Ortogonális sorok, Fourier-sorok

A továbbiakban legyen X szeparábilis Hilbert-tér, véges vagy végtelen dimenziós! Tudjuk, hogy ekkor X-ben megadható x 1 , x 2 ,..., x k ,... ortonormált rendszer. Egy k c k x k alakú sort (összeget) – ahol c k 𝕂 – ortogonális sornak nevezünk.

Tételek:

  1. egy k c k x k sor konvergens k | c k | 2 <
  2. ha x = k c k x k , akkor c l = x , x l
  3. x 2 = k | c k | 2 (végtelen dimenziós Pitagorasz tétel).

Bizonyítás:

  1. Véges dimenzióban triviális, így tegyük fel, hogy végtelen sok elemű az ortonormált rendszer! Legyen s j : = k = 1 j c k x k ! A sor konvergenciája azt jelenti, hogy ( s j ) sorozat konvergens ( s j ) Cauchy sorozat. s j s l 2 = s j s l , s j s l = k=l+1 j c k x k , k=l+1 j c k x k = k=l+1 j c k c k ¯ x k , x k =1 = k=l+1 j | c k | 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@AAF4@ . Ez a k = 1 | c k | 2 sor egy „szelete”. Tehát ( s j ) X-beli sorozatra teljesül a Cauchy-kritérium k = 1 | c k | 2 sorra teljesül a Cauchy-kritérium ( s j ) X-beli sorozat konvergens k = 1 | c k | 2 sor konvergens.
  2. tfh x = k c k x k , x l -lel szorozzuk skalárisan (jobbról) az egyenlőséget (ezt megtehetjük, hisz nem nehéz belátni, hogy egy konvergens sor tagonként szorozható skalárisan), x , x l = k c k x k , x l = k c k x k , x l = c l
  3. x 2 = x , x = k c k x k , x = k c k x k , x c ¯ k = k | c k | 2

Definíció: legyen x 1 , x 2 ,..., x k ortonormált rendszer, x X adott elem! Értelmezzük az x elem k-adik Fourier-együtthatóját: c k : = x , x k . Az így adódó k c k x k „sort” az x elem Fourier-sorának nevezzük.

Kérdés: egy x elem Fourier-sora konvergens-e? Ha igen, mi az összege?

Tétel: egy x X elem Fourier sora mindig konvergens, ugyanis teljesül az ún. Bessel-egyenlőtlenség: k | c k | 2 x 2 . A sor összege pontosan akkor x, ha teljesül az ún Parseval egyenlőség, azaz k | c k | 2 = x 2 .

Bizonyítás: s j : = k = 1 j c k x k , ekkor 0 x s j 2 = x s j ,x s j = x 2 s j ,x x, s j + s j 2 = MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@83C9@ = x 2 k = 1 j c k x k , x x , k = 1 j c k x k + k = 1 j c k x k , k = 1 j c k x k = = x 2 k = 1 j c k c ¯ k k = 1 j c ¯ k c k + k = 1 j c k c ¯ k = x 2 k = 1 j | c k | 2 k = 1 j | c k | 2 x 2 k = 1 | c k | 2 x 2 , másrészt a fentiek szerint x s j 2 = x 2 k = 1 j | c k | 2 . Ebből láthatjuk, hogy s j x x 2 k | c k | 2 = 0 , vagyis a sor összege pontosan akkor x, ha x 2 k | c k | 2 = 0 .

Tétel: legyen x 1 , x 2 ,..., x k ,... ortonormált rendszer. Ekkor egy x X elem Fourier-sorának összege az x elemnek az X 0 : = ( x 1 , x 2 ,..., x k ,... ) ¯ X alterén vett merőleges vetülete.

Bizonyítás: jelölje x * : = k c k x k , ahol c k : = x , x k . Azt kellene belátni, hogy x * X 0 és ( x x * ) X 0 . x * X 0 , ugyanis k = 1 j c k x k ( x 1 , x 2 ,..., x j ) , így k c k x k X 0 . ( x x * ) X 0 ugyanis először legyen y( x 1 , x 2 ,..., x l ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamyEaiabgIGiolabkkrimnaabmaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaakiaacYcacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaikdaaeqaaOGaaiilaiaac6cacaGGUaGaaiOlaiaacYcacaWG4bWaaSbaaSqaaiaadYgaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaaaaa@619C@ tetszőleges! Belátjuk, hogy x x * , y = 0 . y = j = 1 l d j x j , x x * , y = x , y x * , y = x , j = 1 l d j x j k c k x k , j = 1 l d j x j = j = 1 l d ¯ j x , x j c j j = 1 l d ¯ j k c k x k , x j c j = 0 . Most legyen y X 0 = ( x 1 , x 2 ,... ) ¯ , szeretnénk, ha ekkor x x * , y = 0 is igaz lenne. Ehhez vegyünk egy ( y ν ) , ( x 1 , x 2 ,... ) -beli konvergens sorozatot, melyre y ν y . Ekkor x x * , y ν = 0 . Így, mivel y ν y , x x * , y = 0 , ugyanis | x x * ,y |=| x x * ,y x x * , y ν |=| x x * ,y y ν | x x * y y ν 0 0 .

Definíció: az x 1 , x 2 ,... ortonormált rendszert zártnak nevezzük, ha ( x 1 , x 2 ,... ) ¯ = X .

Következmény: ha az x 1 , x 2 ,... ortonormált rendszer zárt, akkor x X elem Fourier-sorának összege x.

Definíció: egy x 1 , x 2 ,... ortonormált rendszert teljesnek nevezzük, ha x x k k x = 0 .

Tétel (bizonyítás nélkül): egy x 1 , x 2 ,... ortonormált rendszer teljes zárt.

09.28

Példák zárt (teljes) ortonormált rendszerekre

Észrevétel: ha y 1 , y 2 ,..., y k ,... lineárisan független olyan rendszer, hogy ( y 1 , y 2 ,... ) ¯ = X (X Hilbert-tér, a lineárisan független rendszer zárt), akkor ebből a Schmidt ortogonalizálási eljárással zárt (teljes) ortonormált rendszert kapunk.

  1. Konkrét pl: X : = L 2 ( a , b ) , ahol ( a , b ) véges intervallum.

Tétel: ebben az t 1, t t , t t 2 ,..., t t k ,... lineárisan független függvények zárt rendszert alkotnak.

Bizonyítás (vázlat): egyrészt a függvényrendszer lineárisan független: j=0 k a j t j =0 a j =0 . (Egy valós k-ad fokú polinomnak legfeljebb k db gyöke lehet k1 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaam4AaiabgwMiZkaaigdaaaa@55CC@ .) Az, hogy a rendszer zárt, következik a Weierstrass approximációs tételéből. Eszerint tetszőleges f : [ a , b ] folytonos függvényhez P k polinom sorozat, amely egyenletesen tart f-hez. Legyen g : ( a , b ) , g L 2 ( a , b ) . A Lebesgue integrál felépítéséből kiolvasható, hogy g : [ a , b ] folytonos függvények sűrűn vannak L 2 ( a , b ) -n. A g folytonos függvényt Weierstrass approximációs tétele szerint tetszőleges előírt pontossággal meg lehet közelíteni polinomokkal, a szuprémum normában ezek közelítik g-t L 2 normában is.

  1. Komplex trigonometrikus rendszer X : = L 2 ( 0,2 π ) , ϕ k ( t ) : = e i k t , t ( 0,2 π ) , k .

Tétel: a fenti függvények egy zárt ortogonális rendszert alkotnak (biz. nélkül). Belátjuk, hogy ( ϕ k ) k ortogonális. 0 2 π ϕ k ( t ) ϕ l ( t ) ¯ d t = 0 2 π e i k t e i l t d t = 0 2 π e i ( k l ) t = [ e i ( k l ) t i ( k l ) ] t = 0 2 π = 0 ha k l . ψ k : = 1 2 π ϕ k már ortonormált rendszer.

  1. valós trigonometrikus rendszerek.

Legyen az X alaphalmaz a valós L 2 ( 0,2 π ) . e i k t = cos ( k t ) + i sin ( k t ) , cos ( k t ) = e i k t + e i k t 2 , sin ( k t ) = e i k t e i k t 2 i . Egyszerű számolással adódik, hogy 1, cos t , sin t , cos ( 2 t ) , sin ( 2 t ) ,..., cos ( k t ) , sin ( k t ) ,... függvények páronként merőlegesek. Tehát ezek ortogonális rendszert alkotnak a valós L 2 ( 0,2 π ) -ben. Abból, hogy a komplex trigonometrikus rendszer zárt a fenti rendszer valós ortogonális zárt rendszer.

A fentiekből következik, hogy egy tetszőleges f L 2 ( 0,2 π ) függvénynek akár a komplex, akár a valós trigonometrikus rendszer szerint Fourier sora előállítja a függvényt L 2 normában.

  1. Az 1, cos t , cos ( 2 t ) ,..., cos ( k t ) ,... függvényrendszer zárt és ortogonális a L 2 ( 0, π ) -ben. A szinuszos ugyanígy.

Lineáris és korlátos operátorok

Állítás: legyen X, Y normált terek! Korábban bizonyítottuk, hogy A : X Y lineráis operátor folytonos A korlátos.

Definíció: egy A : X Y lineáris operátort korlátosnak nevezzük, ha c 0 : A x Y c x X x X .

Tétel: legyen X normált tér, Y teljes normált tér (Banach tér), A : M Y korlátos lineáris operátor, ahol M X lineáris altér, de nem kell zártnak lennie. Ekkor az A-nak egyértelműen létezik korlátos lineáris kiterjesztése az M ¯ -ra (M lezárására). Más szóval: ! A ˜ : M ¯ Y korlátos lineáris operátor, amelyre A ˜ x=Ax,xM MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGabmyqayaaiaGaamiEaiabg2da9iaadgeacaWG4bGaaiilaiabgcGiIiaadIhacqGHiiIZcaWGnbaaaa@5BC9@ . Spec eset, mikor M ¯ = X .

Bizonyítás (vázlatos): legyen x M ¯ . Ehhez x k M : lim ( x k ) = x . Tekintsük az ( A x k ) k sorozatot Y-ban! Belátjuk, hogy ez Cauchy sorozat. A x k A x l Y = A ( x k x l ) Y c x k x l X . Legyen ε > 0 , k 0 : k , l > k 0 esetén x k x l < ε A x k A x l c ε .Y teljes y Y : lim ( A x k ) = y . y csak x-től függ, nem függ ( x k ) -tól és egyértelmű. A ˜ ( x ) : = y , A ˜ lineáris, korlátos (és folytonos).

Hahn-Banach tétel: legyen X Banach tér, X 0 X valódi (zárt lineáris) altér, f : X 0 𝕂 korlátos lineáris funkcionál (azaz számértékű operátor). Ekkor f ˜ : X 𝕂 korlátos lineáris kiterjesztés, és f ˜ = f .

Korlátos lineáris funkcionálok, duális tér (Hilbert tér esetén)

Észrevétel: legyen X Hilbert tér, y X tetszőleges rögzített elem. Értelmezzük az f : X 𝕂 , f ( x ) : = x , y funkcionált.

Állítás: ekkor f korlátos lineáris funkcionál. f linearitása triviális, és korlátos is, ugyanis | f ( x ) | = | x , y | x y .

Tétel (Riesz): legyen X Hilbert tér (valós vagy komplex), f egy korlátos lineáris funkcionál X-en. Ekkor létezik egyetlen y X , hogy f ( x ) = x , y x X .

Bizonyítás: jelölje X 0 : = { x X : f ( x ) = 0 } -vel f magterét. X 0 altér X-ben, azaz az algebrai műveletek nem vezetnek ki X 0 -ból, és zárt részhalmaz X-ben. Utóbbi azért igaz, mivel f folytonos, azaz ha x k X 0 , ( x k ) x x X 0 . f ( x k ) f ( x ) f ( x ) = 0 , mivel jelen esetben f( x k )=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOzamaabmaabaGaamiEamaaBaaaleaacaWGRbaabeaaaOGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iaaicdaaaa@58B2@ .

  1. Ha X 0 = X , f ( x ) = 0 x X , triviális eset. Ekkor legyen y = 0 .
  2. X 0 valódi altér (Riesz-féle felbontási tétel) x 1 0 : x 1 X 0 . Legyen x X tetszőleges, tekintsük az X y 1 : = f ( x ) x 1 f ( x 1 ) x elemet. Ekkor f ( y 1 ) = f ( x ) f ( x 1 ) f ( x 1 ) f ( x ) = 0 y 1 X 0 y 1 , x 1 = 0 . Más szóval 0 = y 1 , x 1 = f ( x ) x 1 f ( x 1 ) x , x 1 = f ( x ) x 1 2 f ( x 1 ) x , x 1 f ( x ) = f ( x 1 ) x , x 1 x 1 2 = x , f ( x 1 ) ¯ x 1 x 1 2 y , nevezetesen y= f( x 1 ) ¯ x 1 2 x 1 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamyEaiabg2da9maalaaabaWaa0aaaeaacaWGMbWaaeWaaeaacaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaaGccaGLOaGaayzkaaaaaaqaamaafmaabaGaamiEamaaBaaaleaacaaIXaaabeaaaOGaayzcSlaawQa7amaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaGccaWG4bWaaSbaaSqaaiaaigdaaeqaaaaa@60CE@ .
  3. y egyértelmű. Tfh x , y = x , y * x X x , y y * = 0 x X y y * = 0 y = y * .
10.05

Korlátos lineáris funkcionálok

Legyen X Hilbert tér y X egy rögzített eleme, f ( x ) : = x , y . Ekkor a CS-ből következik: f y .

Megjegyzés: f = y , ugyanis egyrészt | f ( x ) | = | x , y | x y f y . Másrészt f = sup { | f ( x ) | : x = 1 } . Válasszuk x : = y y ( y 0 , máskülönben triviális), ekkor x = 1 , | f ( x ) | = | y y , y | = y . Tehát f = y MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaauWaaeaacaWGMbaacaGLjWUaayPcSdGaeyypa0ZaauWaaeaacaWG5baacaGLjWUaayPcSdaaaa@5B98@ .

Spec eset: X : = L 2 ( M ) , M n mérhető halmaz. Ekkor egy tetszőleges f korlátos lineáris funkcionál ilyen alakú: f ( ϕ ) : = ϕ , ψ = M ϕ ψ ¯ , ahol ψ L 2 ( M ) rögzített. ψ 0 : = ψ ¯ L 2 ( M ) jelöléssel f ( ϕ ) = M ϕ ψ 0 , ϕ L 2 ( M ) .

Korlátos lineáris funkcionálok L p ( M ) -en, ahol 1 < p < (azaz L ( M ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamitamaaCaaaleqabaGaeyOhIukaaOWaaeWaaeaacaWGnbaacaGLOaGaayzkaaaaaa@572F@ teret nem tárgyaljuk)

Legyen ψ L q ( M ) tetszőleges rögzített, 1 p + 1 q = 1 ! Értelmezzük az f funkcionált: f ( ϕ ) : = M ϕ ψ , ahol ϕ L p ( M ) .

Állítás: f korlátos lineáris funkcionál L p ( M ) -en.

Bizonyítás: tudjuk, hogy ϕ L p ( M ) , ψ L q ( M ) ϕ ψ L 1 ( M ) , tehát a funkcionál értelmezve van az egész L p ( M ) -n, nyilván lineáris. A Hölder egyenlőtlenség szerint | M ϕ ψ | ϕ L p ( M ) ψ L q ( M ) f ψ L q ( M ) , vagyis korlátos is és normája ψ L q ( M )

Tétel: f = ψ L q ( M ) .

Tétel: legyen 1 < p < . Ekkor tetszőleges f : L p ( M ) 𝕂 korlátos lineáris funkcionálhoz ! ψ L q ( M ) : f ( ϕ ) = M ψ ϕ .

Duális (konjugált) tér

Definíció: legyen X normált tér! Az X-en értelmezett korlátos lineáris funkcionálok terét X duálisának nevezzük és X'-vel jelöljük (van, ahol *-gal jelölik).

Megjegyzés: X ' = L ( X , 𝕂 ) . Tudjuk, hogy X ' = L ( X , 𝕂 ) normált tér (norma az operátor normája), X' tér teljes, mivel 𝕂 alaptest teljes, így X' Banach tér.

Értelmezzük az előbbieket ezen fogalom rögzítésével!

X Hilbert tér. Tudjuk, hogy f X ' y X : f ( x ) = x , y , f = y . Fordítva, y X esetén f ( x ) : = x , y , x X ! Tehát ha X Hilbert tér, bijekció létesíthető X' és X között. Jelöljük: Φ ( y ) : = f , f ( x ) : = x , y . Φ : X X ' bijekció. Ennek tulajdonságai:

X = L p ( M ) esete, mikor 1 p és 1 p + 1 q = 1 .

Tudjuk, hogy tetszőleges ψ L q ( M ) esetén f ( ϕ ) : = M ϕ ψ , ϕ X mellett f ( L p ( M ) ) ' , f = ψ . Továbbá ( L p ( M ) ) ' minden eleme ilyen alakú p < esetén.

L q ( M ) ψ f ( L p ( M ) ) ' . Könnyen belátható, hogy az eddigiek alapján Φ bijekció, sőt, Φ lineáris. L p ( M ) izomorf és izometrikus (normatartó) L q ( M ) -vel, ha p < .

X" tér, más szóval biduális, reflexív tér

Definíció: legyen X normált tér. Ekkor definíció szerint X " : = ( X ' ) ' .

Állítás: ha X Hilbert tér, akkor X" izomorf, izometrikus az X térrel.

Definíció: legyen X Banach tér! Ha X" izomorf és izometrikus X-szel, akkor X"-t reflexívnek nevezzük.

Állítás: legyen X = L p ( M ) , ahol 1 < p < ! Ekkor L p ( M ) reflexív.

Vizsgáljuk X"-t általános esetben, mikor X Banach tér! Tekintsük egy tetszőleges, rögzített x X elemet, ehhez rendeljük hozzá a következő, F x X " elemet! F x ( f ) : = f ( x ) , f X ' . Ekkor F X jól definiált funkcionál X'-n, nyilván lineáris, korlátos is. | F x ( f ) | = | f ( x ) | f x X , f X ' . F x x .

Állítás: F x = x .

Bizonyítás: (definíció szerint F x = sup f X ' { | F x ( f ) | = | f ( x ) | : f = 1 } ) azt kellene belátni, hogy f X ' : f = 1 , melyre igaz, hogy | F x ( f ) | = x bármely rögzített x esetén. Tekintsük a következő f 0 funkcionált X következő, 1 dimenziós alterén: X 0 : = { λ x : λ 𝕂 } , ahol x X rögzített. Legyen f 0 ( λ x ) : = λ x . f 0 korlátos is, | f 0 ( λ x ) | = | λ | x = λ x 1 f 0 = 1 . A Hahn-Banach tétel szerint az X 0 altéren definiált f 0 korlátos lineáris funkcionál kiterjeszthető a korlátosság és linearitás megtartásával az egész X térre úgy, hogy f = f 0 (ezt persze nem bizonyítottuk). Jelölje ezt f! f X ' , f = f 0 = 1 . Erre | F x ( f ) | = | f ( x ) | = | f ( 1 x ) | = f 0 ( 1 x ) = 1 x = x .

Általános esetben X" egy részhalmaza izomorf és izometrikus X-szel. X"-nek lehetnek más elemei is (ha nem reflexív).

Gyenge konvergencia

Definíció: legyenek X, Y normált terek, és tfh A j L( X,Y ),j MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamyqamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiabgIGiolaadYeadaqadaqaaiaadIfacaGGSaGaamywaaGaayjkaiaawMcaaiaacYcacaWGQbGaeyicI4SaeSyfHukaaa@5F1E@ ( A j korlátos lineáris operátor X-n). Azt mondjuk, hogy ez az A j sorozat gyengén konvergál az A operátorhoz, ha x X elemre ( A j x ) j A x (pontonkénti konvergencia). (Y-beli norma szerinti konvergencia).

Állítás: ha lim A j A = 0 , azaz ( A j ) A az L ( X , Y ) norma szerint, akkor ( A j ) A gyengén, de fordítva nem mindig igaz.

Bizonyítás: tfh lim A j A = 0 . Ekkor A j x A x Y = ( A j A ) x A j A 0 x 0 .

Speciális eset: Y = 𝕂 , L ( X , Y ) = X ' . ( f j ) f gyengén X ' -ben, ha bármely rögzített x X esetén ( f j ( x ) ) f ( x ) .

Példa X’-beli gyengén konvergens sorozatra, amely norma szerint nem konvergens. Legyen X szeparábilis, végtelen dimenziós Hilbert tér! Legyen ebben egy y 1 , y 2 ,..., y j ,... ortonormált, teljes rendszer! f j ( x ) : = x , y j . Ekkor x , y j az x X elem j-edik Fourier-egyeütthatója y j ortonormált rendszer szerint, c j : = x , y j . Tudjuk, hogy j = 1 | c j | 2 < lim ( c j ) = 0 , azaz lim j f j ( x ) = 0 , x X . Más szóval ( f j ) X’-beli sorozat gyengén tart f = 0 funkcionálhoz. Másrészt f j = y j X = 1 , így ( f j ) nem tart a norma szerint az f = 0 funkcionálhoz. (Bebizonyítható, hogy véges dimenzióban a gyenge konvergencia egybeesik a norma szerinti konvergencia fogalmával.)

Tétel: tfh A j L ( X , Y ) , ahol X, Y Banach terek, ( A j ) A gyengén. Ekkor ( A j ) j korlátos. Ez a tétel következik az alábbi tételből.

Egyenletes korlátosság tétele (Banach-Steinhaus tétel, bizonyítás nélkül): legyenek X, Y Banach terek, A j L ( X , Y ) . Ha az A j operátor sorozat pontonként korlátos, azaz ha x X esetén sup j { A j x } < ( A j ) korlátos.

Megjegyzés (gyenge kompaktsági kritérium): tekintsük a X ' = L ( X , 𝕂 ) speciális esetet az egyszerűség kedvéért. Ha f j X ' korlátos sorozatot alkot (X most Banach tér), akkor ( f j ) -ból kiválasztható egy gyengén konvergens részsorozat.

10.12

Gyenge konvergencia X-ben

Definíció: legyen X normált tér! Azt mondjuk, hogy egy ( x j ) j X-beli sorozat gyengén konvergál egy x X ponthoz, ha f X ' funkcionálra ( f ( x j ) ) j f ( x ) .

Megjegyzés: ha X reflexív Banach-tér, akkor minden korlátos X-beli sorozatnak létezik gyengén konvergens részsorozata. Ugyanis ekkor X=X"=( X' )' MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamiwaiabg2da9iaadIfacaGGIaGaeyypa0ZaaeWaaeaacaWGybGaai4jaaGaayjkaiaawMcaaiaacEcaaaa@5A83@ .

Inverz operátor

Emlékeztető: egy függvénynek létezik inverze, ha injektív. Tudjuk továbbá, hogy egy A : X Y lineáris operátornak létezik inverze (azaz injektív) a magtér csak a 0-ból áll, azaz A x = 0 Y x = 0 X . Továbbá, ha A 1 létezik, akkor A 1 lineáris operátor. Egy A operátor folytonos x 0 -ban, ha ε > 0 ρ > 0 : x x 0 X < ρ A x A x 0 Y < ε .

Kérdés: ha X, Y normált terek, A : X Y lineáris és injektív ? A 1 korlátos is? Általában nem, akkor sem, ha A korlátos.

Nyílt leképezések tétele (bizonyítás nélkül): legyenek X, Y Banach terek, A : X Y korlátos lineáris operátor és R A = Y , vagyis ráképezés. Ekkor A operátor X minden nyílt halmazát Y nyílt halmazába képezi. Ebből következik:

Tétel (Banach): legyenek X, Y Banach terek, A : X Y korlátos és lineáris, R A = Y és A injektív! Ekkor A 1 korlátos (azaz folytonos).

Bizonyítás: legyen tetszőleges y 0 Y = R A = D A 1 . x 0 : = A 1 y 0 . Belátjuk, hogy az A 1 folytonos y 0 -ban. Tekintsük x 0 = A 1 y 0 egy tetszőleges B r ( x 0 ) nyílt környezetét! Ennek képe is nyílt az Y-ban az előbbi tétel szerint. Mivel y 0 A ( B r ( x 0 ) ) , ami nyílt, ezért y 0 -nak van olyan környezete, melyre B ρ ( y 0 ) A ( B r ( x 0 ) ) . Ez azt jelenti, hogy ha y B ρ ( y 0 ) A 1 y B r ( x 0 ) . Eszerint A 1 folytonos y 0 -ban.

Zárt gráf (grafikon) tétel

Definíció: legyenek X, Y normált terek, A : M Y lineáris operátor, M X . Ekkor A operátor gráfja, grafikonja az alábbi halmaz: G A : = { ( x , A x ) : x M = D A } .

Definíció: egy A : M Y lineáris operátort zártnak nevezünk, ha a G A X × Y zárt halmaz X × Y -ban. X × Y = { ( x , y ) : x X , y Y } .

Megjegyzés: a szorzattéren értelmezett műveletek:

Legyenek X, Y normált terek, A : M Y lineáris operátor, D A = M X . A zárt ha minden ( x j ) j M-beli sorozatra, melyre lim ( x j ) = x X és lim ( A x j ) = y Y , akkor x M és y = A x . Ezért ha A folytonos, akkor zárt is.

Példa zárt, lineáris, de nem folytonos (nem korlátos) operátorra: X : = C [ 0,1 ] , M = D A = C 1 [ 0,1 ] , A ϕ : = ϕ , vagyis a differenciáloperátor. ( ϕ j ) ϕ egyenletesen ( C [ 0,1 ] -beli konvergencia) és ( ϕ j ) ψ egyenletesen ψ = ϕ , tehát A valóban zárt, lineáris (de nem korlátos, így nem is folytonos, ezt láttuk korábban).

Zárt gráf tétel: legyenek X, Y Banach terek, A : X Y zárt, lineáris operátor (tehát D A = X ). Ekkor A folytonos (korlátos).

Bizonyítás: G A : = { ( x , A x ) : x D A = X } X × Y (utóbbi Banach-tér), ugyanis G A zárt halmaz X × Y -ban, az X × Y vektortenérnek altere: ( x 1 , A x 1 ) + ( x 2 , A x 2 ) = ( x 1 + x 2 , A ( x 1 + x 2 ) ) G A , λ ( x , A x ) = ( λ x , A ( λ x ) ) G A . G A az X × Y Banach tér zárt lineáris altere G A Banach-tér. Tekintsük a következő két operátort: U ( x , A x ) : = x , V ( x , A x ) : = A x , ahol ( x , A x ) G A . Ekkor U : G A X , R U = X , V : G A Y . Most U-ra alkalmazható a Banach tétel (az inverz operátor korlátosságáról): D U = G A , R U = X , U korlátos és injektív U 1 : X G A korlátos (folytonos), A = V U 1 , mert U 1 x = ( x , A x ) , V ( U 1 ( x ) ) = V ( x , A x ) = A x . V : G A Y korlátos A = V U 1 is korlátos.

Sajátérték, reguláris érték, spektrum

Legyenek X, Y normált terek, A : M Y lineáris operátor, M X , b Y adott elem.

  1. Elsőfajú egyenlet: melyik az a x M = D A : A x = b ?
  2. Másodfajú egyenlet: legyen Y = X . Melyik az a x X , melyre ( λ I A ) x = b , ahol λ 𝕂 , I az identitás. Ha ( λ I A ) nem injektív, azaz nem létezik az inverzre, akkor λ -t az A operátor sajátértékének nevezzük. Ez azt jelenti, hogy x 0 0 : ( λ I A ) x 0 = 0 A x 0 = λ x 0 .

Definíció: ha ( λ I A ) 1 , ez korlátos és R λ I A értelmezési tartománya sűrű halmaz X-ben, akkor λ -t reguláris értéknek nevezzük.

Állítás: ha A zárt operátor, akkor reguláris érték esetén D ( λ I A ) 1 = X , azaz R λ I A = X .

Megjegyzés: ekkor reguláris értéke esetén ( λ I A ) x = b egyenletnek b X -hez ! x megoldás, és x folytonosan függ b-től, azaz x = ( λ I A ) 1 folytonos b

Definíció: az A operátor spektruma a reguláris értékek halmazának a komplementere az alaptestben. A sajátértékek halmaza része a spektrumnak.

Korlátos lineáris operátorok reguláris értékei

Tétel: legyen X Banach tér! Legyen A : X X korlátos lineáris operátor. Ekkor r σ ( A ) : = lim k A k 1 / k , ez létezik és véges. Ha λ 𝕂 számra teljesül, hogy | λ | > r σ ( A ) , akkor λ reguláris érték (A-ra nézve).

Definíció: r σ ( A ) számot az A korlátos lineáris operátor spektrálsugarának nevezzük.

Megjegyzések:

Lemma 1: legyen Z Banach-tér, z k Z . Ha k = 1 z k < k = 1 z k konvergens Z Banach-téren.

Bizonyítás: legyen s j : = k = 1 j z k részlet összeg! s j s l = k=l+1 j z k k=l+1 j z k <ε MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaauWaaeaacaWGZbWaaSbaaSqaaiaadQgaaeqaaOGaeyOeI0Iaam4CamaaBaaaleaacaWGSbaabeaaaOGaayzcSlaawQa7aiabg2da9maafmaabaWaaabCaeaacaWG6bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaaqaaiaadUgacqGH9aqpcaWGSbGaey4kaSIaaGymaaqaaiaadQgaa0GaeyyeIuoaaOGaayzcSlaawQa7aiabgsMiJoaaqahabaWaauWaaeaacaWG6bWaaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaaGccaGLjWUaayPcSdaaleaacaWGRbGaeyypa0JaamiBaiabgUcaRiaaigdaaeaacaWGQbaaniabggHiLdGccqGH8aapcqaH1oqzaaa@7A12@ , ha l , j > j 0 , tehát teljesül a Cauchy kritérium. Mivel Z Banach-tér, azaz teljes normált tér, ezért minden Cauchy-sorozatnak van határértéke Z-ben.

Lemma 2: tfh B k L ( X , X ) , k = 1 B k konvergens L ( X , X ) -en. Ekkor C L ( X , X ) operátorra C k = 1 B k = k = 1 C B k . A bizonyítás egyszerű a részletösszegek segítségével.

10.19

Tétel: legyen X Banach-tér, A : X X korlátos, lineáris operátor. Ekkor létezik és véges: r σ ( A ) : = lim k A k 1 / k . Továbbá | λ | > r σ ( A ) λ reguláris érték, ( λ I A ) 1 = 1 λ ( I 1 λ A ) 1 = 1 λ k = 0 1 λ k A k = k = 0 λ k 1 A k . Ez a sor – a Neumann-sor – L ( X , X ) normában konvergens.

Bizonyítás:

  1. jelöljük: r : = inf { A k 1 / k : k } 0 , ez véges. Belátjuk, hogy r σ ( A ) = lim k A k 1 / k = r = inf { A k 1 / k : k } 0 . Legyen ε > 0 tetszőleges, ekkor az alsó határ definíciójából következik, hogy m : r A m 1 / m < r + ε . Ezen m mellett válasszunk egy k > m számot, melyre k = p m + q , ahol p és 0 q < m (ez k-nak m-vel vett maradékos osztása, q a maradéktag). Ekkor A k = A p m + q = ( A p ) m A q , így A k A m p A q A k 1 / k A m p / k A q / k ( r + ε ) m p / k A q / k . Vegyük észre, hogy lim k m p k = 1 , mert lim k q k = 0 , így a fenti egyenlőtlenség jobb oldala r + ε . Ebből következik, hogy k 0 : k > k 0 r A k 1 / k r + 2 ε lim k A k 1 / k = r .
  2. Belátjuk, hogy a Neumann-sor L ( X , X ) -ben konvergens. Az 1. lemma szerint ehhez elég bizonyítani, hogy a sor tagjainak normáiból alkotott sor konvergens, azaz k = 0 λ k 1 A k < . Válasszunk egy olyan r 1 számot, melyre | λ | > r 1 > r σ ( A ) ! Mivel r σ ( A ) = lim k A k 1 / k és r 1 > r σ ( A ) , ezért k 1 : k > k 1 r 1 > A k 1 / k , így λ k 1 A k = 1 | λ | k + 1 A k < 1 | λ | k + 1 r 1 k = 1 | λ | ( r 1 | λ | ) k . Ezeket összegezve k szerint egy mértani sort kapunk, melynek kvóciense 0 < r 1 | λ | < 1 , így a sor konvergens, azaz k = 1 1 | λ | ( r k | λ | ) k < .
  3. jelöljük B : = k = 0 λ k 1 A k L ( X , X ) . Előbb láttuk, hogy ez konvergens. Ebből következni fog, hogy ( λ I A ) 1 létezik és egyenlő B-vel. A 2. lemmát felhasználva: ( λ I A ) B = λ B A B = λ k = 0 λ k 1 A k A k = 0 λ k 1 A k = k = 0 λ k A k k = 0 λ k 1 A k + 1 = I . Hasonlóképpen, B ( λ I A ) = I . Következtetésképpen ( λ I A ) 1 létezik és egyenlő B-vel.

Következmény: | λ | > r σ ( A ) esetén a ( λ I A ) x = b másodfajú egyenletnek létezik egyetlen x megoldása, mégpedig x = ( λ I A ) 1 b = ( k = 0 λ k 1 A k ) b = k = 0 ( λ k 1 A k ) b = k = 0 λ k 1 ( A k b ) , ez a sor pedig X normában konvergens. A sor összege így is írható: 1 λ b + k = 1 λ k 1 A k b . A fentiek még inkább érvényesek, ha | λ | > A .

Bizonyítható (de nem tesszük) tétel: r σ ( A ) = sup { | λ | : λ A s p e k t r u m } .

Alkalmazás, példák.

  1. példa: négyzetesen integrálható magú integráloperátorok.

Legyen M n egy Lebesgue szerint mérhető halmaz, X : = L 2 ( M ) , ez ugye Hilbert tér. Legyen 𝒦 L 2 ( M × M ) az úgynevezett magfüggvény, s ϕ L 2 ( M ) . Definiáljuk: ψ( x ):= M 𝒦( x,y )ϕ( y )dy MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaeqiYdK3aaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaiOoaiabg2da9maapebabaGaam4samaabmaabaGaamiEaiaacYcacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaeqy1dy2aaeWaaeaacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaamizaiaadMhaaSqaaiaad2eaaeqaniabgUIiYdaaaa@6689@ .

Állítás: ψ L 2 ( M ) , továbbá a K ( ϕ ) : = ψ képlettel értelmezett K : L 2 ( M ) L 2 ( M ) operátor lineáris, korlátos. A K operátort négyzetesen integrálató magú integráloperátornak nevezzük.

Bizonyítás: a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség szerint majdnem minden x-re | ψ ( x ) | M | 𝒦 ( x , y ) | | ϕ ( y ) | d y { M | 𝒦 ( x , y ) | 2 d y } 1 / 2 { M | ϕ ( y ) | 2 d y } 1 / 2 . Mivel 𝒦 L 2 ( M × M ) M × M | 𝒦 ( x , y ) | 2 d x d y < . Fubini tételt használva M M | 𝒦 ( x , y ) | 2 d y véges m. m.  x -re d x < , így | ψ ( x ) | 2 M | 𝒦 ( x , y ) | 2 d y [ M | ϕ ( y ) | 2 d y ] < . Integrálva: M | ψ ( x ) | 2 d x [ M M | 𝒦 ( x , y ) | 2 d y d x ] [ M | ϕ ( y ) | 2 d y ] < ψ L 2 ( M ) . K linearitása triviális. K korlátos, ugyanis K ϕ 2 L 2 ( M ) = ψ 2 L 2 ( M ) { M × M | 𝒦 ( x , y ) | 2 d x d y } ϕ 2 K korlátos, sőt: K { M × M | 𝒦 ( x , y ) | 2 d x d y } 1 / 2 = 𝒦 L 2 ( M × M ) .

Következmény: | λ | > 𝒦 L 2 ( M × M ) esetén λ reguláris érték. Tudjuk, hogy | λ | > r σ ( K ) esetén λ reguláris érték és ( λ I K ) 1 = k = 0 λ 1 k K k .

Kérdés: K integrál operátor hatványai hogyan számolhatók?

Állítás: legyen 𝒦 , L 2 ( M × M ) és K , L a megfelelő integráloperátorok. Ekkor P : = K L szintén négyzetesen integrálható magú operátor, amelynek magfüggvénye 𝒫 ( x , y ) : = M 𝒦 ( x , t ) ( t , y ) d t .

Bizonyítás: ϕ L 2 ( M ) esetén ( P ϕ ) ( x ) = [ K ( L ϕ ) ] ( x ) = M 𝒦 ( x , t ) [ M ( t , y ) ϕ ( y ) d y ] d t = = M [ M 𝒦 ( x , t ) ( t , y ) d t ] 𝒫 ( x , y ) ϕ ( y ) d y , ahol Fubini-tételt ismét alkalmaztuk. 𝒫 L 2 ( M × M ) , merthogy | 𝒫 ( x , y ) | { M | 𝒦 ( x , t ) | 2 d t } 1 / 2 { M | ( t , y ) | 2 d y } 1 / 2 , így integrálva: M × M | 𝒫 ( x , y ) | 2 d x d y M [ M | 𝒦 ( x , t ) | 2 d t ] d x < M [ M | ( t , y ) | 2 d t ] d y < < .

Következmény: ( K j ϕ ) ( x ) = M 𝒦 j ( x , y ) ϕ ( y ) d y , j = 1,2,... , ahol 𝒦 1 : = 𝒦 , 𝒦 2 ( x , y ) = M 𝒦 ( x , t ) 𝒦 1 ( t , y ) d t . 𝒦 j ( x , y ) = M 𝒦 ( x , t ) 𝒦 j 1 ( t , y ) d t . Ebből következik, hogy ( λ I K ) 1 b = j = 0 λ j 1 K j b . [ ( λ I K ) 1 b ] ( x ) = [ j = 0 λ j 1 K j b ] ( x ) = j = 0 λ j 1 ( K j b ) ( x ) = b ( x ) λ + j = 1 λ j 1 M 𝒦 j ( x , y ) b ( y ) d y = ? = ? b ( x ) λ + M [ j = 1 λ j 1 𝒦 j ( x , y ) ] L 2 ( M × M ) b ( y ) d y . A sor L 2 ( M ) normában konvergál. Az egyenlőséget a következő órán látjuk be.

11.02

A korábbiak szerint ( λ I A ) x = b egyenletnek van egyértelmű megoldása x-re és x = k = 0 λ k 1 ( A k b ) , ha λ reguláris érték, ugyanis ekkor a jobb oldal konvergens X x -ben.

Az előző példában X : = L 2 ( M ) volt, (ahol M n mérhető halmaz), 𝒦 L 2 ( M × M ) , ψ ( x ) : = ( K ϕ ) ( x ) = M 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y ahol K : L 2 ( M ) L 2 ( M ) korlátos lineáris operátor és r σ ( K ) K 𝒦 L 2 ( M × M ) .
( λ I K ) ϕ = b , b L 2 ( M ) adott esetén mi a megoldás ϕ L 2 ( M ) -re? Az egyenlet ekvivalens: λ ϕ ( x ) M 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y = b ( x ) majdnem minden x M -re. Ha | λ | > r σ ( K ) ϕ = j = 0 λ j 1 K j b = b λ + j = 1 λ j 1 K j b . ( K j b )( x )= M 𝒦 j ( x,y )b( y )dy MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaaeWaaeaacaWGlbWaaWbaaSqabeaacaWGQbaaaOGaamOyaaGaayjkaiaawMcaamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maapebabaGaam4samaaBaaaleaacaWGQbaabeaakmaabmaabaGaamiEaiaacYcacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaamOyamaabmaabaGaamyEaaGaayjkaiaawMcaaiaadsgacaWG5baaleaacaWGnbaabeqdcqGHRiI8aaaa@68A7@ , 𝒦 j ( x , y ) = M 𝒦 j 1 ( x , t ) 𝒦 ( t , y ) d t és 𝒦 1 = 𝒦 . Így ϕ ( x ) = b ( x ) x + j = 1 λ j 1 M 𝒦 j ( x , y ) b ( y ) d y = b ( x ) λ + M [ j = 1 λ j 1 𝒦 j ( x , y ) ] R λ ( x , y ) L 2 ( M × M )  rezolv. op magfgve b ( y ) d y . A sor L 2 ( M × M ) -ben konvergens, ha | λ | > r σ ( 𝒦 ) .

A bizonyítás alapja: 𝒦 j ( x , y ) = M 𝒦 j 1 ( x , t ) 𝒦 ( t , y ) d t K j 1 operátor alkalmazva t 𝒦 ( t , y ) függvényre (y rögzített): { M | 𝒦 j ( x , y ) | 2 d x } 1 / 2 𝒦 j 1 { M | 𝒦 ( t , y ) | 2 d t } 1 / 2 M | 𝒦 j ( x , y ) | 2 d x K j 1 2 M | 𝒦 ( t , y ) | 2 d t . Integrálva y szerint: M × M | 𝒦 j ( x , y ) | 2 d x d y K j 1 2 M × M | 𝒦 ( t , y ) | 2 d t d y . M×M 1 | λ | 2( j+1 ) | 𝒦 j ( x,y ) | 2 dxdy 1 | λ 2( j+1 ) | K j1 2 j=1  sor konv. ha | λ |> r σ ( K ) 𝒦 L 2 ( M×M ) 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@B254@ , így a bal oldalból képzett számsor (ami 0 ) is konvergens.

  1. példa: folytonos magú integráloperátorok.

Legyen Ω n korlátos tartomány (azaz nyílt és összefüggő), X : = C ( Ω ¯ ) , Ω ¯ 𝕂 folytonos függvények (a felülvonás a lezárást jelenti), tehát C ( Ω ¯ ) az Ω korlátos tartomány lezárásán értelmezett folytonos függvények tere a ϕ = sup Ω | ϕ | normával. Legyen 𝒦 C ( Ω ¯ × Ω ¯ ) , ψ ( x ) : = ( K ϕ ) ( x ) : = Ω ¯ 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y .

Állítás: K : C ( Ω ¯ ) C ( Ω ¯ ) korlátos, lineáris operátor.

Bizonyítás: | ψ ( x ) | = | Ω ¯ 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y | Ω ¯ | 𝒦 ( x , y ) | | ϕ ( y ) | d y ϕ Ω ¯ | 𝒦 ( x , y ) | d y ϕ sup x Ω ¯ Ω ¯ | 𝒦 ( x , y ) | d y . Itt is igaz: ( K j ϕ ) ( x ) = Ω ¯ 𝒦 j ( x , y ) ϕ ( y ) d y . 𝒦 j ( x , y ) = Ω ¯ 𝒦 j 1 ( x , t ) 𝒦 ( t , y ) d t , K j folytonos.

  1. példa

Az előbbi spec esete: Ω ¯ = [ a , b ] , ekkor 𝒦 C ( [ a , b ] × [ a , b ] ) , továbbá 𝒦 ( x , y ) = 0 , ha y > x . ( K ϕ ) ( x ) : = a b 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y = a x 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y Voltera típusú operátor. Erre is igaz, hogy 𝒦 : C [ a , b ] C [ a , b ] folytonos lineáris operátor.

Állítás: r σ ( K ) = 0 , így λ 0 esetén λ reguláris érték, azaz létezik egyértelmű megoldása a λ ϕ ( x ) a x 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y = b ( x ) másodfajú egyenletlnek bármely folytonos b ( x ) esetén.

Bizonyítás: 𝒦 j ( x , y ) = a b 𝒦 j 1 ( x , t ) 𝒦 ( t , y ) d t , speciálisan 𝒦 2 ( x , y ) = a b 𝒦 ( x , t ) 0  ha  t > x 𝒦 ( t , y ) 0  ha  y > t d t = y x 𝒦 ( x , t ) 𝒦 ( t , y ) d t , mert csak y t x esetén nem 0 az integrandus. Így 𝒦 2 ( x , y ) = 0 , ha y > x . 𝒦 3 ( x , y ) = y x 𝒦 2 ( x , t ) 𝒦 ( t , y ) d t = 0 ha y > x . Ekkor K sup x [ a , b ] a b | 𝒦 ( x , y ) | d y α ( b a ) , ugyanis 𝒦 C ( [ a , b ] × [ a , b ] ) 𝒦 korlátos és így | 𝒦 ( x , y ) | α , x , y [ a , b ] .

K 2 sup x [ a , b ] a b | 𝒦 2 ( x , y ) | d y = sup x [ a , b ] a x | 𝒦 2 ( x , y ) | d y . Az integrandusra | 𝒦 2 ( x , y ) | = | y x 𝒦 ( x , t ) 𝒦 ( t , y ) d t | y x | 𝒦 ( x , t ) | < α | 𝒦 ( t , y ) | α d t α 2 ( x y ) ha x > y . Így K 2 sup x [ a , b ] a x | 𝒦 2 ( x , y ) | d y sup x [ a , b ] a x α 2 ( x y ) d y = = α 2 sup x [ a , b ] [ ( x y ) 2 2 ] y = a x = α 2 sup x [ a , b ] ( x a ) 2 2 = α 2 ( b a ) 2 2 .

K 3 -re hasonló módon járunk el. Ekkor | 𝒦 3 ( x , y ) | = | y x 𝒦 ( x , t ) 𝒦 2 ( t , y ) d t | y x | 𝒦 ( x , t ) | α | 𝒦 2 ( t , y ) | α 2 ( t y ) d t α 3 ( x y ) 2 2 . Így K 3 sup x [ a , b ] a x | 𝒦 3 ( x , y ) | d y sup x [ a , b ] a x α 3 ( x y ) 2 2 d y = α 3 sup x [ a , b ] ( x a ) 3 3 ! α 3 ( b a ) 3 3 ! . Teljes indukcióval bizonyítható, hogy K j α j ( b a ) j j ! K j 1 / j = α b a ( j ! ) 1 / j 0 , ha j .

Hilbert tér operátorai

Az adjungált operátor

Legyen X Hilbert tér, A : D A X lineáris operátor, ahol D A az A-nak az értelmezési tartománya, D A X , y X elem.

Kérdés: létezik-e illetve hány y * X létezik, melyre A x , y = x , y * , x D A MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaeyiaIiIaamiEaiabgIGiolaadseadaWgaaWcbaGaamyqaaqabaaaaa@5767@ esetén? Mi az egyértelműség feltétele?

Állítás: legfeljebb egy y * létezik D A ¯ = X , vagyis ha az értelmezési tartomány sűrű X-ben.

Bizonyítás: legfeljebb egy y * létezik hogy ha x , y * = x , y ˜ , x D A -ból következik, hogy y * = y ˜ . x , y * = x , y ˜ , x D A pontosan azt jelenti, hogy x , y * y ˜ = 0 , x D A . Ebből következik: y * = y ˜ D A ¯ = X . (Felhasználjuk, hogy a skalárszorzat folytonosan függ a tényezőktől.)

Definíció: legyen X Hilbert tér, A : D A X lineáris operátor, D A ¯ = X . Ekkor A operátor adjungáltját, A * operátort így értelmezzük: D A * : = { y X : y * X : A x , y = x , y *   x D A } és A * ( y ) : = y * .

Megjegyzés: 0 D A * , ugyanis Ax,0 = x,0 =0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaaaWaaeaacaWGbbGaamiEaiaacYcacaaIWaaacaGLPmIaayPkJaGaeyypa0ZaaaWaaeaacaWG4bGaaiilaiaaicdaaiaawMYicaGLQmcacqGH9aqpcaaIWaaaaa@5E55@ , x D A .

Állítás: A * lineáris operátor.

Bizonyítás: legyen y 1 , y 2 D A * ! Ekkor A x , y 1 = x , A * ( y 1 ) , x D A és A x , y 2 = x , A * ( y 2 ) , x D A . Így A x , y 1 + A x , y 2 = x , A * ( y 1 ) + x , A * ( y 2 ) . A x , y 1 + y 2 = x , A * ( y 1 ) + A * ( y 2 ) , x D A . Ebből következik, hogy A * ( y 1 + y 2 ) = A * ( y 1 ) + A * ( y 2 ) . Hasonlóan igazolható A * ( λg )=λ A * ( g ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamyqamaaCaaaleqabaGaaiOkaaaakmaabmaabaGaeq4UdWMaam4zaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9iabeU7aSjaadgeadaahaaWcbeqaaiaacQcaaaGcdaqadaqaaiaadEgaaiaawIcacaGLPaaaaaa@5F09@ .

Tétel: legyen A : X X korlátos lineáris operátor. Ekkor A * : X X korlátos lineáris operátor és A * = A .

Bizonyítás: tekintsünk tetszőleges, rögzített y X elemet! Ekkor f ( x ) : = A x , y , f lineáris funkcionál korlátos is: | f ( x ) | = | A x , y | A x y A x y = ( A y ) x , így f A y . A Riesz-tételből most következik, hogy ! y * X : f ( x ) = x , y * , azaz A x , y = x , y * , x X -re. Így D A * = X , A * y = y * . Továbbá A * y = y * = f A y , ezért A * korlátos és A * A . Az egyenlőség abból fog következni, hogy ( A * ) * = A A = ( A * ) * A * .

11.09

Legyen A : X X korlátos lineáris operátor! Láttuk már, hogy A * : X X operátor korlátos és lineáris, és A * A .

Tétel: legyenek A , B : X X korlátos lineáris operátor! Ekkor

  1. ( A + B ) * = A * + B *
  2. ( λ A ) * = λ ¯ A *
  3. ( A * ) * = A
  4. I = I * , 0 * = 0
  5. ( A B ) * = B * A * .

Bizonyítás: legyenek x , y X !

  1. ( A + B ) x , y = A x + B x , y = A x , y + B x , y = x , A * y + x , B * y = = x , A * y + B * y = x , ( A * + B * ) y
  2. A x , y = x , A * y = A * y , x ¯ = y , ( A * ) * x ¯ = ( A * ) * x , y ,tehát A x = ( A * ) * x , x X A = ( A * ) * ,így A * ( A * ) * = A ,így az előző tétellel együtt: A = A * .
  3. x, ( AB ) * y = ABx,y = Bx, A * y = x, B * A * y

Megjegyzés: mi a helyezet a lineáris operátorok esetén (ha nem korlátos)? D A , D B X , D A ¯ = D B ¯ = X .

Jelölés: ha A * x = A x , x D A , D A D A * , akkor A * kiterjesztése A-nak s ezt így jelöljük: A A * . Ezzel a jelöléssel: ( A + B ) * A * + B * és D A * + B * = D A * D B * . Ugyanis y ( D A * D B * ) esetén ( A + B ) x , y = x , ( A * + B * ) y , x ( D A D B ) .
Továbbá ( λ A ) * = λ ¯ A * , ( A B ) * B * A * , ( A * ) * A és 1 A B A * B * .

Példák:

X : = 𝕂 n . Tudjuk, hogy ekkor minden lineáris operátor korlátos. A : 𝕂 n 𝕂 n lineáris korlátos operátor. Tudjuk, hogy A reprezentálható egy 𝒜 (valós vagy komplex elemekből alkotott), n × n -es mátrixszal úgy, hogy 𝒜 x = A x . Ekkor A * : 𝕂 n 𝕂 n korlátos lineáris operátor. Kérdés: mi a lesz ennek a mátrixa?
𝒜 = ( a 11 a 1 n a n 1 a n n ) , a j k 𝕂 . Ekkor x , y 𝕂 n esetén 𝒜 x , y = j = 1 n [ k = 1 n a j k x k ] y j ¯ = k = 1 n x k [ j = 1 n a j k y j ¯ ] = k = 1 n x k [ j = 1 n a j k ¯ y j ] ¯ = k = 1 n x k [ j = 1 n a k j * y j ] ¯ = x , 𝒜 * y , vagyis a k j * = a j k ¯ , vagyis 𝒜 * = ( a 11 * a 1 n * a n 1 * a n n * ) = ( a 11 ¯ a n 1 ¯ a 1 n ¯ a n n ¯ ) .

Négyzetesen integrálható magú integrál operátorok valós vagy komplex függvényeken

Legyen X : = L 2 ( M ) , M n mérhető halmaz, 𝒦 L 2 ( M × M ) , ( K ϕ ) ( x ) : = M 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y . Tudjuk, hogy K : L 2 ( M ) L 2 ( M ) lineáris operátor, node mi K * ? Legyen ϕ , ψ L 2 ( M ) , ekkor K ϕ , ψ = M ( K ϕ ) ( x ) ψ ( x ) ¯ d x = M [ M 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y ] ψ ( x ) ¯ d x , ami a Fubini-tétel alkalmazásával = M ϕ ( y ) [ M 𝒦 ( x , y ) ψ ( x ) ¯ d x ] d y = M ϕ ( y ) [ M 𝒦 ( x , y ) ¯ ψ ( x ) d x ] ¯ d y = (felcserélve x-t és y-t) = M ϕ ( x ) [ M 𝒦 ( y , x ) ¯ : = 𝒦 * ( x , y ) ψ ( y ) d y ¯ ] d x = M ϕ ( x ) [ M 𝒦 * ( x , y ) ψ ( y ) d x ¯ ] d y . A bevezetett jelöléssel konzekvensen ( K * ψ ) ( x ) : = M 𝒦 * ( x , y ) ψ ( y ) d y , így az korábbiakkal együtt: K ϕ , ψ = M ϕ ( x ) ( K * ψ ) ( x ) ¯ d x = ϕ , K * ψ .

Állítás: tetszőleges A lineáris operátor esetén (melyre D A X , D A ¯ = X ) A * zárt operátor.

Bizonyítás: azt kellene belátni, hogy ha y j D A * , ( y j ) j y X-ben, továbbá ( A * y j ) z X-ben y D A * és A * y = z . Tudtuk, hogy A x , y j = x , A * y j , x D A , j , így j esetén A x , y = x , z , x D A . Ez azt jelenti, hogy y D A * és z = A * y .

Tétel: legyen X Hilbert tér, A : X X korlátos lineáris operátor és λ 𝕂 . Ekkor R ( λ I A ) ¯ = S λ ¯ ( A * ) : = { x X : ( λ ¯ I A * ) x = 0 } , ahol R az értékkészletet jelöli.

Bizonyítás: világos, hogy R ( λ I A ) lineáris altér, ezért R ( λ I A ) ¯ zárt altér. Másrészt S λ ¯ ( A * ) is zárt altér. Az S λ ¯ ( A * ) halmaz azért zárt, mert A * folytonos lineáris operátor.

Megjegyzés: spec eset, mikor R λ I A zárt halmaz, azaz R λ I A = R λ I A ¯ . Ekkor a fenti tételből következik: ( λ I A ) x = b másodfajú egyenletnek létezik x X megoldása pontosan akkor, ha b R λ I A = S λ ¯ ( A * ) , azaz b , y = 0 a ( λ I A ) * y = 0 egyenlet y X megoldására. Később látni fogjuk, hogy ha A ún. kompakt lineáris operátor, akkor λ 0 esetén az R λ I A zárt halmaz.

Szimmetrikus és önadjungált operátorok

Definíció: legyen X Hilbert tér, D A X és D A ¯ = X és A : D A X lineáris operátor. Ekkor A-t önadjungáltnak nevezzük, ha A * = A (ekkor ugyanott vannak értelmezve, D A * = D A ).

Definíció: legyen X Hilbert tér, D A X és D A ¯ = X és A : D A X lineáris operátor. Ekkor A-t szimmetrikusnak nevezzük, ha A A * . Tehát minden önadjungált operátor egyúttal szimmetrikus is.

Megjegyzés: ekvivalens definíció: A szimmetrikus, ha A x , y = x , A y , x , y D A .

Példa: ha X = 𝕂 n , akkor A : 𝕂 n 𝕂 n -nak megfelel egy 𝒜 mátrix. Tudjuk, hogy A * mátrixa 𝒜 * , melynek elemei a j k * = a k j ¯ . Ekkor A önadjungált a j k * = a j k , azaz a j k = a k j ¯ .

Példa: legyen X : = L 2 ( M ) , M n mérhető halmaz, ( K ϕ ) ( x ) : = M 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y korlátos operátor, ahol 𝒦 L 2 ( M × M ) . Ekkor ( K * ϕ ) ( x ) = M 𝒦 * ( x , y ) ϕ ( y ) d y , vagyis 𝒦 * ( x , y ) = 𝒦 ( y , x ) ¯ . K önadjugnált pontosan akkor, ha 𝒦 ( x , y ) = 𝒦 ( y , x ) ¯ majdnem minden x , y M .

Példa: legyen X : = L 2 ( 0,1 ) , ( A ϕ ) ( t ) : = ϕ ( t ) , midőn t [ 0,1 ] , vagyis legyen A a második derivált operátor (ami lineáris)! D A : = { ϕ C 2 [ 0,1 ] : ϕ ( 0 ) = 0, ϕ ( 1 ) = 0 } , erre belátható, hogy D A ¯ = L 2 ( 0,1 ) .

Állítás: A szimmetrikus operátor (de nem önadjungált). Ennek igazolásához tekintsünk ϕ , ψ D A tetszőleges függvényeket, ekkor parciális integrálással:

Aϕ,ψ = 0 1 ( Aϕ( t ) )ψ( t )dt = 0 1 ϕ ( t )ψ( t )dt = [ ϕ ( t )ψ( t ) ] 0 1 0 1 ϕ ( t ) ψ ( t )dt = = [ ϕ( y ) ψ ( t ) ] 0 1 + 0 1 ϕ( t ) ψ ( t )dt = ϕ,Aψ
11.16

Állítás: legyen X komplex Hilbert tér! Ha D A X , A : D A X szimmetrikus operátor, akkor A x , x értéke valós x 𝔻 A esetén.

Bizonyítás: mivel A szimmetrikus, ezért A x , x = x , A x , x D A , másrészt a skaláris szorzat tulajdonságából következően: A x , x = x , A x ¯ x , A x = x , A x ¯ x , A x valós, így A x , x is valós.

Megjegyzés: bebizonyítható, hogy ha X komplex Hilbert tér és A x , x valós x D A A szimmetrikus.

Tétel: legyen X Hilbert tér (lehet valós is). Ha D A X , A : D A X szimmetrikus operátor, akkor A minden sajátértéke valós és a különböző sajátértékekhez tartozó sajátelemek ortogonálisak.

Bizonyítás:

Tétel: legyen X Hilbert tér, A : X X korlátos önadjungált operátor. Ekkor A = sup { | A x , x | : x X , x = 1 } .

Bizonyítás: az operátor norma definíciója szerint A = sup { A x : x X , x = 1 } . Ezért egyrészt a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenségből | A x , x | A x x A x 2 = A , ha x = 1 . Jelöljük: α : = sup { | A x , x | : x X , x = 1 } . Az előbbiek szerint α A . Belátjuk a fordított egyenlőtlenséget. Tetszőleges x , y X elemekre A ( x + y ) , x + y = A x + A y , x + y = A x , x + A y , x = y , A x = A x , y ¯ + A x , y + A y , y = = A x , x + A y , y + 2 A x , y
Hasonlóképpen: A ( x y ) , x y = A x , x + A y , y 2 A x , y . A kapott 1. egyenlőségből a 2-at kivonva: 4 A x , y = A ( x + y ) , x + y A ( x y ) , x y | A ( x + y ) , x + y | + | A ( x y ) , x y | α x+y 2 +α xy 2 =α( x 2 +2 x,y 2 + y 2 + x 2 2 x,y 2 + y 2 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@91DB@ Ax,y α 2 ( x 2 + y 2 ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaeyO0H4TaeyihHi8aaaWaaeaacaWGbbGaamiEaiaacYcacaWG5baacaGLPmIaayPkJaGaeyizIm6aaSaaaeaacqaHXoqyaeaacaaIYaaaamaabmaabaWaauWaaeaacaWG4baacaGLjWUaayPcSdWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSYaauWaaeaacaWG5baacaGLjWUaayPcSdWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGccaGLOaGaayzkaaaaaa@6C3E@ .
Tetszőleges λ > 0 számra: A x 2 0 + = A x , A x = A ( λ x ) : = f , A x / λ : = g = A f , g 0 = A f , g α 2 [ f 2 + g 2 ] = = α 2 [ λ x 2 + A x λ 2 ] = α 2 [ λ 2 x 2 + A x 2 λ 2 ] . Válasszuk: λ 2 : = A x x , ekkor λ > 0 teljesül (feltéve, hogy A x 0 ), és A x 2 α 2 [ A x x x 2 + x A x A x 2 ] = α 2 [ A x x + x A x ] = α A x x . A x = 0 triviális esetet kivéve osztva A x > 0 -val: A x α x . Ez igaz A x = 0 esetén is persze. Tehát A α . Előbb azt kaptuk, hogy α A , így a mostanival együtt: A = α .

Tétel (bizonyítás nélkül): vezessük be M : = sup { A x , x : x X , x = 1 } és m : = inf { A x , x : x X , x = 1 } . (Ekkor a fentiek miatt [ m , M ] [ A , A ] , és max { | m | , M } = A ). Az A önadjungált korlátos operátor spektruma [ m , M ] , más szóval, ha λ 𝕂 -ra λ [ m , M ] λ reguláris érték A-ra.

Megjegyzés: azt eddig is tudtuk, hogy | λ | > A esetén λ reguláris érték (ha A korlátos). Azt is tudtuk, hogy ha A szimmetrikus és λ 0 λ nem lehet sajátérték.

Definíció: legyen A : D A X lineáris operátor, D A X , 𝔻 A ¯ = X . Ha A x , x 0 , x D A , akkor A-t pozitív operátornak nevezzük (konzekvensen pozitív szemidefinitnek kéne nevezni).

Állítás: ha A pozitív, akkor A minden sajátértéke 0 .

Bizonyítás: A x = λ x 0 A x , x = λ x , x = λ x 2 λ 0 , ha x 2 0 .

Izometrikus és unitér operátorok

Definíció: legyen X Hilbert tér! Az A : X X operátort izometrikusnak nevezzük, ha A x = x , x X . Ekkor látható, hogy A korlátos és A = 1 .

Állítás: ha A izometrikus, akkor távolság és skalárszorzattartó (szögtartó).

Bizonyítás:

Következemény: ha A : X X izometrikus operátor és ( x 1 , x 2 ,... ) ortonormált rendszer, akkor ( A x 1 , A x 2 ,... ) is ortonormált rendszer.

Kérdés: ha ( x 1 , x 2 ,... ) teljes ortonormált rendszer, akkor következik-e, hogy ( A x 1 , A x 2 ,... ) is teljes ortonormált rendszer? Általában sajnos nem.

Példa: legyen X végtelen dimenziós, szeparábilis Hilbert tér és ( x 1 , x 2 ,..., x k ,... ) teljes ortonormált rendszer. Értelmezzük A-t! Egy x X elemet fejtsük Fourier-sorba! x = k = 1 c k x k = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... , A x : = k = 1 c k x k + 1 = c 1 x 2 + c 2 x 3 + ... . Ez egy jól definiált lineáris operátor. Tudjuk, hogy A x 2 = k = 1 | c k | 2 = x 2 , tehát A izometrikus. Láthatjuk, hogy így ( A x 1 = x 2 , A x 2 = x 3 ,... ) nem teljes. Az is kiolvasható A definíciójából, hogy R A = ( x 2 , x 3 ,... ) ¯ az X-nek valódi altere, így R A X .

Definíció: A : X X izometrikus operátort unitérnek nevezzük, ha R A = X .

Tétel: egy A : X X korlátos operátor unitér A 1 = A * .

Bizonyítás:

11.23

Állítás: ha A unitér, akkor teljes ortonormált rendszer képe szintén teljes ortonormált rendszer.

Példák unitér operátorokra:

  1. Triviális példa az identitás
  2. X : = 𝕂 n . Tudjuk, hogy egy A : 𝕂 n 𝕂 n lineáris korlátos operátor megadható egy 𝒜 négyzetes mátrixszal, 𝒜 = ( a 11 a 1 n a n 1 a n n ) = ( a 1 a n ) , 𝒜 * = ( a ¯ 1 T , a ¯ 2 T ,..., a ¯ n T ) .
    A leképzés unitér A * = A 1 A A * = I = A * A 𝒜 𝒜 * = = 𝒜 * 𝒜 . 𝒜 𝒜 * elemei: a j a ¯ k T = a j , a k 𝕂 n = δ j k = { 1  ha  j = k 0  ha  j k
    A sorvektorok tehát ortonormáltak, belátható az 𝒜 * 𝒜 = egyenletből, hogy az oszlopvektorok is. Az ilyen – unitér operátorokat megadó – mátrixokat ortogonális mátrixoknak is nevezzük.
  3. Fourier-operátor (Fourier-transzformáció): X : = L 2 ( ) Hilbert tér! Az MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOraaaa@5326@ fourier operátort így értelmezzük az ϕ L 2 ( ) L 1 ( ) L 2 ( ) függvényeken: [ ( ϕ ) ] ( x ) : = 1 2 π e i x y ϕ ( y ) d y . Látható, hogy ennek csak akkor van értelme, ha ϕ ( y ) integrálható. Tudjuk, hogy | e i x y ϕ ( y ) | = | ϕ ( y ) | , mert | e i x y | = 1 . ϕ L 2 ( ) esetén [ ( ϕ ) ] ( x ) = lim N 1 2 π N N e i x y ϕ ( y ) d y az L 2 ( ) normával.

Tétel: az : L 2 ( ) L 2 ( ) operátor unitér, 1 = * a következő képlettel adható meg: [ 1 ( ψ ) ] ( y ) = lim N 1 2 π N N e i x y ψ ( x ) d x , ahol a limesz L 2 ( ) norma szerinti.

Bizonyítás (vázlatos):

  1. először értelmezzük MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOraaaa@5326@ -et a következő spec. alakú lépcsős függvényeken: ϕ α ( x ) : = { 1  ha  x   0  és  α  között van 0 egyébként .
    Egyszerű számolással ( ϕ α ) ( x ) = 1 2 π 1 e i α x i x . Bevezetjük a 𝒢 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaam4raaaa@5327@ operátort ϕ L 2 ( ) L ( ) függvényekre: ( 𝒢 ϕ ) ( x ) : = 1 2 π e i x y ϕ ( y ) d y . Hasonlóan adódik: ( 𝒢 ϕ α ) ( x ) = 1 2 π e i α x 1 x . Állítás: tetszőleges ϕ α , ϕ β esetén ϕ α , ϕ β = ϕ α , ϕ β , 𝒢 ϕ α , 𝒢 ϕ β = ϕ α , ϕ β és ϕ α , ϕ β = ϕ α , 𝒢 ϕ β is igaz.
  2. Kiterjesztjük az állítást lépcsős függvényekre, amik láthatóan ilyen függvények lineárkombinációi.
  3. A lépcsős függvények sűrűn vannak L 2 ( ) -ben. Hasonló állítást kapok ezen lépcsős függvényekre. MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOraaaa@5326@ és 𝒢 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOraaaa@5326@ -t a linearitás és korlátosság megtartásával egyértelműen kiterjeszthetjük L 2 ( ) -re.
  4. MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOraaaa@5326@ és 𝒢 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOraaaa@5326@ képlete L 2 ( ) -en megadandó.

Megjegyzés: operátor n -ben: ( ϕ ) ( x ) = 1 ( 2 π ) n n e i x , y ϕ ( y ) d y , ha ϕ L 2 ( n ) L 1 ( ) , ekkor unitér.

Véges rendű operátorok

Definíció: legyen X Hilbert tér! Egy A : X X korlátos operátort véges rendűnek nevezünk, ha R A véges dimenziós.

Példa: legyenek ϕ 1 ,..., ϕ m lineárisan függetlenek, akárcsak ψ 1 , ψ 2 ,..., ψ m , mind X-beli elemek! Az A operátort így értelmezzük: A : X X , A ( f ) : = j = 1 m f , ψ j ϕ j . Látható, hogy ez véges rendű. Világos, hogy A operátor lineáris, R A = ( ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ m ) véges dimenziós. A korlátos is: A f X j = 1 m f , ψ j ϕ j = j = 1 m | f , ψ j | ϕ j , melyre a Cauchy-Schwarz szerint j = 1 m f X ψ j X ϕ j X = f j = 1 m ψ j X ϕ j X .

Állítás: legyen X Hilbert tér, A : X X véges rendű operátor. Ekkor ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ m X lineárisan függetlenek és ψ 1 , ψ 2 ,..., ψ m X lineárisan függetlenek a fentiek szerint, és A a fenti alakú.

Bizonyítás: R A véges, m dimenziós lineáris altér. Legyenek ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ m lineárisan független elemek, ( ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ m ) = R A . Ezek választhatók úgy, hogy ortonormáltak legyenek (a Schmidt eljárással). Ekkor, ha f X , A f = j = 1 m c j ( f ) ϕ j .Ebben a c j együtthatók egyértelműek, c j ( f ) = A f , ϕ j . Látjuk, hogy c j lineáris funkcionál, továbbá korlátos is, és | c j ( f ) | = | A f , ϕ j | A f ϕ j = 1 A f . Riesz-tétel segítségével ! ψ j X : c j ( f ) = f , ψ j A f = j = 1 m c j ( f ) ϕ j = j = 1 m f , ψ j ϕ j . Nem nehéz belátni, hogy ψ 1 , ψ 2 ,..., ψ m is lineárisan függetlenek.

A másodfajú egyenlet véges rendű operátorokra

Legyen X Hilbert tér (véges vagy végtelen dimenziós), A : X X véges rendű operátor. Tekintsük az A operátornak a másodfajú egyenletét: ( λ I A ) f = b , ahol b X adott és f X keresett. Ezt az előbbiek szerint így írhatjuk: λ f j = 1 m f , ψ j ϕ j = b . Belátjuk, hogy λ 0 esetén ez az egyenlet ekvivalens egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel.

Az előző egyenletet jobbról ψ k -val skalárisan szorozva: λ f , ψ k j = 1 m f , ψ j ϕ j , ψ k = b , ψ k , k { 1,2,..., m } . Keressük ξ j : = f , ψ j -t, adottak a k j : = ϕ j , ψ k , β k : = b , ψ k . Ezzel a jelöléssel: λ ξ k j = 1 m a k j ξ j = β k , k { 1,2,..., m } . Ez egy lineáris egyenletrendszer ξ k együtthatókra. ξ : = ( ξ 1 ξ m ) , β : = ( β 1 β m ) , 𝒜 : = ( a 11 a 1 m a m 1 a m m ) , így ( λ 𝒜 ) ξ = β . Ha f kielégíti a másodfajú egyenletet ξ kielégíti a kapott lineáris algebrai egyenletrendszert λ = 0 esetén is!

Állítás: legyen λ 0 és tfh ξ kielégíti a lineáris algebrai egyenletrendszert! Ekkor f : = 1 λ b + 1 λ j = 1 m ξ j ϕ j kielégíti a véges rendű operátorra vonatkozó másodafajú egyenletet.

Bizonyítás: behelyettesítünk a másodfajú egyenletbe, s kihasználjuk, hogy ξ kielégíti a lineáris algebrai egyenletrendszert.

Tétel: egy f X elem kielégíti a véges rendű opertárra vonatkozó másodfajú egyenletet λ 0 esetén ξ j = f , ψ j képlettel értelmezett koordinátákból álló ξ kielégíti a fenti lineáris algebrai egyenletrendszert. Ennek alapján a véges rendű operátorokra vonatkozó másodfajú egyenlet megoldhatóságának elmélete következik a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatóságának elméletéből. Két eset lehetséges:

  1. ha λ 0 szám az 𝒜 mátrixnak nem sajátértéke det | λ 𝒜 | 0 , ekkor ( λ 𝒜 ) ξ = β egyenletben β 𝕂 n ! ξ megoldás ! f megoldás a ( λ I A ) f = b egyenletre. Nem nehéz belátni, hogy f folytonosan függ b-től. Ekkor λ 0 reguláris érték A-ra.
  2. ha λ 0 az 𝒜 mátrixnak sajátértéke λ az A sajátéréke, s a kétféle rang egyenlő. λ = 0 végtelen rangú sajátértéke A-nak (ha X végtelen dimenziós).
11.30

Állítás: ha X végtelen dimenziós vektortér, akkor λ = 0 végtelen rangú sajátértéke az operátornak. A ϕ : = j = 1 m ϕ , ψ j ϕ j . λ = 0 sajátérték azt jelenti, hogy A ϕ = 0 ϕ = 0 biztosan teljesül. Mivel ϕ j -k lineárisan függetlenek, ϕ , ψ j = 0 , j { 1,2,..., m } ϕ ( ψ 1 , ψ 2 ,..., ψ m ) .

Összefoglalva: legyen X végtelen dimenziós szeparábilis Hilbert tér! Ekkor egy A véges rendű operátor spektruma csak sajátértékekből áll, mégpedig a 0-tól különböző (véges sok) sajátérték véges rangú (ezek megegyeznek az 𝒜 mátrix sajátértékeivel, s ranguk is megegyezik), a 0 pedig végtelen rangú sajátérték. Minden más λ reguláris érték.

Példa véges rangú operátorokra (elfajult magú integrálegyenletek)

X : = L 2 ( M ) , ahol M mérhető halmaz. 𝒦 ( x , y ) = j = 1 m ϕ j ( x ) ψ j ( y ) , ahol ϕ j , ψ j L 2 ( M ) 𝒦 L 2 ( M × M ) . ( K ϕ ) ( x ) = M 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y = M [ j = 1 m ϕ j ( x ) ψ j ( y ) ] ϕ ( y ) d y = j = 1 m ϕ j ( x ) M ψ j ( y ) ϕ ( y ) d y . Röviden: K ϕ = j = 1 m ϕ j ϕ , ψ j .

Az előbbiek alapján egy elfajult magú (elsőfajú) integrálegyenlet megoldása kiszámolható egy lineáirs algebrai egyenletrendszer megoldásával.

Kompakt (teljesen folytonos) operátorok

Definíció: egy M Y halmazt feltételesen (vagy relatíve) sorozatkompaktnak nevezünk, ha lezárása sorozatkompakt.

Megjegyzés: M feltételesen sorozatkompakt, ha tetszőleges M-beli sorozatból kiválasztható konvergens részsorozat. n -ben a feltételesen sorozatkompakt halmazok a korlátos halmazok.

Definíció: legyenek X , Y Banach terek! Egy A : X Y lineáris operátort teljesen folytonosnak, avagy kompaktnak nevezünk, ha X tetszőleges korlátos halmazát feltételesen (avagy relatíve) sorozatkompakt halmazba képezi.

Megjegyzés: Ekkor A korlátos is, továbbá két kompakt operátor összege és számszorosa is kompakt.

Állítás: egy A : X Y operátor kompakt ( x k ) k , x k X korlátos sorozatra ( A x k ) k -ból kiválasztható konvergens részsorozat.

Állítás: legyen X Hilbert tér, A : X X véges rendű operátor. Ekkor A kompakt.

Tétel: legyenek X, Y Banach terek, A j L ( X , Y ) operátorok kompaktak, és A L ( X , Y ) : lim j A j = A A is kompakt operátor.

Bizonyítás: legyen ( x k ) k egy X-beli korlátos sorozat. Bizonyítani akarjuk, hogy ( A x k ) k -nek van konvergens részsorozata Y-ban. Tudjuk, hogy A L ( X , Y ) . Mivel A 1 kompakt, ezért az ( A 1 x k ) k sorozatból kiválasztható Y-ban konvergens részsorozat, legyen ez ( A 1 x k 1 ) k ! ( A 2 x k 1 ) k -ből kiválasztható konvergens részsorozat, legyen ez ( A 2 x k 2 ) k . ( A 3 x k 2 ) k -ből megint kiválasztható…
x 1 x 2 x k A 1 x 11 x 21 x k 1 részsorozatra  ( A 1 x k 1 ) k  konvergens A 2 x 12 x 22 x k 2 részsorozatra  ( A 2 x k 2 ) k  konvergens A j x 1 j x 2 j x k j részsorozatra  ( A j x k j ) k  konvergens
Tekintsük az ( x k k ) k átlós sorozatot. Belátjuk, hogy ( A x k k ) k konvergens Y-ban. ( x k k ) k az eredeti ( x k ) k sorozatnak olyan részsorozata, amely bármelyik sorban levő részsorozatnak a részsorozata, bizonyos indextől kezdve.
A x k k A x m m Y = [ A x k k A j x k k ] + [ A j x k k A j x m m ] + [ A j x m m A x m m ] Y ( A A j ) x k k Y + A j x k k A j x m m Y + ( A j A ) x m m Y A A j L ( X , Y ) x k k X + A j x k k A j x m m Y + A j A L ( X , Y ) x m m X .
( x k k ) k korlátos sorozat, ehhez c > 0 : x k k c . Legyen ε > 0 tetszőleges. Mivel lim j A j A = 0 , ezért j 0 : j j 0 A j A ε . Válasszuk pl: j = j 0 . Mivel ( A j 0 x k k ) k konvergens, ezért k 0 : k , l k 0 A j 0 x k k A j 0 x l l ε . Tehát k , l k 0 esetén A x k k A x l l Y c ε + ε + c ε = ( 2 c + 1 ) ε ( A x k k ) Cauchy sorozat.

Következmény: kompakt operátorok alteret képeznek L ( X , Y ) -ban.

Tétel: (bizonyítás nélkül) legyen X szeparábilis Hilbert tér. Ha A : X X kompakt operátor, akkor A j : X X véges rendű operátorok, hogy lim j A j A L ( X , X ) = 0 .

Összefoglalva: ha X szeparábilis Hilbert tér, akkor az A : X X korlátos operátor kompakt előáll véges rendű operátorok sorozatának norma szerinti limeszeként.

Példa: legyen X = L 2 ( M ) Hilbert tér, K : L 2 ( M ) L 2 ( M ) négyzetesen integrálható magú integráloperátor, ( K ϕ ) ( x ) : = M 𝒦 ( x , y ) ϕ ( y ) d y . Ez a K operátor kompakt. Ennek igazolásának alapgondolata: tudjuk, hogy L 2 ( M ) szeparábilis Hilbert tér (végtelen dimenziós). Legyenek ebben teljes ortonormált rendszerek ψ 1 , ψ 2 ,... illetve ϕ 1 , ϕ 2 ,... . Ekkor 𝒦 ( x , y ) = m = 1 ( j , k m c j k ϕ j ( x ) ψ k ( y ) ) , 𝒦 N ( x , y ) = m = 1 N j , k m c j k ϕ j ( x ) ψ k ( y ) , lim N 𝒦 N 𝒦 L 2 ( M × M ) = 0 . 𝒦 N -nek véges rendű operátorok felelnek meg. K N K L ( L 2 ( M ) , L 2 ( M ) ) 0 , ha N .

Másodfajú egyenlet kompakt operátorokra

Legyen X szeparábilis Hilbert tér, A : X X kompakt operátor. Tekintsük a ( λ I A ) f = b másodfajú egyenletet, melyben λ 0 rögzített. Tudjuk, hogy A kompakt operátor tetszőleges előírt pontossággal megközelíthatő egy B véges rendű operátorral. A 0 : X X véges rendű operátor, hogy A A 0 < | λ | . B 0 : = A A 0 A = A 0 + B 0 , ahol A 0 véges rendű, és B 0 < | λ | . Tehát a másodfajú egyenlet így írható: [ λ I ( A 0 + B 0 ) ] f = b ( λ I B 0 ) f = b + A 0 f .
| λ | > B 0 | λ | > B 0 korlátos operátor spektrálsugara λ reguláris érték B 0 operátorra nézve a legutóbbi egyenlet ekvivalens: f = ( λ I B 0 ) 1 ( b + A 0 f ) = ( λ I B 0 ) 1 b adott + ( λ I B 0 ) 1 A 0 f . λ -val beszorozva, átrendezve: λ f λ ( λ I B 0 ) 1 A 0 : = B : = B λ f = λ ( λ I B 0 ) 1 b : = g . A bevezetett jelöléssel ( λ I B λ ) f = g . Észrevétel: B λ véges rendű operátor, mert A 0 véges rendű operátor. Legyen δ > 0 rögtített szám, és válasszuk A 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamyqamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaaa@5407@ -t úgy, hogy A A 0 <δ MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaauWaaeaacaWGbbGaeyOeI0IaamyqamaaBaaaleaacaaIWaaabeaaaOGaayzcSlaawQa7aiabgYda8iabes7aKbaa@5B94@ legyen. Ekkor az előbbi gondolatmenet érvényes λ -ra, A 0 nem függ λ -tól, ha λδ MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaeq4UdWMaeyyzImRaeqiTdqgaaa@577A@ (de δ -tól igen). A 0 véges rendű operátor λδ MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaeq4UdWMaeyyzImRaeqiTdqgaaa@577A@ esetén, és A 0 f = j = 1 m f , ψ j ϕ j alakban írható. B f = B λ f = λ ( λ I B 0 ) 1 j = 1 m f , ψ j ϕ j = j = 1 m λ f , ψ j ( λ I B 0 ) 1 ϕ j . A másodfajú egyenlet: λ f j = 1 m λ f , ψ j ( λ I B 0 ) 1 ϕ j = g = g λ .

12.07

Tehát kaptuk, hogy λ f j = 1 m λ f , ψ j ( λ I B 0 ) 1 ϕ j = g = g λ . Ez megfelel egy lineáris algebrai egyenletrendszernek: λ ξ λ ξ = β λ . Ekkor det ( λ λ ) = 0 egyenlet gyökei a sajátértékek. A mátrix ( λ ) és az operátor ( B λ ) sajátértékei azonosak az eredeti operátor (A) sajátértékeivel, és rangjuk is azonos. Belátható, hogy a mátrix elemei a λ változónak holomorf függvényei! Így a determináns is holomorf függvénye λ -nak. Tudjuk, hogy egy holomorf függvény gyökei nem torlódhatnak egy véges pontban, hacsak nem az azonosan 0 függvény. Mivel λ < A , ezért csak véges sok gyök van. Tehát tetszőleges rögzített δ esetén A operátornak véges sok δ -nál nagyobb abszolút értékű sajátértéke van, s ezek véges rangúak.

Tétel: ha A kompakt operátor, akkor A-nak legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok sajátértéke van, a 0-tól különböző sajátértékek véges rangúak, s a sajátértékek csak a 0-ban torlódhatnak. (Gondoljunk csak a δ : = 1 / k , k esetre!)

Tétel (biz. nélkül): minden λ 0 , ami nem sajátérték, az reguláris érték A (kompakt operátorra) nézve.

Következmény: ha λ 0 nem sajátérték, ( λ I A ) f = b másodfajú egyenletnek b -re létezik egyetlen f megoldás, és ez folytonosan függ b-től.

Mi a helyzet, ha λ sajátérték?

Emlékeztető: tetszőleges korlátos lineáris operátor esetén R λ I A ¯ = S λ ¯ ( A * ) R λ I A ¯ = S λ ¯ ( A * ) . Ha R λ I A zárt altér, akkor R λ I A = R λ I A ¯ = S λ ¯ ( A * ) .

Tétel: ha A kompakt operátor, akkor λ 0 esetén R λ I A zárt altér.

Bizonyítás: látható, hogy R λ I A lineáris altér. Azt kell bizonyítani, hogy R λ I A zárt halmaz. Legyen tetszőleges ψ j R λ I A és lim ψ j = ψ , ekkor ψ R λ I A ? Mivel ψ j R λ I A ϕ j X : ( λ I A ) ϕ j = ψ j . Jelöljük: S λ ( A ) : = { ϕ X : ( λ I A ) = 0 } . Ekkor S λ ( A ) zárt lineáris altér (A folytonos). A Riesz tétel következtében X : = S λ ( A ) S λ ( A ) x X ! x 1 , x 2 : x 1 S λ ( A ) , x 2 S λ ( A ) , x = x 1 + x 2 . Ennek megfelelően X ϕ j = f j + g j , ahol f j S λ ( A ) . g j S λ ( A ) , ψ j = ( λ I A ) ϕ j = ( λ I A ) f j = 0 + ( λ I A ) g j ( λ I A ) g j = ψ j . Kis állítás: ( g j ) j korlátos sorozat X-ben.

Bizonyítás (a tétel bizonyításán belül): indirekt feltesszük, hogy ( g j k ) k részsorozat, hogy lim k g j k X = . Legyen h j k = g j k g j k X , ekkor h j k X = 1 . ( λ I A ) g j k = ψ j k egyenletet osztva g j k -val: ( λ I A ) h j k = ψ j k g j k X 0 X , ugyanis ψ j konvergens korlátos. lim k ( λ h j k A h j k ) = 0 X . ( h j k ) korlátos sorozat (mert h j k = 1 ), A kompakt operátor, ezért ( h ˜ j k ) részsorozat, amelyre ( A h ˜ j k ) konvergens ( λ h ˜ j k ) k is konvergens. λ 0 ( h ˜ j k ) konvergens, ( h ˜ j k ) k h 0 ( λ I A ) h ˜ j k 0 ( λ I A ) h 0 = 0 . Ebből következik, hogy h 0 S λ ( A ) . Másrészt h j k = g j k g j k , g j k S λ ( A ) h j k S λ ( A ) limeszben h 0 S λ ( A ) . Másrészt h 0 S λ ( A ) , így h 0 = 0 , de ez meg nem lehet, mert h ˜ j k = 1 h 0 = 1 kéne lennie.

Tehát ( λ I A ) g j = ψ j , lim ( ψ j ) = ψ , g j X korlátos. Mivel A kompakt és g j korlátos g ˜ j k részsorozat, hogy A g ˜ j k konvergens. ψ j k is konvergens λ g j k is konvergens, λ 0 ( g j k ) konvergens. g j k g 0 X-ben, g 0 X . ( λ I A ) g 0 = ψ ψ R λ I A .

Tétel (bizonyítás nélkül): legyen A : X X kompakt operátor. Ekkor A * is kompakt. Továbbá λ 0 az A-nak sajátértéke λ ¯ sajátértéke A * -nak, és ekkor a rangok egyenlők.

Összefoglalás (Fredholm alternatíva): legyen A : X X kompakt operátor, λ 0 tetszőleges szám s ( λ I A ) f = b másodfajú egyenlet. Ekkor két eset lehetséges:

  1. ha λ 0 az A-nak nem sajátértéke (legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok, véges rangú, 0-ban torlódó sajátértékek), akkor a másodfajú egyenletnek b X esetén ! f megoldása és ez folytonosan függ b-től ( ( λ I A ) 1 folytonos)
  2. ha λ 0 sajátérték, akkor a másodfajú egyenletnek a megoldása nem egyértelmű, a homogén egyenletnek véges sok lineárisan független megoldása van. A megoldás pontosan létezik, ha b S λ ¯ ( A * ) minden elemére. Ez annyi db ortogonalitási feltétel, amennyi a λ sajátérték rangja.

Önadjungált kompakt operátorok

Tétel: legyen X szeparábilis Hilbert tér, A : X X kompakt és önadjungált operátor, A 0 . Ekkor λ 1 sajátérték: | λ 1 | = A = sup { | A x , x | : x X = 1 } .

Megjegyzés: ha λ 1 az A operátor olyan sajátértéke, amelyre | λ 1 | = A és x 1 olyan sajátelem, hogy x 1 = 1 , azaz A x 1 = λ 1 x 1 , x 1 = 1 , akkor | A x 1 , x 1 | = | λ 1 x 1 , x 1 | = | λ 1 x 1 , x 1 | = | λ 1 | = A = sup { | A x , x : x X = 1 | } . Más szóval, az x | A x , x | , ahol x = 1 , ez a függvény felveszi a suprémumot az x = x 1 sajátelemen, a maximum (ami most a suprémum is) értéke = | λ 1 | . Fordítva: ha x * olyan, hogy x * = 1 , és arra | Ax,x | MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaaqWaaeaadaaadaqaaiaadgeacaWG4bGaaiilaiaadIhaaiaawMYicaGLQmcaaiaawEa7caGLiWoaaaa@5ABD@ maximális, akkor ez sajátelem és a maximum egyenlő a sajátérték abszolút értékével. Ugyanis | A x * , x * | A x * x * A x * 2 = A , a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenségben egyenlőség pontosan akkor áll fenn, amikor A x * x * , azaz A x * = c o n s t x * .

További sajátértékek, sajátelemek keresése.

Legyen X 1 : = { x X : x x 1 } , ahol A 1 : = A | X 1 , a leszűkítés, és A x 1 = λ 1 x 1 .

Állítás: X 1 invariáns altér, azaz x X 1 A x X 1 .

Bizonyítás: tfh x X 1 ! A x , x 1 = x , A x 1 = x , λ 1 x 1 = λ 1 x , x 1 = 0 , tehát A x X 1 . Az előbbi tételt alkalmazhatjuk az A 1 operátorra X 1 Hilbert térben. Ekkor λ 2 sajátérték, hogy | λ 2 | = A 1 = sup { A 1 x , x : x X = 1, x X 1 } . A maximum helye x 2 sajátelem helyén van, λ 2 x 2 = A x 2 , x 2 x 1 . Így egymás után megkaphatjuk az A operátor sajátértékeit és sajátelemeit, | λ 1 | | λ 2 | ... . Ha A véges rendű, akkor az eljárás véges sok lépés után befejeződik.

Tétel: legyenek az A önadjungált operátor sajátértékei λ 1 , λ 2 ,… és sajátelemei x 1 , x 2 ,… A sajátelemekről feltehető, hogy ortonormált rendszert alkotnak. Ekkor x X elemre A x = k λ k x , x k x k . Az ( x k ) ortonormált rendszert kibővítve a λ = 0 -hoz tartozó sajátelemek ortonormált rendszerével, akkor ezek egy teljes ortonormált rendszert alkotnak.