Analízis III

09.07

Differenciálegyenletek

(Simon Péter helyettesít) Mi a differenciálegyenlet?

Pl

$\ddot{x} (t) = - ω^{2} x (t)$
$\ddot{x} (t) = F (t) / m$
$\partial_{t} u = Δ u$
$\dot{x} (t) = x (t - 1)$

Ezeket lehet rendszerezni: ODE (ordenary differential equation, azaz közönséges differenciál-egyenlet, 1-es és 2-es), PDE (partial differential equation, 3-as), FDE (functional differential equation, 4-es).

Most az ODE-val foglalkozunk. Mi a közönséges differenciál-egyenlet?

Definíció: legyen $F : ℝ^{n + 2} \to ℝ$ , n-edrendű közönséges differenciálegyenlet: $\forall t$ -re $0 = F (t, x (t), \dot{x} (t), \ddot{x} (t),..., x^{(n)} (t))$

Megjegyzés: egy ilyen n-edrendű egyenlet átírató elsőrendű rendszerré. Pl: $\ddot{x} (t) = - ω^{2} x (t)$ egyenletet átírjuk: $y_{1} (t) = x (t)$ , $y_{2} (t) = \dot{x} (t)$ . Ekkor y-ra az alábbi elsőrendű, kétismeretlenes rendszer áll fenn:
$\begin{array}{l} {\dot{y}}_{1} (t) = y_{2} (t) \\ {\dot{y}}_{2} (t) = - ω^{2} \cdot y_{1} (t) \end{array}$

n-edrendűnél: $y_{1} = x$ , $y_{2} = \dot{x}$ , … , $y_{n} = x^{(n - 1)}$ . Ekkor $(y_{1},..., y_{n})$ -re elsőrendű rendszert kapunk.

Definíció: legyen $f : ℝ \times ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ , $\dot{x} (t) = f (t, x (t))$ elsőrendű (explicit) közönséges differenciálegyenlet-rendszer. Ismeretlen az $x : ℝ \to ℝ^{n}$ függvény. Koordinátánként kiírva:
$\begin{array}{l} {\dot{x}}_{1} (t) = f_{1} (t, x_{1} (t), x_{2} (t),..., x_{n} (t)) \\ {\dot{x}}_{2} (t) = f_{2} (t, x_{1} (t), x_{2} (t),..., x_{n} (t)) \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} (t) = f_{n} (t, x_{1} (t), x_{2} (t),..., x_{n} (t)) \end{array}$

Mivel foglalkozik a közönséges differenciálelmélet?

Mi a megoldás? Azaz számítsuk ki a megoldást. (Ezt már tanultuk.) Vannak:
1. képlettel megoldhatók
2. képlettel nem megoldhatók (de numerikusan közelíthetők)
Megoldás létezésének, egyértelműségének keresése, függése a paraméterektől
Milyen a megoldás? Pl periodikus-e, korlátos-e… A megoldást szeretnénk jellemezni annak kiszámítása nélkül. Pl $\dot{x} = x$ és $x (0) > 0$ . Ekkor egyből látjuk, hogy x szigmon nő, akkor is, amikor még nem tudtuk, hogy konkrétan mi a megoldás.

Közönséges differenciálegyenlet megoldásának létezése és egyértelműsége

Pl: $\dot{x} (t) = x (t)$ , ennek egy jó megoldása $x (t) = c \cdot e^{t}$ , $c \in ℝ$ , azaz végtelen sok megoldás van. Legyen kezdeti feltétel: $x (0) = a \in ℝ$ adott. Ekkor már csak 1 megoldás van az ilyen fajtákból: $c \cdot e^{0} = a \Rightarrow c = a$ , vagyis a megoldás $x (t) = a \cdot e^{t}$ . De más fajtából lehetne még megoldás? Nem, ugyanis:
$\begin{array}{l} \dot{x} (t) = x (t) \\ \dot{x} (t) \cdot e^{- t} - x (t) e^{- t} = 0 \\ {(x (t) \cdot e^{- t})}^{'} = 0 \Rightarrow x (t) \cdot e^{- t} = c \end{array}$

Az implikáció csak akkor igaz, ha $D (x)$ (azaz a differenciáloperátor) egy intervallumon van értelmezve. Tehát $\exists k \in ℝ : x (t) e^{- t} = k \Leftrightarrow x (t) = k \cdot e^{t}$ . A megoldás egyértelmű, mert bármilyen kezdőfeltételt adok meg, lesz pontosan 1 megoldás.

Másik példa: $\dot{x} (t) = \sqrt{| x (t) |}$ . Mi a megoldás $x > 0$ -ra? $\frac{\dot{x} (t)}{\sqrt{x (t)}} = 1 \Rightarrow 2 \sqrt{x (t)} = t + c \Rightarrow x (t) = {(\frac{t + c}{2})}^{2}$ . Hamis gyökök a parabolák „bal oldalai”. $x < 0$ esetén a megoldás „lefelé fordított parabolák bal oldalai”, hamis megoldás a parabolák „jobb oldalai”. $x = 0$ esetén mindkét fajta megoldás jó. Így adott kezdeti feltétel mellett végtelen sok megoldás létezik. Ha $x (t_{0}) = a$ a kezdeti feltétel, akkor $a > 0$ esetén a megoldás csak lokálisan egyértelmű, de globálisan nem.

Mitől lesz a megoldás egyértelmű?

Tétel: ha $\dot{x} (t) = f (t, x (t))$ közönséges diffegyenletben az f függvény az x változóban teljesíti a lokális Lipschitz feltételt, akkor a megoldás egyértelmű. Vagyis ha minden pont egy alkalmas környezetéhez $\exists L \in ℝ^{+} : | f (t, p) - f (t, q) | \leq L \cdot | p - q |$ , akkor a megoldás egyértelmű.

Pl: $g (x) = 5 x$ , vagy $g (x) = x^{2}$ teljesítik a lokális Lipschitz feltételt, de a $g (x) = \sqrt{| x |}$ már nem. Ez utóbbi 0-ban nem lok. Lip, csak 1-ben pl.

Észrevétel: ha a derivált létezik, és korlátos minden pont környezetében, akkor lok. Lip.

A tétel bizonyítása az alábbi lemmán alapszik: Gronwall lemma (egyszerű eset): legyen $u : [a, b] \to ℝ$ diffható, melyhez $\exists k \in ℝ^{+} : \dot{u} (t) \leq k \cdot u (t) \forall t \in [a, b]$ . Ekkor $u (t) \leq u (a) \cdot e^{k (t - a)} \forall t \in [a, b]$ .

Bizonyítás: beszorzunk $e^{- k t}$ -vel:
$\begin{array}{l} \dot{u} (t) \cdot e^{- k t} - k \cdot u (t) \cdot e^{- k t} \leq 0 \\ {(u (t) e^{- k t})}^{'} \leq 0 \\ u (t) e^{- k t} \leq u (a) e^{- k a} \\ u (t) \leq u (a) e^{k (t - a)} \end{array}$
Tétel bizonyítása: legyen x és y két megoldás, amelyekhez $\exists τ \in ℝ : x (τ) = y (τ)$ . Belátjuk, hogy $x (t) = y (t) \forall t$ . Bizonyítás $n = 1$ esetre: $u (t) = {(x (t) - y (t))}^{2}$ , $\dot{u} (t) = 2 (x (t) - y (t)) \cdot (\dot{x} (t) - \dot{y} (t)) = 2 (x (t) - y (t)) (f (t, x (t)) - f (t, y (t)))$ . $\dot{u} (t) \leq | \dot{u} (t) | = 2 | x (t) - y (t) | \cdot | f (t, x (t)) - f (t, y (t)) | \leq 2 | x (t) - y (t) | \cdot L \cdot | x (t) - y (t) | = 2 L \cdot u (t)$ Gronwall alkalmazása: $u (t) \leq u (a) \cdot e^{2 L (t - a)}$ , $u (τ) = 0 \Rightarrow u (t) = {(x (t) - y (t))}^{2} \leq 0 \Rightarrow x (t) = y (t) \forall t \geq τ$ . Hasonlóan igaz a $t \leq τ$ -ra is.

09.14

A Hilbert tér geometriája, Fourier sorfejtés

Kiegésztés: fogalmaink használatához be kell vezetni a komplex Euklideszi tér fogalmát.
Komplex vektortér: a definíció analóg a valós vektortér definíciójával, kivéve: komplex számmal való szorzás is értelmezve van, a műveleti tulajdonságok ugyanazok.

Komplex Euklideszi tér: komplex vektortér (az alaptest a komplex számok halmaza, $ℂ$ ), plusz 2 elem skalárszorzata is értelmezve van, értéke komplex szám. A műveleti tulajdonságok analógok, eltérés: $〈 x, y 〉 = \bar{〈 y, x 〉}$ (a felülhúzás a komplex konjugálás), ekkor amúgy $〈 λ x, y 〉 = λ 〈 x, y 〉$ és $〈 x, λ y 〉 = \bar{λ} 〈 x, y 〉$ . (Vegyük észre, hogy a komplex vektortereken értelmezett skaláris szorzás kétféleképp definiálható. Itt - és a matematikában általában - a skaláris szorzás az első változójában lineáris és a másodikban konjugált lineáris. Fizikában fordítva, azaz az első változójában lineáris, a másodikban konjugált lineáris: $〈 λ x, y 〉 = \bar{λ} 〈 x, y 〉$ , illetve $〈 x, λ y 〉 = λ 〈 x, y 〉$ .)

Megjegyzés, példák komplex euklideszi térre:

$ℂ^{n}$ esetén $x = (x_{1}, x_{2},..., x_{n})$ , $x_{j} \in ℂ$ , akkor $λ x = (λ x_{1}, λ x_{2},..., λ x_{n})$ , $〈 x, y 〉 = \sum_{j = 1}^{n} x_{j} \bar{y_{j}}$
$L^{2} (M)$ tér (komplex esetben), ha $M \subset ℝ^{n}$ mérhető halmaz: legyen $f : M \to ℂ$ , $f = f_{1} + i \cdot f_{2}$ . Legyen továbbá $f_{1}$ , $f_{2}$ valós függvények. f mérhetősége azt jelenti, hogy $f_{1}, f_{2}$ mérhető $\Rightarrow \int_{M} f : = \int_{M} f_{1} + i \int_{M} f_{2}$ . $f : M \to ℂ$ integrálható $\Leftrightarrow | f |$ integrálható, $| f | : M \to ℝ$ mérhető.
Definíció: jelölje $L^{2} (M)$ az olyan $f : M \to ℂ$ mérhető függvények összességét, amelyekre ${| f |}^{2}$ integrálható. Könnyen belátható, hogy $L^{2} (M)$ komplex vektortér. Vezessük be ebben a következő skalárszorzatot: $〈 f, g 〉 : = \int_{M} f \bar{g}$ . Így egy Euklideszi teret kapunk. Sőt, a tér teljes, vagyis $L^{2} (M)$ Hilbert tér.
Komplex $l^{2}$ tér, $x : = (x_{1}, x_{2},..., x_{j},...)$ , $x_{j} \in ℂ$ , $l^{2}$ komplex euklideszi tér, ebben a skaláris szorzás $〈 x, y 〉 = \sum_{j = 1}^{\infty} x_{j} \bar{y_{j}}$ . Bizonyítható, hogy teljes is.

Ortogonális kiegészítő altér

Definíció: legyen X Hilbert tér (vagy akár Banach is). Egy $Y \subset X$ halmazt altérnek nevezzük, ha az összeadás és számmal való szorzás nem vezet ki belőle és zárt részhalmaz (a konvergencia nem vezet ki).

Definíció: legyen X Hilbert tér, s két eleme x és y. Ezek merőlegesek, vagyis $x ⊥ y$ , ha $〈 x, y 〉 = 0$ .

Definíció: legyen X Hilbert tér, $Y \subset X$ altér. Azt mondjuk, hogy az $x \in X$ elem Y ortogonális, ha $\forall y \in Y$ -ra $〈 x, y 〉 = 0$ .

Definíció: legyen X Hilbert tér, $Y \subset X$ altér. Az Y altér ortogonális kiegészítő altérét, $Y^{⊥}$ -t így értelmezzük: $Y^{⊥} : = {x \in X : x ⊥ Y}$ .

Állítás: $Y^{⊥} \subset X$ is altér.

Bizonyítás: az összeadás és számmal való szorzás nem vezet ki belőle, ugyanis tfh $y_{1}, y_{2} \in Y^{⊥}$ , $x \in Y$ tetszőleges. Ekkor $〈 λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2}, x 〉 = λ_{1} 〈 y_{1}, x 〉 + λ_{2} 〈 y_{2}, x 〉 = 0$ . $Y^{⊥}$ zárt halmaz, ugyanis legyen $y_{j} \in Y^{⊥}$ , $\lim (y_{j}) = y \in X$ . Tudjuk, hogy $〈 y_{j}, x 〉 = 0 \forall x \in Y$ . $y_{j} \to y \Rightarrow 〈 y_{j}, x 〉 \to 〈 y, x 〉$ minden rögzített x-re, ugyanis a skalárszorzat a tényezőktől folytonosan függ, tehát $〈 y, x 〉 = 0$ , $\forall x \in X$ -re, vagyis $y \in Y^{⊥}$ .

Megjegyzés: komplex Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség, azaz $| 〈 x, y 〉 | \leq ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖$ bizonyítása:
$\begin{array}{l} 0 \leq 〈 x + λ y, x + λ y 〉 = 〈 x, x 〉 + λ 〈 y, x 〉 + \bar{λ} 〈 x, y 〉 + λ \bar{λ} 〈 y, y 〉 \\ 0 \leq 〈 x, x 〉 + λ 〈 y, x 〉 + \bar{λ} [〈 x, y 〉 + λ 〈 y, y 〉] \end{array}$
A $λ \in ℂ$ számot válasszuk meg úgy, hogy $\bar{λ}$ együtthatója 0 legyen. Ez teljesül, ha $λ = - \frac{〈 x, y 〉}{〈 y, y 〉}$ ( $y = 0$ triviális eset, így feltesszük, hogy $y \neq 0$ ), behelyettesítve: $0 \leq 〈 x, x 〉 - \frac{〈 x, y 〉}{〈 y, y 〉} 〈 y, x 〉 = 〈 x, x 〉 - \frac{{| 〈 x, y 〉 |}^{2}}{〈 y, y 〉} \Rightarrow {| 〈 x, y 〉 |}^{2} \leq 〈 x, x 〉 〈 y, y 〉$ .

Riesz-féle felbontási tétel: legyen X Hilbert tér, Y egy altere, $Y^{⊥}$ az Y-nak ortogonális kiegészítő altere! Ekkor $\forall x \in X$ elemre $x = y + z$ , ahol $y \in Y$ , $z \in Y^{⊥}$ és a felbontás egyértelmű.

Lemma (paralelogramma egyenlőség): legyen X egy Hilbert tér. Ekkor $\forall a, b \in X$ esetén ${‖ a + b ‖}^{2} + {‖ a - b ‖}^{2} = 2 {‖ a ‖}^{2} + 2 {‖ b ‖}^{2}$ .

Bizonyítás (lemmáé): ${‖ a + b ‖}^{2} + {‖ a - b ‖}^{2} = 〈 a + b, a + b 〉 + 〈 a - b, a - b 〉 =$ $= {‖ a ‖}^{2} + {‖ b ‖}^{2} + 〈 a, b 〉 + 〈 b, a 〉 + {‖ a ‖}^{2} + {‖ b ‖}^{2} - 〈 a, b 〉 - 〈 b, a 〉 = 2 {‖ a ‖}^{2} + 2 {‖ b ‖}^{2}$ .

Bizonyítás (tételé): legyen $d : = \inf {‖ x - y ‖ : y \in Y} \geq 0$ (d véges). Belátjuk, hogy $\exists y_{0} \in Y : ‖ x - y_{0} ‖ = d$ . Az infinimum definíciója miatt $\exists y_{j} \in Y : d^{2} \leq {‖ x - y_{j} ‖}^{2} < d^{2} + 1 / j j \in ℕ$ . Tekintsük az $(y_{j})$ sorozatot!
Állítás: $(y_{j})$ Cauchy sorozat. Ehhez felhasználjuk a paralelogramma egyenlőséget: $a : = x - y_{j}$ , $b : = x - y_{k}$ . ${‖ (x - y_{j}) + (x - y_{k}) ‖}^{2} + {‖ (x - y_{j}) - (x - y_{k}) ‖}^{2} = 2 {‖ x - y_{j} ‖}^{2} + 2 {‖ x - y_{k} ‖}^{2}$ , ${‖ y_{k} - y_{j} ‖}^{2} = 2 {‖ x - y_{j} ‖}^{2} + 2 {‖ x - y_{k} ‖}^{2} - \underset{4 {‖ x - \frac{y_{j} + y_{k}}{2} ‖}^{2}}{\underset{︸}{{‖ 2 x - (y_{j} + y_{k}) ‖}^{2}}} \leq$ $\leq 2 (d^{2} + 1 / j) + 2 (d^{2} + 1 / k) - 4 d^{2} = \frac{2}{j} + \frac{2}{k} < ε$ , ha $j, k \geq j_{0}$ .
Mivel X tér teljes $\Rightarrow \exists y_{0} \in X : \lim_{j \to \infty} ‖ y_{j} - y_{0} ‖ = 0$ . Mivel Y altér zár halmaz $\Rightarrow y_{0} = \lim (y_{j}) \in Y$ .
Másrészt $d = \inf {‖ x - y ‖ : y \in Y}$ , $d^{2} \leq {‖ x - y_{j} ‖}^{2} < d^{2} + \frac{1}{j}$ és $\lim (y_{j}) = y_{0} \Rightarrow {‖ x - y_{0} ‖}^{2} = d^{2}$ , mivel $‖ x - y_{0} ‖ = \lim ‖ x - y_{j} ‖$ . Legyen $z_{0} = x - y_{0}$ . Be kellene még látni, hogy $z_{0} ⊥ Y$ , vagyis $x = y_{0} + z_{0}$ , ahol $y_{0} \in Y, z_{0} \in Y^{⊥}$ .
Legyen $y \in Y$ ! Mivel d a fenti infinimum, ezért tetszőleges $λ \in 𝕂$ esetén $d^{2} = {‖ x - y_{0} ‖}^{2} \leq {‖ x - y_{0} - λ y ‖}^{2} =$ $= {‖ z_{0} - λ y ‖}^{2} = 〈 z_{0} - λ y, z_{0} - λ y 〉 = {‖ z_{0} ‖}^{2} - λ 〈 y, z_{0} 〉 - \bar{λ} [〈 z_{0}, y 〉 - λ {‖ y ‖}^{2}]$ . Most $λ$ -t megint úgy választjuk, hogy $\bar{λ}$ együtthatója 0 legyen, vagyis legyen $λ = \frac{〈 z_{0}, y 〉}{{‖ y ‖}^{2}}$ (megint feltehetjük, hogy $y \neq 0$ ). Tehát $d^{2} \leq d^{2} - λ 〈 y, z_{0} 〉 = d^{2} - \frac{〈 z_{0}, y 〉}{{‖ y ‖}^{2}} 〈 y, z_{0} 〉 = d^{2} - \frac{{| 〈 z_{0}, y 〉 |}^{2}}{{‖ y ‖}^{2}}$ , $0 \leq - \frac{{| 〈 z_{0}, y 〉 |}^{2}}{{‖ y ‖}^{2}} \Rightarrow {| 〈 z_{0}, y 〉 |}^{2} = 0 \Rightarrow 〈 z_{0}, y 〉 = 0$ . Tehát $z_{0} \in Y^{⊥}$ , vagyis valóban lehetséges ilyen felbontás.
Indirekt bizonyítjuk, hogy a felbontás egyértelmű. Tfh két alakban is felírható x: $x = y_{0} + z_{0} = y_{1} + z_{1}$ , ahol $y_{1}, y_{2} \in Y$ és $z_{1}, z_{2} \in Y^{⊥}$ . $Y ∍ (y_{0} - y_{1}) : = a = (z_{1} - z_{0}) \in Y^{⊥}$ .

〈 y_{0} - y_{1}, z_{1} - z_{0} 〉 = {‖ a ‖}^{2} = 0 \Rightarrow y_{0} - y_{1} = z_{0} - z_{1} = 0 \Rightarrow y_{0} = y_{1}, z_{0} = z_{1}

09.21

Ortogonális rendszerek

Definíció: egy X vektortérben az M halmaz elemei lineárisan függetlenek, ha bármely véges sok lineárisan független.

Definíció: legyen X normált tér! X dimenziója az olyan lineárisan független elemek maximális száma, amelyek véges lineárkombinációi mindenütt sűrűn vannak X-ben (egy $A \subset X$ sűrű X-ben, ha $\bar{A} = X$ , ahol a halmaz felülvonása a lezárást jelenti, ez amúgy ekvivalens azzal, hogy $\forall x \in X$ -nek minden környezetében van A-beli elem). Másképp fogalmazva: jelöljük $ℒ (x_{1}, x_{2},...)$ -val azt a lineáris teret, amely az $x_{1}, x_{2},...$ elemek véges lineárkombinációjaként előáll. (Az előálló lineáris tér egyértelmű, de egy teret több ilyen vektorrendszer is előállíthat.) Ekkor X tér dimenziója az olyan lineárisan független elemek maximális száma, melyekre $\bar{ℒ (x_{1}, x_{2},...)} = X$ . A D dimenziószám egyértelmű, $0 \leq D \leq \infty$ .

Definíció: egy X normált teret szeparábilisnak nevezünk, ha benne megadható megszámlálhatóan sok (azaz véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok) lineárisan független elem, amelyek véges lineárkombinációi sűrűn vannak X-ben.

Definíció: legyen X Hilbert-tér! Azt mondjuk, hogy az $x_{1}, x_{2},..., x_{k},...$ elemek ortogonális rendszert alkotnak, ha $\forall x_{j}, x_{k} \neq 0$ esetén $〈 x_{j}, x_{k} 〉 = {\begin{matrix} 0 & j \neq k \\ nem 0 & j = k \end{matrix}$ . A rendszer ortonormált, ha $\forall x \in X$ esetén $‖ x ‖ = 1$ .

Kérdés: ha az X Hilbert-térben $y_{1}, y_{2},..., y_{k},...$ lineárisan függetlenek, akkor lehet-e ezekből ortonormált rendszert konstruálni, és ha igen, hogyan? Válasz: lehet, az ún. Schmidt-féle ortogonalizációs eljárással.

Tétel: az $y_{1}, y_{2},..., y_{k},...$ lineárisan független elemekhez megkonstruálhatók az $x_{1}, x_{2},..., x_{k},...$ elemek úgy, hogy az utóbbiak ortonormált rendszert alkossanak, mégpedig úgy, hogy $\forall k$ -ra $ℒ (x_{1}, x_{2},..., x_{k}) = ℒ (y_{1}, y_{2},..., y_{k})$ .

Bizonyítás:

legyen $x_{1} = \frac{y_{1}}{‖ y_{1} ‖}$ , ekkor $‖ x_{1} ‖ = 1$ . $y_{1} \neq 0$ , mert $y_{1}, y_{2},...$ lineárisan függetlenek.
$z_{2} : = y_{2} - λ_{1} x_{1}$ , ahol $λ_{1} \in ℝ$ . Ezt hogy válasszuk meg, hogy $z_{2} ⊥ x_{1}$ teljesüljön? $0 = 〈 z_{2}, x_{1} 〉 = 〈 y_{2} - λ_{1} x_{1}, x_{1} 〉 = 〈 y_{2}, x_{1} 〉 - λ_{1} \underset{= 1}{\underset{︸}{〈 x_{1}, x_{1} 〉}} \Rightarrow λ_{1} = 〈 y_{2}, x_{1} 〉$ . Ekkor $z_{2} \neq 0$ , mert $y_{1}, y_{2}$ lineárisan függetlenek. $x_{2} : = \frac{z_{2}}{‖ z_{2} ‖}$ , ekkor $‖ x_{2} ‖ = 1$ és $〈 x_{1}, x_{2} 〉 = 0$ .
$z_{3} : = y_{3} - μ_{1} x_{1} - μ_{2} x_{2}$ , ahol $μ_{1}, μ_{2} \in ℝ$ . Ezeket hogy válasszuk meg, hogy $z_{3} ⊥ x_{1}, x_{2}$ teljesüljenek? $0 = 〈 y_{3} - μ_{1} x_{1} - μ_{2} x_{2}, x_{1} 〉 = 〈 y_{3}, x_{1} 〉 - μ_{1} - 0 \Leftrightarrow μ_{1} = 〈 y_{3}, x_{1} 〉$ $0 = 〈 y_{3} - μ_{1} x_{1} - μ_{2} x_{2}, x_{2} 〉 = 〈 y_{3}, x_{2} 〉 - 0 - μ_{2} \Leftrightarrow μ_{2} = 〈 y_{3}, x_{2} 〉$ . $z_{3} \neq 0$ $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ lineáris függetlensége miatt, ezért $x_{3} : = \frac{z_{3}}{‖ z_{3} ‖}$ jó választás, így $‖ x_{3} ‖ = 1$ és $x_{3} ⊥ x_{1}, x_{2}$ .

Nem nehéz belátni, hogy az eljárás folytatható $\forall k$ -ra és $ℒ (y_{1}, y_{2},..., y_{k}) = ℒ (x_{1}, x_{2},..., x_{k})$ .

Ortogonális sorok, Fourier-sorok

A továbbiakban legyen X szeparábilis Hilbert-tér, véges vagy végtelen dimenziós! Tudjuk, hogy ekkor X-ben megadható $x_{1}, x_{2},..., x_{k},...$ ortonormált rendszer. Egy $\sum_{k} c_{k} x_{k}$ alakú sort (összeget) – ahol $c_{k} \in 𝕂$ – ortogonális sornak nevezünk.

Tételek:

egy $\sum_{k} c_{k} x_{k}$ sor konvergens $\Leftrightarrow \sum_{k} {| c_{k} |}^{2} < \infty$
ha $x = \sum_{k} c_{k} x_{k}$ , akkor $c_{l} = 〈 x, x_{l} 〉$
${‖ x ‖}^{2} = \sum_{k} {| c_{k} |}^{2}$ (végtelen dimenziós Pitagorasz tétel).

Bizonyítás:

Véges dimenzióban triviális, így tegyük fel, hogy végtelen sok elemű az ortonormált rendszer! Legyen $s_{j} : = \sum_{k = 1}^{j} c_{k} x_{k}$ ! A sor konvergenciája azt jelenti, hogy $(s_{j})$ sorozat konvergens $\Leftrightarrow (s_{j})$ Cauchy sorozat. ${‖ s_{j} - s_{l} ‖}^{2} = 〈 s_{j} - s_{l}, s_{j} - s_{l} 〉 = 〈 \sum_{k = l + 1}^{j} c_{k} x_{k}, \sum_{k = l + 1}^{j} c_{k} x_{k} 〉 = \sum_{k = l + 1}^{j} c_{k} \bar{c_{k}} \underset{= 1}{\underset{︸}{〈 x_{k}, x_{k} 〉}} = \sum_{k = l + 1}^{j} {| c_{k} |}^{2}$ . Ez a $\sum_{k = 1}^{\infty} {| c_{k} |}^{2}$ sor egy „szelete”. Tehát $(s_{j})$ X-beli sorozatra teljesül a Cauchy-kritérium $\Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{\infty} {| c_{k} |}^{2}$ sorra teljesül a Cauchy-kritérium $\Leftrightarrow (s_{j})$ X-beli sorozat konvergens $\Leftrightarrow \sum_{k = 1}^{\infty} {| c_{k} |}^{2}$ sor konvergens.
tfh $x = \sum_{k} c_{k} x_{k}$ , $x_{l}$ -lel szorozzuk skalárisan (jobbról) az egyenlőséget (ezt megtehetjük, hisz nem nehéz belátni, hogy egy konvergens sor tagonként szorozható skalárisan), $〈 x, x_{l} 〉 = 〈 \sum_{k} c_{k} x_{k}, x_{l} 〉 = \sum_{k} c_{k} 〈 x_{k}, x_{l} 〉 = c_{l}$
${‖ x ‖}^{2} = 〈 x, x 〉 = 〈 \sum_{k} c_{k} x_{k}, x 〉 = \sum_{k} c_{k} \underset{{\bar{c}}_{k}}{\underset{︸}{〈 x_{k}, x 〉}} = \sum_{k} {| c_{k} |}^{2}$

Definíció: legyen $x_{1}, x_{2},..., x_{k}$ ortonormált rendszer, $x \in X$ adott elem! Értelmezzük az x elem k-adik Fourier-együtthatóját: $c_{k} : = 〈 x, x_{k} 〉$ . Az így adódó $\sum_{k} c_{k} x_{k}$ „sort” az x elem Fourier-sorának nevezzük.

Kérdés: egy x elem Fourier-sora konvergens-e? Ha igen, mi az összege?

Tétel: egy $x \in X$ elem Fourier sora mindig konvergens, ugyanis teljesül az ún. Bessel-egyenlőtlenség: $\sum_{k} {| c_{k} |}^{2} \leq {‖ x ‖}^{2}$ . A sor összege pontosan akkor x, ha teljesül az ún Parseval egyenlőség, azaz $\sum_{k} {| c_{k} |}^{2} = {‖ x ‖}^{2}$ .

Bizonyítás: $s_{j} : = \sum_{k = 1}^{j} c_{k} x_{k}$ , ekkor $0 \leq {‖ x - s_{j} ‖}^{2} = 〈 x - s_{j}, x - s_{j} 〉 = {‖ x ‖}^{2} - 〈 s_{j}, x 〉 - 〈 x, s_{j} 〉 + {‖ s_{j} ‖}^{2} =$ $= {‖ x ‖}^{2} - 〈 \sum_{k = 1}^{j} c_{k} x_{k}, x 〉 - 〈 x, \sum_{k = 1}^{j} c_{k} x_{k} 〉 + 〈 \sum_{k = 1}^{j} c_{k} x_{k}, \sum_{k = 1}^{j} c_{k} x_{k} 〉 =$ $= {‖ x ‖}^{2} - \sum_{k = 1}^{j} c_{k} {\bar{c}}_{k} - \sum_{k = 1}^{j} {\bar{c}}_{k} c_{k} + \sum_{k = 1}^{j} c_{k} {\bar{c}}_{k} = {‖ x ‖}^{2} - \sum_{k = 1}^{j} {| c_{k} |}^{2} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{j} {| c_{k} |}^{2} \leq {‖ x ‖}^{2} \Rightarrow \sum_{k = 1}^{\infty} {| c_{k} |}^{2} \leq {‖ x ‖}^{2}$ , másrészt a fentiek szerint ${‖ x - s_{j} ‖}^{2} = {‖ x ‖}^{2} - \sum_{k = 1}^{j} {| c_{k} |}^{2}$ . Ebből láthatjuk, hogy $s_{j} \to x \Leftrightarrow {‖ x ‖}^{2} - \sum_{k} {| c_{k} |}^{2} = 0$ , vagyis a sor összege pontosan akkor x, ha ${‖ x ‖}^{2} - \sum_{k} {| c_{k} |}^{2} = 0$ .

Tétel: legyen $x_{1}, x_{2},..., x_{k},...$ ortonormált rendszer. Ekkor egy $x \in X$ elem Fourier-sorának összege az x elemnek az $X_{0} : = \bar{ℒ (x_{1}, x_{2},..., x_{k},...)} \subset X$ alterén vett merőleges vetülete.

Bizonyítás: jelölje $x^{*} : = \sum_{k} c_{k} x_{k}$ , ahol $c_{k} : = 〈 x, x_{k} 〉$ . Azt kellene belátni, hogy $x^{*} \in X_{0}$ és $(x - x^{*}) ⊥ X_{0}$ . $x^{*} \in X_{0}$ , ugyanis $\sum_{k = 1}^{j} c_{k} x_{k} \in ℒ (x_{1}, x_{2},..., x_{j})$ , így $\sum_{k} c_{k} x_{k} \in X_{0}$ . $(x - x^{*}) ⊥ X_{0}$ ugyanis először legyen $y \in ℒ (x_{1}, x_{2},..., x_{l})$ tetszőleges! Belátjuk, hogy $〈 x - x^{*}, y 〉 = 0$ . $y = \sum_{j = 1}^{l} d_{j} x_{j}$ , $〈 x - x^{*}, y 〉 = 〈 x, y 〉 - 〈 x^{*}, y 〉 = 〈 x, \sum_{j = 1}^{l} d_{j} x_{j} 〉 - 〈 \sum_{k} c_{k} x_{k}, \sum_{j = 1}^{l} d_{j} x_{j} 〉 =$ $\sum_{j = 1}^{l} {\bar{d}}_{j} \underset{c_{j}}{\underset{︸}{〈 x, x_{j} 〉}} - \sum_{j = 1}^{l} {\bar{d}}_{j} \underset{c_{j}}{\underset{︸}{〈 \sum_{k} c_{k} x_{k}, x_{j} 〉}} = 0$ . Most legyen $y \in X_{0} = \bar{ℒ (x_{1}, x_{2},...)}$ , szeretnénk, ha ekkor $〈 x - x^{*}, y 〉 = 0$ is igaz lenne. Ehhez vegyünk egy $(y_{ν})$ , $ℒ (x_{1}, x_{2},...)$ -beli konvergens sorozatot, melyre $y_{ν} \to y$ . Ekkor $〈 x - x^{*}, y_{ν} 〉 = 0$ . Így, mivel $y_{ν} \to y$ , $〈 x - x^{*}, y 〉 = 0$ , ugyanis $| 〈 x - x^{*}, y 〉 | = | 〈 x - x^{*}, y 〉 - 〈 x - x^{*}, y_{ν} 〉 | = | 〈 x - x^{*}, y - y_{ν} 〉 | \leq ‖ x - x^{*} ‖ \cdot \underset{\to 0}{\underset{︸}{‖ y - y_{ν} ‖}} \to 0$ .

Definíció: az $x_{1}, x_{2},...$ ortonormált rendszert zártnak nevezzük, ha $\bar{ℒ (x_{1}, x_{2},...)} = X$ .

Következmény: ha az $x_{1}, x_{2},...$ ortonormált rendszer zárt, akkor $\forall x \in X$ elem Fourier-sorának összege x.

Definíció: egy $x_{1}, x_{2},...$ ortonormált rendszert teljesnek nevezzük, ha $x ⊥ x_{k} \forall k \Rightarrow x = 0$ .

Tétel (bizonyítás nélkül): egy $x_{1}, x_{2},...$ ortonormált rendszer teljes $\Leftrightarrow$ zárt.

09.28

Példák zárt (teljes) ortonormált rendszerekre

Észrevétel: ha $y_{1}, y_{2},..., y_{k},...$ lineárisan független olyan rendszer, hogy $\bar{ℒ (y_{1}, y_{2},...)} = X$ (X Hilbert-tér, a lineárisan független rendszer zárt), akkor ebből a Schmidt ortogonalizálási eljárással zárt (teljes) ortonormált rendszert kapunk.

Konkrét pl: $X : = L^{2} (a, b)$ , ahol $(a, b)$ véges intervallum.

Tétel: ebben az $t \mapsto 1, t \mapsto t, t \mapsto t^{2},..., t \mapsto t^{k},...$ lineárisan független függvények zárt rendszert alkotnak.

Bizonyítás (vázlat): egyrészt a függvényrendszer lineárisan független: $\sum_{j = 0}^{k} a_{j} t^{j} = 0 \Leftrightarrow a_{j} = 0$ . (Egy valós k-ad fokú polinomnak legfeljebb k db gyöke lehet $k \geq 1$ .) Az, hogy a rendszer zárt, következik a Weierstrass approximációs tételéből. Eszerint tetszőleges $f : [a, b] \to ℝ$ folytonos függvényhez $\exists P_{k}$ polinom sorozat, amely egyenletesen tart f-hez. Legyen $g : (a, b) \to ℝ, g \in L^{2} (a, b)$ . A Lebesgue integrál felépítéséből kiolvasható, hogy $g : [a, b] \to ℝ$ folytonos függvények sűrűn vannak $L^{2} (a, b)$ -n. A g folytonos függvényt Weierstrass approximációs tétele szerint tetszőleges előírt pontossággal meg lehet közelíteni polinomokkal, a szuprémum normában $\Rightarrow$ ezek közelítik g-t $L^{2}$ normában is.

Komplex trigonometrikus rendszer $X : = L^{2} (0,2 π)$ , $ϕ_{k} (t) : = e^{i k t}, t \in (0,2 π), k \in ℤ$ .

Tétel: a fenti függvények egy zárt ortogonális rendszert alkotnak (biz. nélkül). Belátjuk, hogy ${(ϕ_{k})}_{k \in ℤ}$ ortogonális. $\int_{0}^{2 π} ϕ_{k} (t) \bar{ϕ_{l} (t)} d t = \int_{0}^{2 π} e^{i k t} e^{- i l t} d t = \int_{0}^{2 π} e^{i (k - l) t} = {[\frac{e^{i (k - l) t}}{i (k - l)}]}_{t = 0}^{2 π} = 0$ ha $k \neq l$ . $ψ_{k} : = \frac{1}{\sqrt{2 π}} ϕ_{k}$ már ortonormált rendszer.

valós trigonometrikus rendszerek.

Legyen az X alaphalmaz a valós $L^{2} (0,2 π)$ . $e^{i k t} = \cos (k t) + i \sin (k t)$ , $\cos (k t) = \frac{e^{i k t} + e^{- i k t}}{2}$ , $\sin (k t) = \frac{e^{i k t} - e^{- i k t}}{2 i}$ . Egyszerű számolással adódik, hogy $1, \cos t, \sin t, \cos (2 t), \sin (2 t),..., \cos (k t), \sin (k t),...$ függvények páronként merőlegesek. Tehát ezek ortogonális rendszert alkotnak a valós $L^{2} (0,2 π)$ -ben. Abból, hogy a komplex trigonometrikus rendszer zárt $\Rightarrow$ a fenti rendszer valós ortogonális zárt rendszer.

A fentiekből következik, hogy egy tetszőleges $f \in L^{2} (0,2 π)$ függvénynek akár a komplex, akár a valós trigonometrikus rendszer szerint Fourier sora előállítja a függvényt $L^{2}$ normában.

Az $1, \cos t, \cos (2 t),..., \cos (k t),...$ függvényrendszer zárt és ortogonális a $L^{2} (0, π)$ -ben. A szinuszos ugyanígy.

Lineáris és korlátos operátorok

Állítás: legyen X, Y normált terek! Korábban bizonyítottuk, hogy $A : X \to Y$ lineráis operátor folytonos $\Leftrightarrow$ A korlátos.

Definíció: egy $A : X \to Y$ lineáris operátort korlátosnak nevezzük, ha $\exists c \geq 0 : {‖ A x ‖}_{Y} \leq c {‖ x ‖}_{X} \forall x \in X$ .

Tétel: legyen X normált tér, Y teljes normált tér (Banach tér), $A : M \to Y$ korlátos lineáris operátor, ahol $M \subset X$ lineáris altér, de nem kell zártnak lennie. Ekkor az A-nak egyértelműen létezik korlátos lineáris kiterjesztése az $\bar{M}$ -ra (M lezárására). Más szóval: $\exists! \tilde{A} : \bar{M} \to Y$ korlátos lineáris operátor, amelyre $\tilde{A} x = A x, \forall x \in M$ . Spec eset, mikor $\bar{M} = X$ .

Bizonyítás (vázlatos): legyen $x \in \bar{M}$ . Ehhez $\exists x_{k} \in M : \lim (x_{k}) = x$ . Tekintsük az ${(A x_{k})}_{k \in ℕ}$ sorozatot Y-ban! Belátjuk, hogy ez Cauchy sorozat. ${‖ A x_{k} - A x_{l} ‖}_{Y} = {‖ A (x_{k} - x_{l}) ‖}_{Y} \leq c \cdot ‖ x_{k} - x_{l} ‖_{X}$ . Legyen $ε > 0$ , $\exists k_{0} : \forall k, l > k_{0}$ esetén $‖ x_{k} - x_{l} ‖ < ε \Rightarrow ‖ A x_{k} - A x_{l} ‖ \leq c \cdot ε$ .Y teljes $\Rightarrow \exists y \in Y : \lim (A x_{k}) = y$ . y csak x-től függ, nem függ $(x_{k})$ -tól és egyértelmű. $\tilde{A} (x) : = y$ , $\tilde{A}$ lineáris, korlátos (és folytonos).

Hahn-Banach tétel: legyen X Banach tér, $X_{0} \subset X$ valódi (zárt lineáris) altér, $f : X_{0} \to 𝕂$ korlátos lineáris funkcionál (azaz számértékű operátor). Ekkor $\exists \tilde{f} : X \to 𝕂$ korlátos lineáris kiterjesztés, és $‖ \tilde{f} ‖ = ‖ f ‖$ .

Korlátos lineáris funkcionálok, duális tér (Hilbert tér esetén)

Észrevétel: legyen X Hilbert tér, $y \in X$ tetszőleges rögzített elem. Értelmezzük az $f : X \to 𝕂, f (x) : = 〈 x, y 〉$ funkcionált.

Állítás: ekkor f korlátos lineáris funkcionál. f linearitása triviális, és korlátos is, ugyanis $| f (x) | = | 〈 x, y 〉 | \leq ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖$ .

Tétel (Riesz): legyen X Hilbert tér (valós vagy komplex), f egy korlátos lineáris funkcionál X-en. Ekkor létezik egyetlen $y \in X$ , hogy $f (x) = 〈 x, y 〉 \forall x \in X$ .

Bizonyítás: jelölje $X_{0} : = {x \in X : f (x) = 0}$ -vel f magterét. $X_{0}$ altér X-ben, azaz az algebrai műveletek nem vezetnek ki $X_{0}$ -ból, és zárt részhalmaz X-ben. Utóbbi azért igaz, mivel f folytonos, azaz ha $x_{k} \in X_{0}$ , $(x_{k}) \to x \Rightarrow x \in X_{0}$ . $f (x_{k}) \to f (x) \Rightarrow f (x) = 0$ , mivel jelen esetben $f (x_{k}) = 0$ .

Ha $X_{0} = X$ , $f (x) = 0 \forall x \in X$ , triviális eset. Ekkor legyen $y = 0$ .
$X_{0}$ valódi altér $\Rightarrow$ (Riesz-féle felbontási tétel) $\exists x_{1} \neq 0 : x_{1} \in X_{0}^{⊥}$ . Legyen $x \in X$ tetszőleges, tekintsük az $X ∍ y_{1} : = f (x) x_{1} - f (x_{1}) x$ elemet. Ekkor $f (y_{1}) = f (x) f (x_{1}) - f (x_{1}) f (x) = 0 \Rightarrow y_{1} \in X_{0} \Rightarrow 〈 y_{1}, x_{1} 〉 = 0$ . Más szóval $0 = 〈 y_{1}, x_{1} 〉 = 〈 f (x) x_{1} - f (x_{1}) x, x_{1} 〉 = f (x) {‖ x_{1} ‖}^{2} - f (x_{1}) 〈 x, x_{1} 〉 \Rightarrow$ $\Rightarrow f (x) = \frac{f (x_{1}) 〈 x, x_{1} 〉}{{‖ x_{1} ‖}^{2}} = 〈 x, \frac{\bar{f (x_{1})} x_{1}}{{‖ x_{1} ‖}^{2}} 〉 \Rightarrow \exists y$ , nevezetesen $y = \frac{\bar{f (x_{1})}}{{‖ x_{1} ‖}^{2}} x_{1}$ .
y egyértelmű. Tfh $〈 x, y 〉 = 〈 x, y^{*} 〉 \forall x \in X \Rightarrow 〈 x, y - y^{*} 〉 = 0 \forall x \in X \Rightarrow y - y^{*} = 0 \Rightarrow y = y^{*}$ .

10.05

Korlátos lineáris funkcionálok

Legyen X Hilbert tér $y \in X$ egy rögzített eleme, $f (x) : = 〈 x, y 〉$ . Ekkor a CS-ből következik: $‖ f ‖ \leq ‖ y ‖$ .

Megjegyzés: $‖ f ‖ = ‖ y ‖$ , ugyanis egyrészt $| f (x) | = | 〈 x, y 〉 | \leq ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖ \Rightarrow ‖ f ‖ \leq ‖ y ‖$ . Másrészt $‖ f ‖ = \sup {| f (x) | : ‖ x ‖ = 1}$ . Válasszuk $x : = \frac{y}{‖ y ‖}$ ( $y \neq 0$ , máskülönben triviális), ekkor $‖ x ‖ = 1$ , $| f (x) | = | 〈 \frac{y}{‖ y ‖}, y 〉 | = ‖ y ‖$ . Tehát $‖ f ‖ = ‖ y ‖$ .

Spec eset: $X : = L^{2} (M)$ , $M \subset ℝ^{n}$ mérhető halmaz. Ekkor egy tetszőleges f korlátos lineáris funkcionál ilyen alakú: $f (ϕ) : = 〈 ϕ, ψ 〉 = \int_{M} ϕ \bar{ψ}$ , ahol $ψ \in L^{2} (M)$ rögzített. $ψ_{0} : = \bar{ψ} \in L^{2} (M)$ jelöléssel $f (ϕ) = \int_{M} ϕ ψ_{0}, \forall ϕ \in L^{2} (M)$ .

Korlátos lineáris funkcionálok $L^{p} (M)$ -en, ahol $1 < p < \infty$ (azaz $L^{\infty} (M)$ teret nem tárgyaljuk)

Legyen $ψ \in L^{q} (M)$ tetszőleges rögzített, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ ! Értelmezzük az f funkcionált: $f (ϕ) : = \int_{M} ϕ ψ$ , ahol $ϕ \in L^{p} (M)$ .

Állítás: f korlátos lineáris funkcionál $L^{p} (M)$ -en.

Bizonyítás: tudjuk, hogy $ϕ \in L^{p} (M), ψ \in L^{q} (M) \Rightarrow ϕ ψ \in L^{1} (M)$ , tehát a funkcionál értelmezve van az egész $L^{p} (M)$ -n, nyilván lineáris. A Hölder egyenlőtlenség szerint $| \int_{M} ϕ ψ | \leq {‖ ϕ ‖}_{L^{p} (M)} \cdot {‖ ψ ‖}_{L^{q} (M)} \Rightarrow ‖ f ‖ \leq {‖ ψ ‖}_{L^{q} (M)}$ , vagyis korlátos is és normája $\leq {‖ ψ ‖}_{L^{q} (M)}$

Tétel: $‖ f ‖ = {‖ ψ ‖}_{L^{q} (M)}$ .

Tétel: legyen $1 < p < \infty$ . Ekkor tetszőleges $f : L^{p} (M) \to 𝕂$ korlátos lineáris funkcionálhoz $\exists! ψ \in L^{q} (M) : f (ϕ) = \int_{M} ψ ϕ$ .

Duális (konjugált) tér

Definíció: legyen X normált tér! Az X-en értelmezett korlátos lineáris funkcionálok terét X duálisának nevezzük és X'-vel jelöljük (van, ahol *-gal jelölik).

Megjegyzés: $X' = L (X, 𝕂)$ . Tudjuk, hogy $X' = L (X, 𝕂)$ normált tér (norma az operátor normája), X' tér teljes, mivel $𝕂$ alaptest teljes, így X' Banach tér.

Értelmezzük az előbbieket ezen fogalom rögzítésével!

X Hilbert tér. Tudjuk, hogy $\forall f \in X' \exists y \in X : f (x) = 〈 x, y 〉$ , $‖ f ‖ = ‖ y ‖$ . Fordítva, $y \in X$ esetén $f (x) : = 〈 x, y 〉, x \in X$ ! Tehát ha X Hilbert tér, bijekció létesíthető X' és X között. Jelöljük: $Φ (y) : = f$ , $f (x) : = 〈 x, y 〉$ . $Φ : X \to X'$ bijekció. Ennek tulajdonságai:

$Φ (y_{1} + y_{2}) = Φ (y_{1}) + Φ (y_{2})$ . $f_{1} (x) = 〈 x, y_{1} 〉$ , $f_{2} (x) = 〈 x, y_{2} 〉$ . $(f_{1} + f_{2}) (x) = f_{1} (x) + f_{2} (x) = 〈 x, y_{1} 〉 + 〈 x, y_{2} 〉 = 〈 x, y_{1} + y_{2} 〉$ , vagyis $f_{1} + f_{2} \leftrightarrow y_{1} + y_{2}$ .
$λ \in 𝕂$ esetén $Φ (λ y) = \bar{λ} Φ (y)$ . $f (x) = 〈 x, y 〉 \Rightarrow 〈 x, λ y 〉 = \bar{λ} 〈 x, y 〉 = \bar{λ} f (x) = (\bar{λ} f) x$ , vagyis $λ y \leftrightarrow \bar{λ} f$ , tehát $Φ$ konjugált lineáris.

$X = L^{p} (M)$ esete, mikor $1 \leq p \leq \infty$ és $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ .

Tudjuk, hogy tetszőleges $ψ \in L^{q} (M)$ esetén $f (ϕ) : = \int_{M} ϕ ψ$ , $ϕ \in X$ mellett $f \in (L^{p} (M))'$ , $‖ f ‖ = ‖ ψ ‖$ . Továbbá $(L^{p} (M))'$ minden eleme ilyen alakú $p < \infty$ esetén.

$L^{q} (M) ∍ ψ \leftrightarrow f \in (L^{p} (M))'$ . Könnyen belátható, hogy az eddigiek alapján $Φ$ bijekció, sőt, $Φ$ lineáris. $L^{p} (M)$ izomorf és izometrikus (normatartó) $L^{q} (M)$ -vel, ha $p < \infty$ .

X" tér, más szóval biduális, reflexív tér

Definíció: legyen X normált tér. Ekkor definíció szerint $X " : = (X')'$ .

Állítás: ha X Hilbert tér, akkor X" izomorf, izometrikus az X térrel.

Definíció: legyen X Banach tér! Ha X" izomorf és izometrikus X-szel, akkor X"-t reflexívnek nevezzük.

Állítás: legyen $X = L^{p} (M)$ , ahol $1 < p < \infty$ ! Ekkor $L^{p} (M)$ reflexív.

Vizsgáljuk X"-t általános esetben, mikor X Banach tér! Tekintsük egy tetszőleges, rögzített $x \in X$ elemet, ehhez rendeljük hozzá a következő, $F_{x} \in X "$ elemet! $F_{x} (f) : = f (x)$ , $\forall f \in X'$ . Ekkor $F_{X}$ jól definiált funkcionál X'-n, nyilván lineáris, korlátos is. $| F_{x} (f) | = | f (x) | \leq ‖ f ‖ \cdot {‖ x ‖}_{X}$ , $\forall f \in X'$ . $\Rightarrow ‖ F_{x} ‖ \leq ‖ x ‖$ .

Állítás: $‖ F_{x} ‖ = ‖ x ‖$ .

Bizonyítás: (definíció szerint $‖ F_{x} ‖ = \sup_{f \in X'} {| F_{x} (f) | = | f (x) | : ‖ f ‖ = 1}$ ) azt kellene belátni, hogy $\exists f \in X' : ‖ f ‖ = 1$ , melyre igaz, hogy $| F_{x} (f) | = ‖ x ‖$ bármely rögzített x esetén. Tekintsük a következő $f_{0}$ funkcionált X következő, 1 dimenziós alterén: $X_{0} : = {λ x : λ \in 𝕂}$ , ahol $x \in X$ rögzített. Legyen $f_{0} (λ x) : = λ ‖ x ‖$ . $f_{0}$ korlátos is, $| f_{0} (λ x) | = | λ | ‖ x ‖ = ‖ λ x ‖ \cdot 1 \Rightarrow ‖ f_{0} ‖ = 1$ . A Hahn-Banach tétel szerint az $X_{0}$ altéren definiált $f_{0}$ korlátos lineáris funkcionál kiterjeszthető a korlátosság és linearitás megtartásával az egész X térre úgy, hogy $‖ f ‖ = ‖ f_{0} ‖$ (ezt persze nem bizonyítottuk). Jelölje ezt f! $f \in X'$ , $‖ f ‖ = ‖ f_{0} ‖ = 1$ . Erre $| F_{x} (f) | = | f (x) | = | f (1 \cdot x) | = f_{0} (1 \cdot x) = 1 \cdot ‖ x ‖ = ‖ x ‖$ .

Általános esetben X" egy részhalmaza izomorf és izometrikus X-szel. X"-nek lehetnek más elemei is (ha nem reflexív).

Gyenge konvergencia

Definíció: legyenek X, Y normált terek, és tfh $A_{j} \in L (X, Y), j \in ℕ$ ( $A_{j}$ korlátos lineáris operátor X-n). Azt mondjuk, hogy ez az $A_{j}$ sorozat gyengén konvergál az A operátorhoz, ha $\forall x \in X$ elemre ${(A_{j} x)}_{j \in ℕ} \to A x$ (pontonkénti konvergencia). (Y-beli norma szerinti konvergencia).

Állítás: ha $\lim ‖ A_{j} - A ‖ = 0$ , azaz $(A_{j}) \to A$ az $L (X, Y)$ norma szerint, akkor $(A_{j}) \to A$ gyengén, de fordítva nem mindig igaz.

Bizonyítás: tfh $\lim ‖ A_{j} - A ‖ = 0$ . Ekkor ${‖ A_{j} x - A x ‖}_{Y} = ‖ (A_{j} - A) x ‖ \leq \underset{\to 0}{\underset{︸}{‖ A_{j} - A ‖}} \cdot ‖ x ‖ \to 0$ .

Speciális eset: $Y = 𝕂$ , $L (X, Y) = X'$ . $(f_{j}) \to f$ gyengén $X'$ -ben, ha bármely rögzített $x \in X$ esetén $(f_{j} (x)) \to f (x)$ .

Példa X’-beli gyengén konvergens sorozatra, amely norma szerint nem konvergens. Legyen X szeparábilis, végtelen dimenziós Hilbert tér! Legyen ebben egy $y_{1}, y_{2},..., y_{j},...$ ortonormált, teljes rendszer! $f_{j} (x) : = 〈 x, y_{j} 〉$ . Ekkor $〈 x, y_{j} 〉$ az $x \in X$ elem j-edik Fourier-egyeütthatója $y_{j}$ ortonormált rendszer szerint, $c_{j} : = 〈 x, y_{j} 〉$ . Tudjuk, hogy $\sum_{j = 1}^{\infty} {| c_{j} |}^{2} < \infty \Rightarrow \lim (c_{j}) = 0$ , azaz $\lim_{j \to \infty} f_{j} (x) = 0$ , $\forall x \in X$ . Más szóval $(f_{j})$ X’-beli sorozat gyengén tart $f = 0$ funkcionálhoz. Másrészt $‖ f_{j} ‖ = {‖ y_{j} ‖}_{X} = 1$ , így $(f_{j})$ nem tart a norma szerint az $f = 0$ funkcionálhoz. (Bebizonyítható, hogy véges dimenzióban a gyenge konvergencia egybeesik a norma szerinti konvergencia fogalmával.)

Tétel: tfh $A_{j} \in L (X, Y)$ , ahol X, Y Banach terek, $(A_{j}) \to A$ gyengén. Ekkor ${(‖ A_{j} ‖)}_{j \in ℕ}$ korlátos. Ez a tétel következik az alábbi tételből.

Egyenletes korlátosság tétele (Banach-Steinhaus tétel, bizonyítás nélkül): legyenek X, Y Banach terek, $A_{j} \in L (X, Y)$ . Ha az $A_{j}$ operátor sorozat pontonként korlátos, azaz ha $\forall x \in X$ esetén $\sup_{j \in ℕ} {‖ A_{j} x ‖} < \infty \Rightarrow (‖ A_{j} ‖)$ korlátos.

Megjegyzés (gyenge kompaktsági kritérium): tekintsük a $X' = L (X, 𝕂)$ speciális esetet az egyszerűség kedvéért. Ha $f_{j} \in X'$ korlátos sorozatot alkot (X most Banach tér), akkor $(f_{j})$ -ból kiválasztható egy gyengén konvergens részsorozat.

10.12

Gyenge konvergencia X-ben

Definíció: legyen X normált tér! Azt mondjuk, hogy egy ${(x_{j})}_{j \in ℕ}$ X-beli sorozat gyengén konvergál egy $x \in X$ ponthoz, ha $\forall f \in X'$ funkcionálra ${(f (x_{j}))}_{j \in ℕ} \to f (x)$ .

Megjegyzés: ha X reflexív Banach-tér, akkor minden korlátos X-beli sorozatnak létezik gyengén konvergens részsorozata. Ugyanis ekkor $X = X " = (X')'$ .

Inverz operátor

Emlékeztető: egy függvénynek létezik inverze, ha injektív. Tudjuk továbbá, hogy egy $A : X \to Y$ lineáris operátornak létezik inverze (azaz injektív) $\Leftrightarrow$ a magtér csak a 0-ból áll, azaz $A x = 0_{Y} \Leftrightarrow x = 0_{X}$ . Továbbá, ha $A^{- 1}$ létezik, akkor $A^{- 1}$ lineáris operátor. Egy A operátor folytonos $x_{0}$ -ban, ha $\forall ε > 0 \exists ρ > 0 : {‖ x - x_{0} ‖}_{X} < ρ \Rightarrow {‖ A x - A x_{0} ‖}_{Y} < ε$ .

Kérdés: ha X, Y normált terek, $A : X \to Y$ lineáris és injektív $\overset{?}{\Rightarrow} A^{- 1}$ korlátos is? Általában nem, akkor sem, ha A korlátos.

Nyílt leképezések tétele (bizonyítás nélkül): legyenek X, Y Banach terek, $A : X \to Y$ korlátos lineáris operátor és $R_{A} = Y$ , vagyis ráképezés. Ekkor A operátor X minden nyílt halmazát Y nyílt halmazába képezi. Ebből következik:

Tétel (Banach): legyenek X, Y Banach terek, $A : X \to Y$ korlátos és lineáris, $R_{A} = Y$ és A injektív! Ekkor $A^{- 1}$ korlátos (azaz folytonos).

Bizonyítás: legyen tetszőleges $y_{0} \in Y = R_{A} = D_{A^{- 1}}$ . $x_{0} : = A^{- 1} y_{0}$ . Belátjuk, hogy az $A^{- 1}$ folytonos $y_{0}$ -ban. Tekintsük $x_{0} = A^{- 1} y_{0}$ egy tetszőleges $B_{r} (x_{0})$ nyílt környezetét! Ennek képe is nyílt az Y-ban az előbbi tétel szerint. Mivel $y_{0} \in A (B_{r} (x_{0}))$ , ami nyílt, ezért $y_{0}$ -nak van olyan környezete, melyre $B_{ρ} (y_{0}) \subset A (B_{r} (x_{0}))$ . Ez azt jelenti, hogy ha $y \in B_{ρ} (y_{0}) \Rightarrow A^{- 1} y \in B_{r} (x_{0})$ . Eszerint $A^{- 1}$ folytonos $y_{0}$ -ban.

Zárt gráf (grafikon) tétel

Definíció: legyenek X, Y normált terek, $A : M \to Y$ lineáris operátor, $M \subset X$ . Ekkor A operátor gráfja, grafikonja az alábbi halmaz: $G_{A} : = {(x, A x) : x \in M = D_{A}}$ .

Definíció: egy $A : M \to Y$ lineáris operátort zártnak nevezünk, ha a $G_{A} \subset X \times Y$ zárt halmaz $X \times Y$ -ban. $X \times Y = {(x, y) : x \in X, y \in Y}$ .

Megjegyzés: a szorzattéren értelmezett műveletek:

$(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$
$λ (x, y) = (λ x, λ y)$
${‖ (x, y) ‖}_{X \times Y} : = \sqrt{{‖ x ‖}^{2} + {‖ y ‖}^{2}}$ , $X \times Y$ normált tér tehát.

Legyenek X, Y normált terek, $A : M \to Y$ lineáris operátor, $D_{A} = M \subset X$ . A zárt $\Leftrightarrow$ ha minden ${(x_{j})}_{j \in ℕ}$ M-beli sorozatra, melyre $\lim (x_{j}) = x \in X$ és $\exists \lim (A x_{j}) = y \in Y$ , akkor $x \in M$ és $y = A x$ . Ezért ha A folytonos, akkor zárt is.

Példa zárt, lineáris, de nem folytonos (nem korlátos) operátorra: $X : = C [0,1]$ , $M = D_{A} = C^{1} [0,1]$ , $A ϕ : = ϕ^{'}$ , vagyis a differenciáloperátor. $(ϕ_{j}) \to ϕ$ egyenletesen ( $C [0,1]$ -beli konvergencia) és $({ϕ^{'}}_{j}) \to ψ$ egyenletesen $\Rightarrow ψ = ϕ^{'}$ , tehát A valóban zárt, lineáris (de nem korlátos, így nem is folytonos, ezt láttuk korábban).

Zárt gráf tétel: legyenek X, Y Banach terek, $A : X \to Y$ zárt, lineáris operátor (tehát $D_{A} = X$ ). Ekkor A folytonos (korlátos).

Bizonyítás: $G_{A} : = {(x, A x) : x \in D_{A} = X} \subset X \times Y$ (utóbbi Banach-tér), ugyanis $G_{A}$ zárt halmaz $X \times Y$ -ban, az $X \times Y$ vektortenérnek altere: $(x_{1}, A x_{1}) + (x_{2}, A x_{2}) = (x_{1} + x_{2}, A (x_{1} + x_{2})) \in G_{A}$ , $λ (x, A x) = (λ x, A (λ x)) \in G_{A}$ . $G_{A}$ az $X \times Y$ Banach tér zárt lineáris altere $\Rightarrow G_{A}$ Banach-tér. Tekintsük a következő két operátort: $U (x, A x) : = x$ , $V (x, A x) : = A x$ , ahol $(x, A x) \in G_{A}$ . Ekkor $U : G_{A} \to X$ , $R_{U} = X$ , $V : G_{A} \to Y$ . Most U-ra alkalmazható a Banach tétel (az inverz operátor korlátosságáról): $D_{U} = G_{A}$ , $R_{U} = X$ , U korlátos és injektív $\Rightarrow U^{- 1} : X \to G_{A}$ korlátos (folytonos), $A = V U^{- 1}$ , mert $U^{- 1} x = (x, A x)$ , $V (U^{- 1} (x)) = V (x, A x) = A x$ . $V : G_{A} \to Y$ korlátos $\Rightarrow A = V U^{- 1}$ is korlátos.

Sajátérték, reguláris érték, spektrum

Legyenek X, Y normált terek, $A : M \to Y$ lineáris operátor, $M \subset X$ , $b \in Y$ adott elem.

Elsőfajú egyenlet: melyik az a $x \in M = D_{A} : A x = b$ ?
Másodfajú egyenlet: legyen $Y = X$ . Melyik az a $x \in X$ , melyre $(λ I - A) x = b$ , ahol $λ \in 𝕂$ , $I$ az identitás. Ha $(λ I - A)$ nem injektív, azaz nem létezik az inverzre, akkor $λ$ -t az A operátor sajátértékének nevezzük. Ez azt jelenti, hogy $\exists x_{0} \neq 0 : (λ I - A) x_{0} = 0 \Leftrightarrow A x_{0} = λ x_{0}$ .

Definíció: ha $\exists {(λ I - A)}^{- 1}$ , ez korlátos és $R_{λ I - A}$ értelmezési tartománya sűrű halmaz X-ben, akkor $λ$ -t reguláris értéknek nevezzük.

Állítás: ha A zárt operátor, akkor reguláris érték esetén $D_{{(λ I - A)}^{- 1}} = X$ , azaz $R_{λ I - A} = X$ .

Megjegyzés: ekkor reguláris értéke esetén $(λ I - A) x = b$ egyenletnek $\forall b \in X$ -hez $\exists! x$ megoldás, és x folytonosan függ b-től, azaz $x = \underset{folytonos}{\underset{︸}{{(λ I - A)}^{- 1}}} b$

Definíció: az A operátor spektruma a reguláris értékek halmazának a komplementere az alaptestben. A sajátértékek halmaza része a spektrumnak.

Korlátos lineáris operátorok reguláris értékei

Tétel: legyen X Banach tér! Legyen $A : X \to X$ korlátos lineáris operátor. Ekkor $r_{σ} (A) : = \lim_{k \to \infty} {‖ A^{k} ‖}^{1 / k}$ , ez létezik és véges. Ha $λ \in 𝕂$ számra teljesül, hogy $| λ | > r_{σ} (A)$ , akkor $λ$ reguláris érték (A-ra nézve).

Definíció: $r_{σ} (A)$ számot az A korlátos lineáris operátor spektrálsugarának nevezzük.

Megjegyzések:

$A, B \in L (X, X)$ esetén $‖ A B ‖ \leq ‖ A ‖ ‖ B ‖$ , ugyanis $‖ (A B) x ‖ = ‖ A (B x) ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot ‖ B x ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot ‖ B ‖ \cdot ‖ x ‖$ minden x-re, $\Rightarrow ‖ A B ‖ \leq ‖ A ‖ ‖ B ‖$
$‖ A^{k} ‖ \leq {‖ A ‖}^{k}$ . ${‖ A^{k} ‖}^{1 / k} \leq {({‖ A ‖}^{k})}^{1 / k} = ‖ A ‖ \Rightarrow r_{σ} (A) \leq ‖ A ‖$ . Következmény: ha $| λ | > ‖ A ‖ \Rightarrow λ$ reguláris érték.

Lemma 1: legyen Z Banach-tér, $z_{k} \in Z$ . Ha $\sum_{k = 1}^{\infty} ‖ z_{k} ‖ < \infty \Rightarrow \sum_{k = 1}^{\infty} z_{k}$ konvergens Z Banach-téren.

Bizonyítás: legyen $s_{j} : = \sum_{k = 1}^{j} z_{k}$ részlet összeg! $‖ s_{j} - s_{l} ‖ = ‖ \sum_{k = l + 1}^{j} z_{k} ‖ \leq \sum_{k = l + 1}^{j} ‖ z_{k} ‖ < ε$ , ha $l, j > j_{0}$ , tehát teljesül a Cauchy kritérium. Mivel Z Banach-tér, azaz teljes normált tér, ezért minden Cauchy-sorozatnak van határértéke Z-ben.

Lemma 2: tfh $B_{k} \in L (X, X)$ , $\sum_{k = 1}^{\infty} B_{k}$ konvergens $L (X, X)$ -en. Ekkor $\forall C \in L (X, X)$ operátorra $C \sum_{k = 1}^{\infty} B_{k} = \sum_{k = 1}^{\infty} C B_{k}$ . A bizonyítás egyszerű a részletösszegek segítségével.

10.19

Tétel: legyen X Banach-tér, $A : X \to X$ korlátos, lineáris operátor. Ekkor létezik és véges: $r_{σ} (A) : = \lim_{k \to \infty} {‖ A^{k} ‖}^{1 / k}$ . Továbbá $| λ | > r_{σ} (A) \Rightarrow λ$ reguláris érték, ${(λ I - A)}^{- 1} = \frac{1}{λ} {(I - \frac{1}{λ} A)}^{- 1} = \frac{1}{λ} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{λ^{k}} A^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k - 1} A^{k}$ . Ez a sor – a Neumann-sor – $L (X, X)$ normában konvergens.

Bizonyítás:

jelöljük: $r : = \inf {{‖ A^{k} ‖}^{1 / k} : k \in ℕ} \geq 0$ , ez véges. Belátjuk, hogy $r_{σ} (A) = \lim_{k \to \infty} {‖ A^{k} ‖}^{1 / k} = r = \inf {{‖ A^{k} ‖}^{1 / k} : k \in ℕ} \geq 0$ . Legyen $ε > 0$ tetszőleges, ekkor az alsó határ definíciójából következik, hogy $\exists m \in ℕ : r \leq {‖ A^{m} ‖}^{1 / m} < r + ε$ . Ezen m mellett válasszunk egy $k > m$ számot, melyre $k = p m + q$ , ahol $p \in ℕ$ és $0 \leq q < m$ (ez k-nak m-vel vett maradékos osztása, q a maradéktag). Ekkor $A^{k} = A^{p m + q} = {(A^{p})}^{m} \cdot A^{q}$ , így $‖ A^{k} ‖ \leq {‖ A^{m} ‖}^{p} \cdot {‖ A ‖}^{q} \Rightarrow {‖ A^{k} ‖}^{1 / k} \leq {‖ A^{m} ‖}^{p / k} \cdot {‖ A ‖}^{q / k} \leq {(r + ε)}^{m p / k} {‖ A ‖}^{q / k}$ . Vegyük észre, hogy $\lim_{k \to \infty} \frac{m p}{k} = 1$ , mert $\lim_{k \to \infty} \frac{q}{k} = 0$ , így a fenti egyenlőtlenség jobb oldala $\to r + ε$ . Ebből következik, hogy $\exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow r \leq {‖ A^{k} ‖}^{1 / k} \leq r + 2 ε \Rightarrow \lim_{k \to \infty} {‖ A^{k} ‖}^{1 / k} = r$ .
Belátjuk, hogy a Neumann-sor $L (X, X)$ -ben konvergens. Az 1. lemma szerint ehhez elég bizonyítani, hogy a sor tagjainak normáiból alkotott sor konvergens, azaz $\sum_{k = 0}^{\infty} ‖ λ^{- k - 1} A^{k} ‖ < \infty$ . Válasszunk egy olyan $r_{1}$ számot, melyre $| λ | > r_{1} > r_{σ} (A)$ ! Mivel $r_{σ} (A) = \lim_{k \to \infty} {‖ A^{k} ‖}^{1 / k}$ és $r_{1} > r_{σ} (A)$ , ezért $\exists k_{1} \in ℕ : k > k_{1} \Rightarrow r_{1} > {‖ A^{k} ‖}^{1 / k}$ , így $‖ λ^{- k - 1} A^{k} ‖ = \frac{1}{{| λ |}^{k + 1}} ‖ A^{k} ‖ < \frac{1}{{| λ |}^{k + 1}} r_{1}^{k} = \frac{1}{| λ |} {(\frac{r_{1}}{| λ |})}^{k}$ . Ezeket összegezve k szerint egy mértani sort kapunk, melynek kvóciense $0 < \frac{r_{1}}{| λ |} < 1$ , így a sor konvergens, azaz $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{| λ |} {(\frac{r_{k}}{| λ |})}^{k} < \infty$ .
jelöljük $B : = \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k - 1} A^{k} \in L (X, X)$ . Előbb láttuk, hogy ez konvergens. Ebből következni fog, hogy ${(λ I - A)}^{- 1}$ létezik és egyenlő B-vel. A 2. lemmát felhasználva: $(λ I - A) B = λ B - A B = λ \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k - 1} A^{k} - A \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k - 1} A^{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k} A^{k} - \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k - 1} A^{k + 1} = I$ . Hasonlóképpen, $B (λ I - A) = I$ . Következtetésképpen ${(λ I - A)}^{- 1}$ létezik és egyenlő B-vel.

Következmény: $| λ | > r_{σ} (A)$ esetén a $(λ I - A) x = b$ másodfajú egyenletnek létezik egyetlen x megoldása, mégpedig $x = {(λ I - A)}^{- 1} b = (\sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k - 1} A^{k}) b = \sum_{k = 0}^{\infty} (λ^{- k - 1} A^{k}) b = \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k - 1} (A^{k} b)$ , ez a sor pedig X normában konvergens. A sor összege így is írható: $\frac{1}{λ} b + \sum_{k = 1}^{\infty} λ^{- k - 1} A^{k} b$ . A fentiek még inkább érvényesek, ha $| λ | > ‖ A ‖$ .

Bizonyítható (de nem tesszük) tétel: $r_{σ} (A) = \sup {| λ | : λ \in A_{s p e k t r u m}}$ .

Alkalmazás, példák.

példa: négyzetesen integrálható magú integráloperátorok.

Legyen $M \subset ℝ^{n}$ egy Lebesgue szerint mérhető halmaz, $X : = L^{2} (M)$ , ez ugye Hilbert tér. Legyen $𝒦 \in L^{2} (M \times M)$ az úgynevezett magfüggvény, s $ϕ \in L^{2} (M)$ . Definiáljuk: $ψ (x) : = \int_{M} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y$ .

Állítás: $ψ \in L^{2} (M)$ , továbbá a $K (ϕ) : = ψ$ képlettel értelmezett $K : L^{2} (M) \to L^{2} (M)$ operátor lineáris, korlátos. A K operátort négyzetesen integrálató magú integráloperátornak nevezzük.

Bizonyítás: a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség szerint majdnem minden x-re $| ψ (x) | \leq \int_{M} | 𝒦 (x, y) | \cdot | ϕ (y) | d y \leq {\int_{M} {| 𝒦 (x, y) |}^{2} d y}^{1 / 2} \cdot {\int_{M} {| ϕ (y) |}^{2} d y}^{1 / 2}$ . Mivel $𝒦 \in L^{2} (M \times M) \Rightarrow \int_{M \times M} {| 𝒦 (x, y) |}^{2} d x d y < \infty$ . Fubini tételt használva $\int_{M} \underset{véges m. m. x -re}{\underset{︸}{\int_{M} {| 𝒦 (x, y) |}^{2} d y}} d x < \infty$ , így ${| ψ (x) |}^{2} \leq \int_{M} {| 𝒦 (x, y) |}^{2} d y \cdot [\int_{M} {| ϕ (y) |}^{2} d y] < \infty$ . Integrálva: $\int_{M} {| ψ (x) |}^{2} d x \leq [\int_{M} \int_{M} {| 𝒦 (x, y) |}^{2} d y d x] \cdot [\int_{M} {| ϕ (y) |}^{2} d y] < \infty \Rightarrow ψ \in L^{2} (M)$ . K linearitása triviális. K korlátos, ugyanis ${‖ K ϕ ‖}^{2}_{L^{2} (M)} = {‖ ψ ‖}^{2}_{L^{2} (M)} \leq {\int_{M \times M} {| 𝒦 (x, y) |}^{2} d x d y} \cdot {‖ ϕ ‖}^{2} \Rightarrow K$ korlátos, sőt: $‖ K ‖ \leq {\int_{M \times M} {| 𝒦 (x, y) |}^{2} d x d y}^{1 / 2} = {‖ 𝒦 ‖}_{L^{2} (M \times M)}$ .

Következmény: $| λ | > {‖ 𝒦 ‖}_{L^{2} (M \times M)}$ esetén $λ$ reguláris érték. Tudjuk, hogy $| λ | > r_{σ} (K)$ esetén $λ$ reguláris érték és ${(λ I - K)}^{- 1} = \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- 1 - k} K^{k}$ .

Kérdés: K integrál operátor hatványai hogyan számolhatók?

Állítás: legyen $𝒦, ℒ \in L^{2} (M \times M)$ és $K, L$ a megfelelő integráloperátorok. Ekkor $P : = K L$ szintén négyzetesen integrálható magú operátor, amelynek magfüggvénye $𝒫 (x, y) : = \int_{M} 𝒦 (x, t) ℒ (t, y) d t$ .

Bizonyítás: $ϕ \in L^{2} (M)$ esetén $(P ϕ) (x) = [K (L ϕ)] (x) = \int_{M} 𝒦 (x, t) [\int_{M} ℒ (t, y) ϕ (y) d y] d t =$ $= \int_{M} \underset{𝒫 (x, y)}{\underset{︸}{[\int_{M} 𝒦 (x, t) ℒ (t, y) d t]}} ϕ (y) d y$ , ahol Fubini-tételt ismét alkalmaztuk. $𝒫 \in L^{2} (M \times M)$ , merthogy $| 𝒫 (x, y) | \leq {\int_{M} {| 𝒦 (x, t) |}^{2} d t}^{1 / 2} {\int_{M} {| ℒ (t, y) |}^{2} d y}^{1 / 2}$ , így integrálva: $\int_{M \times M} {| 𝒫 (x, y) |}^{2} d x d y \leq \underset{< \infty}{\underset{︸}{\int_{M} [\int_{M} {| 𝒦 (x, t) |}^{2} d t] d x}} \cdot \underset{< \infty}{\underset{︸}{\int_{M} [\int_{M} {| ℒ (t, y) |}^{2} d t] d y}} < \infty$ .

Következmény: $(K^{j} ϕ) (x) = \int_{M} 𝒦_{j} (x, y) ϕ (y) d y$ , $j = 1,2,...$ , ahol $𝒦_{1} : = 𝒦$ , $𝒦_{2} (x, y) = \int_{M} 𝒦 (x, t) 𝒦_{1} (t, y) d t$ . $𝒦_{j} (x, y) = \int_{M} 𝒦 (x, t) 𝒦_{j - 1} (t, y) d t$ . Ebből következik, hogy ${(λ I - K)}^{- 1} b = \sum_{j = 0}^{\infty} λ^{- j - 1} K^{j} b$ . $[{(λ I - K)}^{- 1} b] (x) = [\sum_{j = 0}^{\infty} λ^{- j - 1} K^{j} b] (x) = \sum_{j = 0}^{\infty} λ^{- j - 1} (K^{j} b) (x) = \frac{b (x)}{λ} + \sum_{j = 1}^{\infty} λ^{- j - 1} \int_{M} 𝒦_{j} (x, y) b (y) d y \overset{?}{=}$ $\overset{?}{=} \frac{b (x)}{λ} + \int_{M} \underset{\in L^{2} (M \times M)}{\underset{︸}{[\sum_{j = 1}^{\infty} λ^{- j - 1} 𝒦_{j} (x, y)]}} b (y) d y$ . A sor $L^{2} (M)$ normában konvergál. Az egyenlőséget a következő órán látjuk be.

11.02

A korábbiak szerint $(λ I - A) x = b$ egyenletnek van egyértelmű megoldása x-re és $x = \sum_{k = 0}^{\infty} λ^{- k - 1} (A^{k} b)$ , ha $λ$ reguláris érték, ugyanis ekkor a jobb oldal konvergens $X ∍ x$ -ben.

Az előző példában $X : = L^{2} (M)$ volt, (ahol $M \subset ℝ^{n}$ mérhető halmaz), $𝒦 \in L^{2} (M \times M)$ , $ψ (x) : = (K ϕ) (x) = \int_{M} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y$ ahol $K : L^{2} (M) \to L^{2} (M)$ korlátos lineáris operátor és $r_{σ} (K) \leq ‖ K ‖ \leq {‖ 𝒦 ‖}_{L^{2} (M \times M)}$ .
$(λ I - K) ϕ = b$ , $b \in L^{2} (M)$ adott esetén mi a megoldás $ϕ \in L^{2} (M)$ -re? Az egyenlet ekvivalens: $λ ϕ (x) - \int_{M} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y = b (x)$ majdnem minden $x \in M$ -re. Ha $| λ | > r_{σ} (K) \Rightarrow ϕ = \sum_{j = 0}^{\infty} λ^{- j - 1} K^{j} b = \frac{b}{λ} + \sum_{j = 1}^{\infty} λ^{- j - 1} K^{j} b$ . $(K^{j} b) (x) = \int_{M} 𝒦_{j} (x, y) b (y) d y$ , $𝒦_{j} (x, y) = \int_{M} 𝒦_{j - 1} (x, t) 𝒦 (t, y) d t$ és $𝒦_{1} = 𝒦$ . Így $ϕ (x) = \frac{b (x)}{x} + \sum_{j = 1}^{\infty} λ^{- j - 1} \int_{M} 𝒦_{j} (x, y) b (y) d y = \frac{b (x)}{λ} + \int_{M} \underset{R_{λ} (x, y) \in L^{2} (M \times M) rezolv. op magfgve}{\underset{︸}{[\sum_{j = 1}^{\infty} λ^{- j - 1} 𝒦_{j} (x, y)]}} b (y) d y$ . A sor $L^{2} (M \times M)$ -ben konvergens, ha $| λ | > r_{σ} (𝒦)$ .

A bizonyítás alapja: $𝒦_{j} (x, y) = \int_{M} 𝒦_{j - 1} (x, t) 𝒦 (t, y) d t \Rightarrow K^{j - 1}$ operátor alkalmazva $t \mapsto 𝒦 (t, y)$ függvényre (y rögzített): ${\int_{M} {| 𝒦_{j} (x, y) |}^{2} d x}^{1 / 2} \leq ‖ 𝒦^{j - 1} ‖ {\int_{M} {| 𝒦 (t, y) |}^{2} d t}^{1 / 2} \Rightarrow \int_{M} {| 𝒦_{j} (x, y) |}^{2} d x \leq {‖ K^{j - 1} ‖}^{2} \int_{M} {| 𝒦 (t, y) |}^{2} d t$ . Integrálva y szerint: $\int_{M \times M} {| 𝒦_{j} (x, y) |}^{2} d x d y \leq {‖ K^{j - 1} ‖}^{2} \int_{M \times M} {| 𝒦 (t, y) |}^{2} d t d y$ . $\int_{M \times M} \frac{1}{{| λ |}^{2 (j + 1)}} {| 𝒦_{j} (x, y) |}^{2} d x d y \leq \underset{\sum_{j = 1}^{\infty} sor konv . ha | λ | > r_{σ} (K)}{\underset{︸}{\frac{1}{| λ^{2 (j + 1)} |} {‖ K^{j - 1} ‖}^{2}}} \cdot {‖ 𝒦 ‖}_{L^{2} (M \times M)}^{2}$ , így a bal oldalból képzett számsor (ami $\geq 0$ ) is konvergens.

példa: folytonos magú integráloperátorok.

Legyen $Ω \subset ℝ^{n}$ korlátos tartomány (azaz nyílt és összefüggő), $X : = C (\bar{Ω})$ , $\bar{Ω} \to 𝕂$ folytonos függvények (a felülvonás a lezárást jelenti), tehát $C (\bar{Ω})$ az $Ω$ korlátos tartomány lezárásán értelmezett folytonos függvények tere a $‖ ϕ ‖ = \sup_{Ω} | ϕ |$ normával. Legyen $𝒦 \in C (\bar{Ω} \times \bar{Ω})$ , $ψ (x) : = (K ϕ) (x) : = \int_{\bar{Ω}} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y$ .

Állítás: $K : C (\bar{Ω}) \to C (\bar{Ω})$ korlátos, lineáris operátor.

Bizonyítás: $| ψ (x) | = | \int_{\bar{Ω}} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y | \leq \int_{\bar{Ω}} | 𝒦 (x, y) | \cdot | ϕ (y) | d y \leq ‖ ϕ ‖ \int_{\bar{Ω}} | 𝒦 (x, y) | d y \leq ‖ ϕ ‖ \sup_{x \in \bar{Ω}} \int_{\bar{Ω}} | 𝒦 (x, y) | d y$ . Itt is igaz: $(K^{j} ϕ) (x) = \int_{\bar{Ω}} 𝒦_{j} (x, y) ϕ (y) d y$ . $𝒦_{j} (x, y) = \int_{\bar{Ω}} 𝒦_{j - 1} (x, t) 𝒦 (t, y) d t$ , $K_{j}$ folytonos.

példa

Az előbbi spec esete: $\bar{Ω} = [a, b] \subset ℝ$ , ekkor $𝒦 \in C ([a, b] \times [a, b])$ , továbbá $𝒦 (x, y) = 0$ , ha $y > x$ . $(K ϕ) (x) : = \int_{a}^{b} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y = \int_{a}^{x} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y$ Voltera típusú operátor. Erre is igaz, hogy $𝒦 : C [a, b] \to C [a, b]$ folytonos lineáris operátor.

Állítás: $r_{σ} (K) = 0$ , így $λ \neq 0$ esetén $λ$ reguláris érték, azaz létezik egyértelmű megoldása a $λ ϕ (x) - \int_{a}^{x} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y = b (x)$ másodfajú egyenletlnek bármely folytonos $b (x)$ esetén.

Bizonyítás: $𝒦_{j} (x, y) = \int_{a}^{b} 𝒦_{j - 1} (x, t) 𝒦 (t, y) d t$ , speciálisan $𝒦_{2} (x, y) = \int_{a}^{b} \underset{0 ha t > x}{\underset{︸}{𝒦 (x, t)}} \underset{0 ha y > t}{\underset{︸}{𝒦 (t, y)}} d t = \int_{y}^{x} 𝒦 (x, t) 𝒦 (t, y) d t$ , mert csak $y \leq t \leq x$ esetén nem 0 az integrandus. Így $𝒦_{2} (x, y) = 0$ , ha $y > x$ . $𝒦_{3} (x, y) = \int_{y}^{x} 𝒦_{2} (x, t) 𝒦 (t, y) d t = 0$ ha $y > x$ . Ekkor $‖ K ‖ \leq \sup_{x \in [a, b]} \int_{a}^{b} | 𝒦 (x, y) | d y \leq α (b - a)$ , ugyanis $𝒦 \in C ([a, b] \times [a, b]) \Rightarrow 𝒦$ korlátos és így $| 𝒦 (x, y) | \leq α, \forall x, y \in [a, b]$ .

$‖ K^{2} ‖ \leq \sup_{x \in [a, b]} \int_{a}^{b} | 𝒦_{2} (x, y) | d y = \sup_{x \in [a, b]} \int_{a}^{x} | 𝒦_{2} (x, y) | d y$ . Az integrandusra $| 𝒦_{2} (x, y) | = | \int_{y}^{x} 𝒦 (x, t) 𝒦 (t, y) d t | \leq \int_{y}^{x} \underset{< α}{\underset{︸}{| 𝒦 (x, t) |}} \underset{\leq α}{\underset{︸}{| 𝒦 (t, y) |}} d t \leq α^{2} (x - y)$ ha $x > y$ . Így $‖ K^{2} ‖ \leq \sup_{x \in [a, b]} \int_{a}^{x} | 𝒦_{2} (x, y) | d y \leq \sup_{x \in [a, b]} \int_{a}^{x} α^{2} (x - y) d y =$ $= α^{2} \sup_{x \in [a, b]} {[- \frac{{(x - y)}^{2}}{2}]}_{y = a}^{x} = α^{2} \sup_{x \in [a, b]} \frac{{(x - a)}^{2}}{2} = α^{2} \frac{{(b - a)}^{2}}{2}$ .

$‖ K^{3} ‖$ -re hasonló módon járunk el. Ekkor $| 𝒦_{3} (x, y) | = | \int_{y}^{x} 𝒦 (x, t) 𝒦_{2} (t, y) d t | \leq \int_{y}^{x} \underset{\leq α}{\underset{︸}{| 𝒦 (x, t) |}} \underset{\leq α^{2} (t - y)}{\underset{︸}{| 𝒦_{2} (t, y) |}} d t \leq α^{3} \frac{{(x - y)}^{2}}{2}$ . Így $‖ K^{3} ‖ \leq \sup_{x \in [a, b]} \int_{a}^{x} | 𝒦_{3} (x, y) | d y \leq \sup_{x \in [a, b]} \int_{a}^{x} α^{3} \frac{{(x - y)}^{2}}{2} d y = α^{3} \sup_{x \in [a, b]} \frac{{(x - a)}^{3}}{3!} \leq α^{3} \frac{{(b - a)}^{3}}{3!}$ . Teljes indukcióval bizonyítható, hogy $‖ K^{j} ‖ \leq α^{j} \frac{{(b - a)}^{j}}{j!} \Rightarrow {‖ K^{j} ‖}^{1 / j} = α \frac{b - a}{{(j!)}^{1 / j}} \to 0$ , ha $j \to \infty$ .

Hilbert tér operátorai

Az adjungált operátor

Legyen X Hilbert tér, $A : D_{A} \to X$ lineáris operátor, ahol $D_{A}$ az A-nak az értelmezési tartománya, $D_{A} \subset X$ , $y \in X$ elem.

Kérdés: létezik-e illetve hány $y^{*} \in X$ létezik, melyre $〈 A x, y 〉 = 〈 x, y^{*} 〉$ , $\forall x \in D_{A}$ esetén? Mi az egyértelműség feltétele?

Állítás: legfeljebb egy $y^{*}$ létezik $\Leftrightarrow \bar{D_{A}} = X$ , vagyis ha az értelmezési tartomány sűrű X-ben.

Bizonyítás: legfeljebb egy $y^{*}$ létezik $\Leftrightarrow$ hogy ha $〈 x, y^{*} 〉 = 〈 x, \tilde{y} 〉$ , $\forall x \in D_{A}$ -ból következik, hogy $y^{*} = \tilde{y}$ . $〈 x, y^{*} 〉 = 〈 x, \tilde{y} 〉$ , $\forall x \in D_{A}$ pontosan azt jelenti, hogy $〈 x, y^{*} - \tilde{y} 〉 = 0$ , $\forall x \in D_{A}$ . Ebből következik: $y^{*} = \tilde{y} \Leftrightarrow \bar{D_{A}} = X$ . (Felhasználjuk, hogy a skalárszorzat folytonosan függ a tényezőktől.)

Definíció: legyen X Hilbert tér, $A : D_{A} \to X$ lineáris operátor, $\bar{D_{A}} = X$ . Ekkor A operátor adjungáltját, $A^{*}$ operátort így értelmezzük: $D_{A^{*}} : = {y \in X : \exists y^{*} \in X : 〈 A x, y 〉 = 〈 x, y^{*} 〉 \forall x \in D_{A}}$ és $A^{*} (y) : = y^{*}$ .

Megjegyzés: $0 \in D_{A^{*}}$ , ugyanis $〈 A x,0 〉 = 〈 x,0 〉 = 0$ , $\forall x \in D_{A}$ .

Állítás: $A^{*}$ lineáris operátor.

Bizonyítás: legyen $y_{1}, y_{2} \in D_{A^{*}}$ ! Ekkor $〈 A x, y_{1} 〉 = 〈 x, A^{*} (y_{1}) 〉$ , $\forall x \in D_{A}$ és $〈 A x, y_{2} 〉 = 〈 x, A^{*} (y_{2}) 〉$ , $\forall x \in D_{A}$ . Így $〈 A x, y_{1} 〉 + 〈 A x, y_{2} 〉 = 〈 x, A^{*} (y_{1}) 〉 + 〈 x, A^{*} (y_{2}) 〉$ . $〈 A x, y_{1} + y_{2} 〉 = 〈 x, A^{*} (y_{1}) + A^{*} (y_{2}) 〉$ , $\forall x \in D_{A}$ . Ebből következik, hogy $A^{*} (y_{1} + y_{2}) = A^{*} (y_{1}) + A^{*} (y_{2})$ . Hasonlóan igazolható $A^{*} (λ g) = λ A^{*} (g)$ .

Tétel: legyen $A : X \to X$ korlátos lineáris operátor. Ekkor $A^{*} : X \to X$ korlátos lineáris operátor és $‖ A^{*} ‖ = ‖ A ‖$ .

Bizonyítás: tekintsünk tetszőleges, rögzített $y \in X$ elemet! Ekkor $f (x) : = 〈 A x, y 〉$ , f lineáris funkcionál korlátos is: $| f (x) | = | 〈 A x, y 〉 | \leq ‖ A x ‖ \cdot ‖ y ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖ = (‖ A ‖ ‖ y ‖) \cdot ‖ x ‖$ , így $‖ f ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot ‖ y ‖$ . A Riesz-tételből most következik, hogy $\exists! y^{*} \in X : f (x) = 〈 x, y^{*} 〉$ , azaz $〈 A x, y 〉 = 〈 x, y^{*} 〉$ , $\forall x \in X$ -re. Így $D_{A^{*}} = X$ , $A^{*} y = y^{*}$ . Továbbá $‖ A^{*} y ‖ = ‖ y^{*} ‖ = ‖ f ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot ‖ y ‖$ , ezért $A^{*}$ korlátos és $‖ A^{*} ‖ \leq ‖ A ‖$ . Az egyenlőség abból fog következni, hogy ${(A^{*})}^{*} = A \Rightarrow ‖ A ‖ = ‖ {(A^{*})}^{*} ‖ \leq ‖ A^{*} ‖$ .

11.09

Legyen $A : X \to X$ korlátos lineáris operátor! Láttuk már, hogy $A^{*} : X \to X$ operátor korlátos és lineáris, és $‖ A^{*} ‖ \leq ‖ A ‖$ .

Tétel: legyenek $A, B : X \to X$ korlátos lineáris operátor! Ekkor

${(A + B)}^{*} = A^{*} + B^{*}$
${(λ A)}^{*} = \bar{λ} A^{*}$
${(A^{*})}^{*} = A$
$I = I^{*}$ , $0^{*} = 0$
${(A B)}^{*} = B^{*} A^{*}$ .

Bizonyítás: legyenek $x, y \in X$ !

$〈 (A + B) x, y 〉 = 〈 A x + B x, y 〉 = 〈 A x, y 〉 + 〈 B x, y 〉 = 〈 x, A^{*} y 〉 + 〈 x, B^{*} y 〉 =$ $= 〈 x, A^{*} y + B^{*} y 〉 = 〈 x, (A^{*} + B^{*}) y 〉$
$〈 A x, y 〉 = 〈 x, A^{*} y 〉 = \bar{〈 A^{*} y, x 〉} = \bar{〈 y, {(A^{*})}^{*} x 〉} = 〈 {(A^{*})}^{*} x, y 〉$ ,tehát $A x = {(A^{*})}^{*} x$ , $\forall x \in X \Rightarrow A = {(A^{*})}^{*}$ ,így $‖ A^{*} ‖ \leq ‖ {(A^{*})}^{*} ‖ = ‖ A ‖$ ,így az előző tétellel együtt: $‖ A ‖ = ‖ A^{*} ‖$ .
$〈 x, {(A B)}^{*} y 〉 = 〈 A B x, y 〉 = 〈 B x, A^{*} y 〉 = 〈 x, B^{*} A^{*} y 〉$

Megjegyzés: mi a helyezet a lineáris operátorok esetén (ha nem korlátos)? $D_{A}, D_{B} \subset X$ , $\bar{D_{A}} = \bar{D_{B}} = X$ .

Jelölés: ha $A^{*} x = A x$ , $\forall x \in D_{A}$ , $D_{A} \subset D_{A^{*}}$ , akkor $A^{*}$ kiterjesztése A-nak s ezt így jelöljük: $A \subset A^{*}$ . Ezzel a jelöléssel: ${(A + B)}^{*} \supset A^{*} + B^{*}$ és $D_{A^{*} + B^{*}} = D_{A^{*}} \cap D_{B^{*}}$ . Ugyanis $\forall y \in (D_{A^{*}} \cap D_{B^{*}})$ esetén $〈 (A + B) x, y 〉 = 〈 x, (A^{*} + B^{*}) y 〉$ , $\forall x \in (D_{A} \cap D_{B})$ .
Továbbá ${(λ A)}^{*} = \bar{λ} A^{*}$ , ${(A B)}^{*} \supset B^{*} A^{*}$ , ${(A^{*})}^{*} \supset A$ és 1 $A \subset B \Rightarrow A^{*} \supset B^{*}$ .

Példák:

$X : = 𝕂^{n}$ . Tudjuk, hogy ekkor minden lineáris operátor korlátos. $A : 𝕂^{n} \to 𝕂^{n}$ lineáris korlátos operátor. Tudjuk, hogy A reprezentálható egy $𝒜$ (valós vagy komplex elemekből alkotott), $n \times n$ -es mátrixszal úgy, hogy $𝒜 x = A x$ . Ekkor $A^{*} : 𝕂^{n} \to 𝕂^{n}$ korlátos lineáris operátor. Kérdés: mi a lesz ennek a mátrixa?
$𝒜 = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix})$ , $a_{j k} \in 𝕂$ . Ekkor $x, y \in 𝕂^{n}$ esetén $〈 𝒜 x, y 〉 = \sum_{j = 1}^{n} [\sum_{k = 1}^{n} a_{j k} x_{k}] \bar{y_{j}} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} [\sum_{j = 1}^{n} a_{j k} \bar{y_{j}}] = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \bar{[\sum_{j = 1}^{n} \bar{a_{j k}} y_{j}]} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} \bar{[\sum_{j = 1}^{n} a_{k j}^{*} y_{j}]} = 〈 x, 𝒜^{*} y 〉$ , vagyis $a_{k j}^{*} = \bar{a_{j k}}$ , vagyis $𝒜^{*} = (\begin{matrix} a_{11}^{*} & \dots & a_{1 n}^{*} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1}^{*} & \dots & a_{n n}^{*} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \bar{a_{11}} & \dots & \bar{a_{n 1}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \bar{a_{1 n}} & \dots & \bar{a_{n n}} \end{matrix})$ .

Négyzetesen integrálható magú integrál operátorok valós vagy komplex függvényeken

Legyen $X : = L^{2} (M), M \subset ℝ^{n}$ mérhető halmaz, $𝒦 \in L^{2} (M \times M)$ , $(K ϕ) (x) : = \int_{M} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y$ . Tudjuk, hogy $K : L^{2} (M) \to L^{2} (M)$ lineáris operátor, node mi $K^{*}$ ? Legyen $ϕ, ψ \in L^{2} (M)$ , ekkor $〈 K ϕ, ψ 〉 = \int_{M} (K ϕ) (x) \bar{ψ (x)} d x = \int_{M} [\int_{M} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y] \bar{ψ (x)} d x$ , ami a Fubini-tétel alkalmazásával $= \int_{M} ϕ (y) [\int_{M} 𝒦 (x, y) \bar{ψ (x)} d x] d y = \int_{M} ϕ (y) \bar{[\int_{M} \bar{𝒦 (x, y)} ψ (x) d x]} d y =$ (felcserélve x-t és y-t) $= \int_{M} ϕ (x) [\bar{\int_{M} \underset{: = 𝒦^{*} (x, y)}{\underset{︸}{\bar{𝒦 (y, x)}}} ψ (y) d y}] d x = \int_{M} ϕ (x) [\bar{\int_{M} 𝒦^{*} (x, y) ψ (y) d x}] d y$ . A bevezetett jelöléssel konzekvensen $(K^{*} ψ) (x) : = \int_{M} 𝒦^{*} (x, y) ψ (y) d y$ , így az korábbiakkal együtt: $〈 K ϕ, ψ 〉 = \int_{M} ϕ (x) \bar{(K^{*} ψ) (x)} d x = 〈 ϕ, K^{*} ψ 〉$ .

Állítás: tetszőleges A lineáris operátor esetén (melyre $D_{A} \subset X$ , $\bar{D_{A}} = X$ ) $A^{*}$ zárt operátor.

Bizonyítás: azt kellene belátni, hogy ha $y_{j} \in D_{A^{*}}$ , ${(y_{j})}_{j \in ℕ} \to y$ X-ben, továbbá $(A^{*} y_{j}) \to z$ X-ben $\Rightarrow y \in D_{A^{*}}$ és $A^{*} y = z$ . Tudtuk, hogy $〈 A x, y_{j} 〉 = 〈 x, A^{*} y_{j} 〉$ , $\forall x \in D_{A}, \forall j$ , így $j \to \infty$ esetén $〈 A x, y 〉 = 〈 x, z 〉$ , $\forall x \in D_{A}$ . Ez azt jelenti, hogy $y \in D_{A^{*}}$ és $z = A^{*} y$ .

Tétel: legyen X Hilbert tér, $A : X \to X$ korlátos lineáris operátor és $λ \in 𝕂$ . Ekkor ${\bar{R_{(λ I - A)}}}^{⊥} = S_{\bar{λ}} (A^{*}) : = {x \in X : (\bar{λ} I - A^{*}) x = 0}$ , ahol $R$ az értékkészletet jelöli.

Bizonyítás: világos, hogy $R_{(λ I - A)}$ lineáris altér, ezért $\bar{R_{(λ I - A)}}$ zárt altér. Másrészt $S_{\bar{λ}} (A^{*})$ is zárt altér. Az $S_{\bar{λ}} (A^{*})$ halmaz azért zárt, mert $A^{*}$ folytonos lineáris operátor.

Először tfh $y \in {\bar{R_{λ I - A}}}^{⊥}$ ,ekkor $0 = 〈 \underset{\in R_{λ I - A} \subset \bar{R_{λ I - A}}}{\underset{︸}{(λ I - A) x}}, y 〉 = 〈 x, {(λ I - A)}^{*} y 〉$ ,ez igaz $\forall x \in X \Rightarrow \underset{= \bar{λ} I - A^{*}}{\underset{︸}{{(λ I - A)}^{*}}} y = 0$ ,vagyis $y \in S_{\bar{λ}} (A^{*})$ .
tfh $y \in S_{\bar{λ}} (A^{*})$ ,azaz $(\bar{λ} I - A^{*}) y = 0$ , $\forall x \in X$ ,így $〈 (λ I - A) x, y 〉 = 〈 x, {(λ I - A)}^{*} y 〉 = 0$ ,vagyis $y ⊥ R_{λ I - A}$ minden elemére $\Rightarrow y ⊥ \bar{R_{λ I - A}}$ minden elemére.

Megjegyzés: spec eset, mikor $R_{λ I - A}$ zárt halmaz, azaz $R_{λ I - A} = \bar{R_{λ I - A}}$ . Ekkor a fenti tételből következik: $(λ I - A) x = b$ másodfajú egyenletnek létezik $x \in X$ megoldása pontosan akkor, ha $b \in R_{λ I - A} = S_{\bar{λ}} {(A^{*})}^{⊥}$ , azaz $〈 b, y 〉 = 0$ a ${(λ I - A)}^{*} y = 0$ egyenlet $\forall y \in X$ megoldására. Később látni fogjuk, hogy ha A ún. kompakt lineáris operátor, akkor $λ \neq 0$ esetén az $R_{λ I - A}$ zárt halmaz.

Szimmetrikus és önadjungált operátorok

Definíció: legyen X Hilbert tér, $D_{A} \subset X$ és $\bar{D_{A}} = X$ és $A : D_{A} \to X$ lineáris operátor. Ekkor A-t önadjungáltnak nevezzük, ha $A^{*} = A$ (ekkor ugyanott vannak értelmezve, $D_{A^{*}} = D_{A}$ ).

Definíció: legyen X Hilbert tér, $D_{A} \subset X$ és $\bar{D_{A}} = X$ és $A : D_{A} \to X$ lineáris operátor. Ekkor A-t szimmetrikusnak nevezzük, ha $A \subset A^{*}$ . Tehát minden önadjungált operátor egyúttal szimmetrikus is.

Megjegyzés: ekvivalens definíció: A szimmetrikus, ha $〈 A x, y 〉 = 〈 x, A y 〉$ , $\forall x, y \in D_{A}$ .

Példa: ha $X = 𝕂^{n}$ , akkor $A : 𝕂^{n} \to 𝕂^{n}$ -nak megfelel egy $𝒜$ mátrix. Tudjuk, hogy $A^{*}$ mátrixa $𝒜^{*}$ , melynek elemei $a_{j k}^{*} = \bar{a_{k j}}$ . Ekkor A önadjungált $\Leftrightarrow a_{j k}^{*} = a_{j k}$ , azaz $a_{j k} = \bar{a_{k j}}$ .

Példa: legyen $X : = L^{2} (M)$ , $M \subset ℝ^{n}$ mérhető halmaz, $(K ϕ) (x) : = \int_{M} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y$ korlátos operátor, ahol $𝒦 \in L^{2} (M \times M)$ . Ekkor $(K^{*} ϕ) (x) = \int_{M} 𝒦^{*} (x, y) ϕ (y) d y$ , vagyis $𝒦^{*} (x, y) = \bar{𝒦 (y, x)}$ . K önadjugnált pontosan akkor, ha $𝒦 (x, y) = \bar{𝒦 (y, x)}$ majdnem minden $x, y \in M$ .

Példa: legyen $X : = L^{2} (0,1)$ , $(A ϕ) (t) : = ϕ^{″} (t)$ , midőn $t \in [0,1]$ , vagyis legyen A a második derivált operátor (ami lineáris)! $D_{A} : = {ϕ \in C^{2} [0,1] : ϕ (0) = 0, ϕ (1) = 0}$ , erre belátható, hogy $\bar{D_{A}} = L^{2} (0,1)$ .

Állítás: A szimmetrikus operátor (de nem önadjungált). Ennek igazolásához tekintsünk $ϕ, ψ \in D_{A}$ tetszőleges függvényeket, ekkor parciális integrálással:

〈 A ϕ, ψ 〉 = \int_{0}^{1} (A ϕ (t)) ψ (t) d t = \int_{0}^{1} ϕ^{″} (t) ψ (t) d t = {[ϕ^{'} (t) ψ (t)]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} ϕ^{'} (t) ψ^{'} (t) d t =

= - {[ϕ (y) ψ^{'} (t)]}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} ϕ (t) ψ^{″} (t) d t = 〈 ϕ, A ψ 〉

11.16

Állítás: legyen X komplex Hilbert tér! Ha $D_{A} \subset X$ , $A : D_{A} \to X$ szimmetrikus operátor, akkor $〈 A x, x 〉$ értéke valós $\forall x \in 𝔻_{A}$ esetén.

Bizonyítás: mivel A szimmetrikus, ezért $〈 A x, x 〉 = 〈 x, A x 〉$ , $\forall x \in D_{A}$ , másrészt a skaláris szorzat tulajdonságából következően: $〈 A x, x 〉 = \bar{〈 x, A x 〉} \Rightarrow 〈 x, A x 〉 = \bar{〈 x, A x 〉} \Rightarrow 〈 x, A x 〉$ valós, így $〈 A x, x 〉$ is valós.

Megjegyzés: bebizonyítható, hogy ha X komplex Hilbert tér és $〈 A x, x 〉$ valós $\forall x \in D_{A} \Rightarrow A$ szimmetrikus.

Tétel: legyen X Hilbert tér (lehet valós is). Ha $D_{A} \subset X$ , $A : D_{A} \to X$ szimmetrikus operátor, akkor A minden sajátértéke valós és a különböző sajátértékekhez tartozó sajátelemek ortogonálisak.

Bizonyítás:

tfh $A x = λ x$ valamely $0 \neq x \in D_{A}$ elemre, $λ \in 𝕂$ . Ekkor $\Rightarrow \underset{valós}{\underset{︸}{〈 A x, x 〉}} = 〈 λ x, x 〉 = λ {‖ x ‖}^{2}$ . A norma értéke valós, így a sajátérték is az, mert szorzatuk valós.
tfh $A x_{1} = λ_{1} x_{1}$ , $A x_{2} = λ_{2} x_{2}$ és $λ_{1} \neq λ_{2}$ valós sajátértékek. Szorozzuk skalárisan jobbról előbbit $x_{2}$ -vel! $〈 A x_{1}, x_{2} 〉 = 〈 λ_{1} x_{1}, x_{2} 〉 = λ_{1} 〈 x_{1}, x_{2} 〉$ , illetve $〈 A x_{1}, x_{2} 〉 = 〈 x_{1}, A x_{2} 〉 = 〈 x_{1}, λ_{2} x_{2} 〉 = λ_{2} 〈 x_{1}, x_{2} 〉$ , vagyis $λ_{1} 〈 x_{1}, x_{2} 〉 = λ_{2} 〈 x_{1}, x_{2} 〉 \Leftrightarrow (λ_{1} - λ_{2}) 〈 x_{1}, x_{2} 〉 = 0$ , így mivel $λ_{2} \neq λ_{1} \Rightarrow 〈 x_{1}, x_{2} 〉 = 0$ .

Tétel: legyen X Hilbert tér, $A : X \to X$ korlátos önadjungált operátor. Ekkor $‖ A ‖ = \sup {| 〈 A x, x 〉 | : x \in X, ‖ x ‖ = 1}$ .

Bizonyítás: az operátor norma definíciója szerint $‖ A ‖ = \sup {‖ A x ‖ : x \in X, ‖ x ‖ = 1}$ . Ezért egyrészt a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenségből $| 〈 A x, x 〉 | \leq ‖ A x ‖ \cdot ‖ x ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot {‖ x ‖}^{2} = ‖ A ‖$ , ha $‖ x ‖ = 1$ . Jelöljük: $α : = \sup {| 〈 A x, x 〉 | : x \in X, ‖ x ‖ = 1}$ . Az előbbiek szerint $α \leq ‖ A ‖$ . Belátjuk a fordított egyenlőtlenséget. Tetszőleges $x, y \in X$ elemekre $〈 A (x + y), x + y 〉 = 〈 A x + A y, x + y 〉 = 〈 A x, x 〉 + \underset{= 〈 y, A x 〉 = \bar{〈 A x, y 〉}}{\underset{︸}{〈 A y, x 〉}} + 〈 A x, y 〉 + 〈 A y, y 〉 =$ $= 〈 A x, x 〉 + 〈 A y, y 〉 + 2 ℜ 〈 A x, y 〉$
Hasonlóképpen: $〈 A (x - y), x - y 〉 = 〈 A x, x 〉 + 〈 A y, y 〉 - 2 ℜ 〈 A x, y 〉$ . A kapott 1. egyenlőségből a 2-at kivonva: $4 ℜ 〈 A x, y 〉 = 〈 A (x + y), x + y 〉 - 〈 A (x - y), x - y 〉 \leq | 〈 A (x + y), x + y 〉 | + | 〈 A (x - y), x - y 〉 | \leq$ $\leq α {‖ x + y ‖}^{2} + α {‖ x - y ‖}^{2} = α ({‖ x ‖}^{2} + 2 {〈 x, y 〉}^{2} + {‖ y ‖}^{2} + {‖ x ‖}^{2} - 2 {〈 x, y 〉}^{2} + {‖ y ‖}^{2}) \Rightarrow$ $\Rightarrow ℜ 〈 A x, y 〉 \leq \frac{α}{2} ({‖ x ‖}^{2} + {‖ y ‖}^{2})$ .
Tetszőleges $λ > 0$ számra: $\underset{\in ℝ_{0}^{+}}{\underset{︸}{{‖ A x ‖}^{2}}} = 〈 A x, A x 〉 = 〈 A \underset{: = f}{\underset{︸}{(λ x)}}, \underset{: = g}{\underset{︸}{A x / λ}} 〉 = \underset{\geq 0}{\underset{︸}{〈 A f, g 〉}} = ℜ 〈 A f, g 〉 \leq \frac{α}{2} [{‖ f ‖}^{2} + {‖ g ‖}^{2}] =$ $= \frac{α}{2} [{‖ λ x ‖}^{2} + {‖ \frac{A x}{λ} ‖}^{2}] = \frac{α}{2} [λ^{2} {‖ x ‖}^{2} + \frac{{‖ A x ‖}^{2}}{λ^{2}}]$ . Válasszuk: $λ^{2} : = \frac{‖ A x ‖}{‖ x ‖}$ , ekkor $λ > 0$ teljesül (feltéve, hogy $A x \neq 0$ ), és ${‖ A x ‖}^{2} \leq \frac{α}{2} [\frac{‖ A x ‖}{‖ x ‖} {‖ x ‖}^{2} + \frac{‖ x ‖}{‖ A x ‖} {‖ A x ‖}^{2}] = \frac{α}{2} [‖ A x ‖ \cdot ‖ x ‖ + ‖ x ‖ \cdot ‖ A x ‖] = α ‖ A x ‖ \cdot ‖ x ‖$ . $‖ A x ‖ = 0$ triviális esetet kivéve osztva $‖ A x ‖ > 0$ -val: $‖ A x ‖ \leq α \cdot ‖ x ‖$ . Ez igaz $‖ A x ‖ = 0$ esetén is persze. Tehát $‖ A ‖ \leq α$ . Előbb azt kaptuk, hogy $α \leq ‖ A ‖$ , így a mostanival együtt: $‖ A ‖ = α$ .

Tétel (bizonyítás nélkül): vezessük be $M : = \sup {〈 A x, x 〉 : x \in X, ‖ x ‖ = 1}$ és $m : = \inf {〈 A x, x 〉 : x \in X, ‖ x ‖ = 1}$ . (Ekkor a fentiek miatt $[m, M] \subset [- ‖ A ‖, ‖ A ‖]$ , és $\max {| m |, M} = ‖ A ‖$ ). Az A önadjungált korlátos operátor spektruma $\subset [m, M]$ , más szóval, ha $λ \in 𝕂$ -ra $λ \notin [m, M] \Rightarrow λ$ reguláris érték A-ra.

Megjegyzés: azt eddig is tudtuk, hogy $| λ | > ‖ A ‖$ esetén $λ$ reguláris érték (ha A korlátos). Azt is tudtuk, hogy ha A szimmetrikus és $ℑ λ \neq 0 \Rightarrow λ$ nem lehet sajátérték.

Definíció: legyen $A : D_{A} \to X$ lineáris operátor, $D_{A} \subset X$ , $\bar{𝔻_{A}} = X$ . Ha $〈 A x, x 〉 \geq 0$ , $\forall x \in D_{A}$ , akkor A-t pozitív operátornak nevezzük (konzekvensen pozitív szemidefinitnek kéne nevezni).

Állítás: ha A pozitív, akkor A minden sajátértéke $\geq 0$ .

Bizonyítás: $A x = λ x \Rightarrow 0 \leq 〈 A x, x 〉 = 〈 λ x, x 〉 = λ {‖ x ‖}^{2} \Rightarrow λ \geq 0$ , ha ${‖ x ‖}^{2} \neq 0$ .

Izometrikus és unitér operátorok

Definíció: legyen X Hilbert tér! Az $A : X \to X$ operátort izometrikusnak nevezzük, ha $‖ A x ‖ = ‖ x ‖$ , $\forall x \in X$ . Ekkor látható, hogy A korlátos és $‖ A ‖ = 1$ .

Állítás: ha A izometrikus, akkor távolság és skalárszorzattartó (szögtartó).

Bizonyítás:

$‖ A x - A y ‖ = ‖ A (x - y) ‖ = ‖ x - y ‖$ .
Belátjuk a skalárszorzattartást valós X Hilbert tér esetén. ${‖ x + y ‖}^{2} = {‖ x ‖}^{2} + 2 〈 x, y 〉 + {‖ y ‖}^{2}$ , ${‖ x - y ‖}^{2} = {‖ x ‖}^{2} - 2 〈 x, y 〉 + {‖ y ‖}^{2}$ . Ezeket egymásból kivonva: ${‖ x + y ‖}^{2} - {‖ x - y ‖}^{2} = 4 〈 x, y 〉 \Rightarrow 〈 x, y 〉 = \frac{{‖ x + y ‖}^{2} - {‖ x - y ‖}^{2}}{4}$ . Így $〈 A x, A y 〉 = \frac{1}{4} ({‖ A x + A y ‖}^{2} - {‖ A x - A y ‖}^{2}) = \frac{1}{4} ({‖ A (x + y) ‖}^{2} - {‖ A (x - y) ‖}^{2}) = \frac{1}{4} ({‖ x + y ‖}^{2} - {‖ x - y ‖}^{2}) \Rightarrow$ $\Rightarrow 〈 x, y 〉 = 〈 A x, A y 〉$ .
Komplex esetben $〈 x, y 〉 = \frac{1}{4} [{‖ x + y ‖}^{2} - {‖ x - y ‖}^{2} + i {‖ x + i y ‖}^{2} - i {‖ x - i y ‖}^{2}]$ , így kicsit hosszabb a bizonyítás.

Következemény: ha $A : X \to X$ izometrikus operátor és $(x_{1}, x_{2},...)$ ortonormált rendszer, akkor $(A x_{1}, A x_{2},...)$ is ortonormált rendszer.

Kérdés: ha $(x_{1}, x_{2},...)$ teljes ortonormált rendszer, akkor következik-e, hogy $(A x_{1}, A x_{2},...)$ is teljes ortonormált rendszer? Általában sajnos nem.

Példa: legyen X végtelen dimenziós, szeparábilis Hilbert tér és $(x_{1}, x_{2},..., x_{k},...)$ teljes ortonormált rendszer. Értelmezzük A-t! Egy $x \in X$ elemet fejtsük Fourier-sorba! $x = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} x_{k} = c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} + ...$ , $A x : = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k} x_{k + 1} = c_{1} x_{2} + c_{2} x_{3} + ...$ . Ez egy jól definiált lineáris operátor. Tudjuk, hogy ${‖ A x ‖}^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} {| c_{k} |}^{2} = {‖ x ‖}^{2}$ , tehát A izometrikus. Láthatjuk, hogy így $(A x_{1} = x_{2}, A x_{2} = x_{3},...)$ nem teljes. Az is kiolvasható A definíciójából, hogy $R_{A} = \bar{ℒ (x_{2}, x_{3},...)}$ az X-nek valódi altere, így $R_{A} \neq X$ .

Definíció: $A : X \to X$ izometrikus operátort unitérnek nevezzük, ha $R_{A} = X$ .

Tétel: egy $A : X \to X$ korlátos operátor unitér $\Leftrightarrow \exists A^{- 1} = A^{*}$ .

Bizonyítás:

$\Rightarrow$ irányba: tfh A unitér. Ekkor A korlátossága lévén $A^{*}$ értelmezve van X-n, továbbá $‖ A x ‖ = ‖ x ‖$ , $\forall x \in X \Rightarrow A$ injektív $\Rightarrow A^{- 1}$ is létezik. Belátjuk, hogy $A^{*} = A^{- 1}$ . Egyrészt $D_{A^{- 1}} = R_{A} = X$ , mivel A unitér. Ekkor $\forall x, y \in X$ elemre $〈 x, y 〉 = 〈 A x, A y 〉 = 〈 x, A^{*} A y 〉 \Rightarrow y = A^{*} A y$ , $\forall y \in X \Rightarrow A^{*} A = I \Rightarrow A^{*} A A^{- 1} = A^{- 1} \Rightarrow A^{*} = A^{- 1}$
$\Leftarrow$ irányba: tfh $A^{*} = A^{- 1}$ . Ekkor mivel $D_{A^{*}} = X \Rightarrow R_{A} = D_{A^{- 1}} = X$ , továbbá ${‖ A x ‖}^{2} = 〈 A x, A x 〉 = 〈 x, A^{*} A x 〉 = 〈 x, I x 〉 = {‖ x ‖}^{2}$ , tehát A izometrikus is.

11.23

Állítás: ha A unitér, akkor teljes ortonormált rendszer képe szintén teljes ortonormált rendszer.

Példák unitér operátorokra:

Triviális példa az identitás
$X : = 𝕂^{n}$ . Tudjuk, hogy egy $A : 𝕂^{n} \to 𝕂^{n}$ lineáris korlátos operátor megadható egy $𝒜$ négyzetes mátrixszal, $𝒜 = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})$ , $𝒜^{*} = ({\bar{a}}_{1}^{T}, {\bar{a}}_{2}^{T},..., {\bar{a}}_{n}^{T})$ .
A leképzés unitér $\Leftrightarrow A^{*} = A^{- 1} \Leftrightarrow A A^{*} = I = A^{*} A \Leftrightarrow 𝒜 𝒜^{*} = ℐ = 𝒜^{*} 𝒜$ . $𝒜 𝒜^{*}$ elemei: $a_{j} {\bar{a}}_{k}^{T} = {〈 a_{j}, a_{k} 〉}_{𝕂^{n}} = δ_{j k} = {\begin{matrix} 1 ha j = k \\ 0 ha j \neq k \end{matrix}$
A sorvektorok tehát ortonormáltak, belátható az $𝒜^{*} 𝒜 = ℐ$ egyenletből, hogy az oszlopvektorok is. Az ilyen – unitér operátorokat megadó – mátrixokat ortogonális mátrixoknak is nevezzük.
Fourier-operátor (Fourier-transzformáció): $X : = L^{2} (ℝ)$ Hilbert tér! Az $ℱ$ fourier operátort így értelmezzük az $ϕ \in L^{2} (ℝ) \cap L^{1} (ℝ) \subset L^{2} (ℝ)$ függvényeken: $[ℱ (ϕ)] (x) : = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i x y} ϕ (y) d y$ . Látható, hogy ennek csak akkor van értelme, ha $ϕ (y)$ integrálható. Tudjuk, hogy $| e^{- i x y} ϕ (y) | = | ϕ (y) |$ , mert $| e^{- i x y} | = 1$ . $ϕ \in L^{2} (ℝ)$ esetén $[ℱ (ϕ)] (x) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- N}^{N} e^{- i x y} ϕ (y) d y$ az $L^{2} (ℝ)$ normával.

Tétel: az $ℱ : L^{2} (ℝ) \to L^{2} (ℝ)$ operátor unitér, $ℱ^{- 1} = ℱ^{*}$ a következő képlettel adható meg: $[ℱ^{- 1} (ψ)] (y) = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- N}^{N} e^{i x y} ψ (x) d x$ , ahol a limesz $L^{2} (ℝ)$ norma szerinti.

Bizonyítás (vázlatos):

először értelmezzük $ℱ$ -et a következő spec. alakú lépcsős függvényeken: $ϕ_{α} (x) : = {\begin{matrix} 1 & ha x 0 és α között van \\ 0 & egyébként \end{matrix}$ .
Egyszerű számolással $(ℱ ϕ_{α}) (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1 - e^{- i α x}}{i x}$ . Bevezetjük a $𝒢$ operátort $ϕ \in L^{2} (ℝ) \cap L (ℝ)$ függvényekre: $(𝒢 ϕ) (x) : = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{i x y} ϕ (y) d y$ . Hasonlóan adódik: $(𝒢 ϕ_{α}) (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{e^{i α x} - 1}{x}$ . Állítás: tetszőleges $ϕ_{α}, ϕ_{β}$ esetén $〈 ℱ ϕ_{α}, ℱ ϕ_{β} 〉 = 〈 ϕ_{α}, ϕ_{β} 〉$ , $〈 𝒢 ϕ_{α}, 𝒢 ϕ_{β} 〉 = 〈 ϕ_{α}, ϕ_{β} 〉$ és $〈 ℱ ϕ_{α}, ϕ_{β} 〉 = 〈 ϕ_{α}, 𝒢 ϕ_{β} 〉$ is igaz.
Kiterjesztjük az állítást lépcsős függvényekre, amik láthatóan ilyen függvények lineárkombinációi.
A lépcsős függvények sűrűn vannak $L^{2} (ℝ)$ -ben. Hasonló állítást kapok ezen lépcsős függvényekre. $ℱ$ és $𝒢$ -t a linearitás és korlátosság megtartásával egyértelműen kiterjeszthetjük $L^{2} (ℝ)$ -re.
$ℱ$ és $𝒢$ képlete $L^{2} (ℝ)$ -en megadandó.

Megjegyzés: $ℱ$ operátor $ℝ^{n}$ -ben: $(ℱ ϕ) (x) = \frac{1}{{(\sqrt{2 π})}^{n}} \int_{ℝ^{n}} e^{- i 〈 x, y 〉} ϕ (y) d y$ , ha $ϕ \in L^{2} (ℝ^{n}) \cap L^{1} (ℝ)$ , ekkor $ℱ$ unitér.

Véges rendű operátorok

Definíció: legyen X Hilbert tér! Egy $A : X \to X$ korlátos operátort véges rendűnek nevezünk, ha $R_{A}$ véges dimenziós.

Példa: legyenek $ϕ_{1},..., ϕ_{m}$ lineárisan függetlenek, akárcsak $ψ_{1}, ψ_{2},..., ψ_{m}$ , mind X-beli elemek! Az A operátort így értelmezzük: $A : X \to X$ , $A (f) : = \sum_{j = 1}^{m} 〈 f, ψ_{j} 〉 ϕ_{j}$ . Látható, hogy ez véges rendű. Világos, hogy A operátor lineáris, $R_{A} = ℒ (ϕ_{1}, ϕ_{2},..., ϕ_{m})$ véges dimenziós. A korlátos is: ${‖ A f ‖}_{X} \leq \sum_{j = 1}^{m} ‖ 〈 f, ψ_{j} 〉 ϕ_{j} ‖ = \sum_{j = 1}^{m} | 〈 f, ψ_{j} 〉 | \cdot ‖ ϕ_{j} ‖$ , melyre a Cauchy-Schwarz szerint $\leq \sum_{j = 1}^{m} {‖ f ‖}_{X} \cdot {‖ ψ_{j} ‖}_{X} \cdot {‖ ϕ_{j} ‖}_{X} = ‖ f ‖ \cdot \sum_{j = 1}^{m} {‖ ψ_{j} ‖}_{X} \cdot {‖ ϕ_{j} ‖}_{X}$ .

Állítás: legyen X Hilbert tér, $A : X \to X$ véges rendű operátor. Ekkor $\exists ϕ_{1}, ϕ_{2},..., ϕ_{m} \in X$ lineárisan függetlenek és $\exists ψ_{1}, ψ_{2},..., ψ_{m} \in X$ lineárisan függetlenek a fentiek szerint, és A a fenti alakú.

Bizonyítás: $R_{A}$ véges, m dimenziós lineáris altér. Legyenek $ϕ_{1}, ϕ_{2},..., ϕ_{m}$ lineárisan független elemek, $ℒ (ϕ_{1}, ϕ_{2},..., ϕ_{m}) = R_{A}$ . Ezek választhatók úgy, hogy ortonormáltak legyenek (a Schmidt eljárással). Ekkor, ha $f \in X$ , $A f = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} (f) ϕ_{j}$ .Ebben a $c_{j}$ együtthatók egyértelműek, $c_{j} (f) = 〈 A f, ϕ_{j} 〉$ . Látjuk, hogy $c_{j}$ lineáris funkcionál, továbbá korlátos is, és $| c_{j} (f) | = | 〈 A f, ϕ_{j} 〉 | \leq ‖ A f ‖ \cdot \underset{= 1}{\underset{︸}{‖ ϕ_{j} ‖}} \leq ‖ A ‖ \cdot ‖ f ‖$ . Riesz-tétel segítségével $\exists! ψ_{j} \in X : c_{j} (f) = 〈 f, ψ_{j} 〉 \Rightarrow A f = \sum_{j = 1}^{m} c_{j} (f) ϕ_{j} = \sum_{j = 1}^{m} 〈 f, ψ_{j} 〉 ϕ_{j}$ . Nem nehéz belátni, hogy $ψ_{1}, ψ_{2},..., ψ_{m}$ is lineárisan függetlenek.

A másodfajú egyenlet véges rendű operátorokra

Legyen X Hilbert tér (véges vagy végtelen dimenziós), $A : X \to X$ véges rendű operátor. Tekintsük az A operátornak a másodfajú egyenletét: $(λ I - A) f = b$ , ahol $b \in X$ adott és $f \in X$ keresett. Ezt az előbbiek szerint így írhatjuk: $λ f - \sum_{j = 1}^{m} 〈 f, ψ_{j} 〉 ϕ_{j} = b$ . Belátjuk, hogy $λ \neq 0$ esetén ez az egyenlet ekvivalens egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel.

Az előző egyenletet jobbról $ψ_{k}$ -val skalárisan szorozva: $λ 〈 f, ψ_{k} 〉 - \sum_{j = 1}^{m} 〈 f, ψ_{j} 〉 〈 ϕ_{j}, ψ_{k} 〉 = 〈 b, ψ_{k} 〉$ , $k \in {1,2,..., m}$ . Keressük $ξ_{j} : = 〈 f, ψ_{j} 〉$ -t, adottak $a_{k j} : = 〈 ϕ_{j}, ψ_{k} 〉$ , $β_{k} : = 〈 b, ψ_{k} 〉$ . Ezzel a jelöléssel: $λ ξ_{k} - \sum_{j = 1}^{m} a_{k j} ξ_{j} = β_{k}$ , $k \in {1,2,..., m}$ . Ez egy lineáris egyenletrendszer $ξ_{k}$ együtthatókra. $ξ : = (\begin{matrix} ξ_{1} \\ ⋮ \\ ξ_{m} \end{matrix})$ , $β : = (\begin{matrix} β_{1} \\ ⋮ \\ β_{m} \end{matrix})$ , $𝒜 : = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m m} \end{matrix})$ , így $(λ ℐ - 𝒜) ξ = β$ . Ha f kielégíti a másodfajú egyenletet $\Rightarrow ξ$ kielégíti a kapott lineáris algebrai egyenletrendszert $λ = 0$ esetén is!

Állítás: legyen $λ \neq 0$ és tfh $ξ$ kielégíti a lineáris algebrai egyenletrendszert! Ekkor $f : = \frac{1}{λ} b + \frac{1}{λ} \sum_{j = 1}^{m} ξ_{j} ϕ_{j}$ kielégíti a véges rendű operátorra vonatkozó másodafajú egyenletet.

Bizonyítás: behelyettesítünk a másodfajú egyenletbe, s kihasználjuk, hogy $ξ$ kielégíti a lineáris algebrai egyenletrendszert.

Tétel: egy $f \in X$ elem kielégíti a véges rendű opertárra vonatkozó másodfajú egyenletet $λ \neq 0$ esetén $\Leftrightarrow ξ_{j} = 〈 f, ψ_{j} 〉$ képlettel értelmezett koordinátákból álló $ξ$ kielégíti a fenti lineáris algebrai egyenletrendszert. Ennek alapján a véges rendű operátorokra vonatkozó másodfajú egyenlet megoldhatóságának elmélete következik a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatóságának elméletéből. Két eset lehetséges:

ha $λ \neq 0$ szám az $𝒜$ mátrixnak nem sajátértéke $\Leftrightarrow \det | λ ℐ - 𝒜 | \neq 0$ , ekkor $(λ ℐ - 𝒜) ξ = β$ egyenletben $\forall β \in 𝕂^{n} \exists! ξ$ megoldás $\Rightarrow \exists! f$ megoldás a $(λ I - A) f = b$ egyenletre. Nem nehéz belátni, hogy f folytonosan függ b-től. Ekkor $λ \neq 0$ reguláris érték A-ra.
ha $λ \neq 0$ az $𝒜$ mátrixnak sajátértéke $\Rightarrow λ$ az A sajátéréke, s a kétféle rang egyenlő. $λ = 0$ végtelen rangú sajátértéke A-nak (ha X végtelen dimenziós).

11.30

Állítás: ha X végtelen dimenziós vektortér, akkor $λ = 0$ végtelen rangú sajátértéke az operátornak. $A ϕ : = \sum_{j = 1}^{m} 〈 ϕ, ψ_{j} 〉 ϕ_{j}$ . $λ = 0$ sajátérték azt jelenti, hogy $A ϕ = 0 ϕ = 0$ biztosan teljesül. Mivel $ϕ_{j}$ -k lineárisan függetlenek, $〈 ϕ, ψ_{j} 〉 = 0$ , $\forall j \in {1,2,..., m} \Leftrightarrow ϕ ⊥ ℒ (ψ_{1}, ψ_{2},..., ψ_{m})$ .

Összefoglalva: legyen X végtelen dimenziós szeparábilis Hilbert tér! Ekkor egy A véges rendű operátor spektruma csak sajátértékekből áll, mégpedig a 0-tól különböző (véges sok) sajátérték véges rangú (ezek megegyeznek az $𝒜$ mátrix sajátértékeivel, s ranguk is megegyezik), a 0 pedig végtelen rangú sajátérték. Minden más $λ$ reguláris érték.

Példa véges rangú operátorokra (elfajult magú integrálegyenletek)

$X : = L^{2} (M)$ , ahol M mérhető halmaz. $𝒦 (x, y) = \sum_{j = 1}^{m} ϕ_{j} (x) ψ_{j} (y)$ , ahol $ϕ_{j}, ψ_{j} \in L^{2} (M) \Rightarrow 𝒦 \in L^{2} (M \times M)$ . $(K ϕ) (x) = \int_{M} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y = \int_{M} [\sum_{j = 1}^{m} ϕ_{j} (x) ψ_{j} (y)] ϕ (y) d y = \sum_{j = 1}^{m} ϕ_{j} (x) \int_{M} ψ_{j} (y) ϕ (y) d y$ . Röviden: $K ϕ = \sum_{j = 1}^{m} ϕ_{j} 〈 ϕ, ψ_{j} 〉$ .

Az előbbiek alapján egy elfajult magú (elsőfajú) integrálegyenlet megoldása kiszámolható egy lineáirs algebrai egyenletrendszer megoldásával.

Kompakt (teljesen folytonos) operátorok

Definíció: egy $M \subset Y$ halmazt feltételesen (vagy relatíve) sorozatkompaktnak nevezünk, ha lezárása sorozatkompakt.

Megjegyzés: M feltételesen sorozatkompakt, ha tetszőleges M-beli sorozatból kiválasztható konvergens részsorozat. $ℝ^{n}$ -ben a feltételesen sorozatkompakt halmazok a korlátos halmazok.

Definíció: legyenek $X, Y$ Banach terek! Egy $A : X \to Y$ lineáris operátort teljesen folytonosnak, avagy kompaktnak nevezünk, ha X tetszőleges korlátos halmazát feltételesen (avagy relatíve) sorozatkompakt halmazba képezi.

Megjegyzés: Ekkor A korlátos is, továbbá két kompakt operátor összege és számszorosa is kompakt.

Állítás: egy $A : X \to Y$ operátor kompakt $\Leftrightarrow \forall {(x_{k})}_{k \in ℕ}, x_{k} \in X$ korlátos sorozatra ${(A x_{k})}_{k \in ℕ}$ -ból kiválasztható konvergens részsorozat.

Állítás: legyen X Hilbert tér, $A : X \to X$ véges rendű operátor. Ekkor A kompakt.

Tétel: legyenek X, Y Banach terek, $A_{j} \in L (X, Y)$ operátorok kompaktak, és $\exists A \in L (X, Y) : \lim_{j \to \infty} A_{j} = A \Rightarrow A$ is kompakt operátor.

Bizonyítás: legyen ${(x_{k})}_{k \in ℕ}$ egy X-beli korlátos sorozat. Bizonyítani akarjuk, hogy ${(A x_{k})}_{k \in ℕ}$ -nek van konvergens részsorozata Y-ban. Tudjuk, hogy $A \in L (X, Y)$ . Mivel $A_{1}$ kompakt, ezért az ${(A_{1} x_{k})}_{k \in ℕ}$ sorozatból kiválasztható Y-ban konvergens részsorozat, legyen ez ${(A_{1} x_{k 1})}_{k \in ℕ}$ ! ${(A_{2} x_{k 1})}_{k \in ℕ}$ -ből kiválasztható konvergens részsorozat, legyen ez ${(A_{2} x_{k 2})}_{k \in ℕ}$ . ${(A_{3} x_{k 2})}_{k \in ℕ}$ -ből megint kiválasztható…
$\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{k} & \dots \\ A_{1} & x_{11} & x_{21} & \dots & x_{k 1} & \dots & részsorozatra {(A_{1} x_{k 1})}_{k \in ℕ} konvergens \\ A_{2} & x_{12} & x_{22} & \dots & x_{k 2} & \dots & részsorozatra {(A_{2} x_{k 2})}_{k \in ℕ} konvergens \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{j} & x_{1 j} & x_{2 j} & \dots & x_{k j} & \dots & részsorozatra {(A_{j} x_{k j})}_{k \in ℕ} konvergens \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix}$
Tekintsük az ${(x_{k k})}_{k \in ℕ}$ átlós sorozatot. Belátjuk, hogy ${(A x_{k k})}_{k \in ℕ}$ konvergens Y-ban. ${(x_{k k})}_{k \in ℕ}$ az eredeti ${(x_{k})}_{k \in ℕ}$ sorozatnak olyan részsorozata, amely bármelyik sorban levő részsorozatnak a részsorozata, bizonyos indextől kezdve.
${‖ A x_{k k} - A x_{m m} ‖}_{Y} = {‖ [A x_{k k} - A_{j} x_{k k}] + [A_{j} x_{k k} - A_{j} x_{m m}] + [A_{j} x_{m m} - A x_{m m}] ‖}_{Y} \leq$ $\leq {‖ (A - A_{j}) x_{k k} ‖}_{Y} + {‖ A_{j} x_{k k} - A_{j} x_{m m} ‖}_{Y} + {‖ (A_{j} - A) x_{m m} ‖}_{Y} \leq$ $\leq {‖ A - A_{j} ‖}_{L (X, Y)} {‖ x_{k k} ‖}_{X} + {‖ A_{j} x_{k k} - A_{j} x_{m m} ‖}_{Y} + {‖ A_{j} - A ‖}_{L (X, Y)} {‖ x_{m m} ‖}_{X}$ .
${(x_{k k})}_{k \in ℕ}$ korlátos sorozat, ehhez $\exists c > 0 : ‖ x_{k k} ‖ \leq c$ . Legyen $ε > 0$ tetszőleges. Mivel $\lim_{j \to \infty} ‖ A_{j} - A ‖ = 0$ , ezért $\exists j_{0} : j \geq j_{0} \Rightarrow ‖ A_{j} - A ‖ \leq ε$ . Válasszuk pl: $j = j_{0}$ . Mivel ${(A_{j_{0}} x_{k k})}_{k \in ℕ}$ konvergens, ezért $\exists k_{0} : k, l \geq k_{0} \Rightarrow ‖ A_{j_{0}} x_{k k} - A_{j_{0}} x_{l l} ‖ \leq ε$ . Tehát $k, l \geq k_{0}$ esetén ${‖ A x_{k k} - A x_{l l} ‖}_{Y} \leq c ε + ε + c ε = (2 c + 1) ε \Rightarrow (A x_{k k})$ Cauchy sorozat.

Következmény: kompakt operátorok alteret képeznek $L (X, Y)$ -ban.

Tétel: (bizonyítás nélkül) legyen X szeparábilis Hilbert tér. Ha $A : X \to X$ kompakt operátor, akkor $\exists A_{j} : X \to X$ véges rendű operátorok, hogy $\lim_{j \to \infty} {‖ A_{j} - A ‖}_{L (X, X)} = 0$ .

Összefoglalva: ha X szeparábilis Hilbert tér, akkor az $A : X \to X$ korlátos operátor kompakt $\Leftrightarrow$ előáll véges rendű operátorok sorozatának norma szerinti limeszeként.

Példa: legyen $X = L^{2} (M)$ Hilbert tér, $K : L^{2} (M) \to L^{2} (M)$ négyzetesen integrálható magú integráloperátor, $(K ϕ) (x) : = \int_{M} 𝒦 (x, y) ϕ (y) d y$ . Ez a K operátor kompakt. Ennek igazolásának alapgondolata: tudjuk, hogy $L^{2} (M)$ szeparábilis Hilbert tér (végtelen dimenziós). Legyenek ebben teljes ortonormált rendszerek $ψ_{1}, ψ_{2},...$ illetve $ϕ_{1}, ϕ_{2},...$ . Ekkor $𝒦 (x, y) = \sum_{m = 1}^{\infty} (\sum_{j, k \leq m} c_{j k} ϕ_{j} (x) ψ_{k} (y))$ , $𝒦_{N} (x, y) = \sum_{m = 1}^{N} \sum_{j, k \leq m} c_{j k} ϕ_{j} (x) ψ_{k} (y)$ , $\lim_{N \to \infty} {‖ 𝒦_{N} - 𝒦 ‖}_{L^{2} (M \times M)} = 0$ . $𝒦_{N}$ -nek véges rendű operátorok felelnek meg. ${‖ K_{N} - K ‖}_{L (L^{2} (M), L^{2} (M))} \to 0$ , ha $N \to \infty$ .

Másodfajú egyenlet kompakt operátorokra

Legyen X szeparábilis Hilbert tér, $A : X \to X$ kompakt operátor. Tekintsük a $(λ I - A) f = b$ másodfajú egyenletet, melyben $λ \neq 0$ rögzített. Tudjuk, hogy A kompakt operátor tetszőleges előírt pontossággal megközelíthatő egy B véges rendű operátorral. $\exists A_{0} : X \to X$ véges rendű operátor, hogy $‖ A - A_{0} ‖ < | λ |$ . $B_{0} : = A - A_{0} \Leftrightarrow A = A_{0} + B_{0}$ , ahol $A_{0}$ véges rendű, és $‖ B_{0} ‖ < | λ |$ . Tehát a másodfajú egyenlet így írható: $[λ I - (A_{0} + B_{0})] f = b \Leftrightarrow (λ I - B_{0}) f = b + A_{0} f$ .
$| λ | > ‖ B_{0} ‖ \Rightarrow | λ | > B_{0}$ korlátos operátor spektrálsugara $\Rightarrow λ$ reguláris érték $B_{0}$ operátorra nézve $\Rightarrow$ a legutóbbi egyenlet ekvivalens: $f = {(λ I - B_{0})}^{- 1} (b + A_{0} f) = \underset{adott}{\underset{︸}{{(λ I - B_{0})}^{- 1} b}} + {(λ I - B_{0})}^{- 1} A_{0} f$ . $λ$ -val beszorozva, átrendezve: $λ f - \underset{: = B : = B_{λ}}{\underset{︸}{λ {(λ I - B_{0})}^{- 1} A_{0}}} f = \underset{: = g}{\underset{︸}{λ {(λ I - B_{0})}^{- 1} b}}$ . A bevezetett jelöléssel $(λ I - B_{λ}) f = g$ . Észrevétel: $B_{λ}$ véges rendű operátor, mert $A_{0}$ véges rendű operátor. Legyen $δ > 0$ rögtített szám, és válasszuk $A_{0}$ -t úgy, hogy $‖ A - A_{0} ‖ < δ$ legyen. Ekkor az előbbi gondolatmenet érvényes $\forall λ$ -ra, $A_{0}$ nem függ $λ$ -tól, ha $λ \geq δ$ (de $δ$ -tól igen). $A_{0}$ véges rendű operátor $λ \geq δ$ esetén, és $A_{0} f = \sum_{j = 1}^{m} 〈 f, ψ_{j} 〉 ϕ_{j}$ alakban írható. $B f = B_{λ} f = λ {(λ I - B_{0})}^{- 1} \sum_{j = 1}^{m} 〈 f, ψ_{j} 〉 ϕ_{j} = \sum_{j = 1}^{m} λ 〈 f, ψ_{j} 〉 {(λ I - B_{0})}^{- 1} ϕ_{j}$ . A másodfajú egyenlet: $λ f - \sum_{j = 1}^{m} λ 〈 f, ψ_{j} 〉 {(λ I - B_{0})}^{- 1} ϕ_{j} = g = g_{λ}$ .

12.07

Tehát kaptuk, hogy $λ f - \sum_{j = 1}^{m} λ 〈 f, ψ_{j} 〉 {(λ I - B_{0})}^{- 1} ϕ_{j} = g = g_{λ}$ . Ez megfelel egy lineáris algebrai egyenletrendszernek: $λ ℐ ξ - ℬ_{λ} ξ = β_{λ}$ . Ekkor $\det (λ ℐ - ℬ_{λ}) = 0$ egyenlet gyökei a sajátértékek. A mátrix ( $ℬ_{λ}$ ) és az operátor ( $B_{λ}$ ) sajátértékei azonosak az eredeti operátor (A) sajátértékeivel, és rangjuk is azonos. Belátható, hogy a mátrix elemei a $λ$ változónak holomorf függvényei! Így a determináns is holomorf függvénye $λ$ -nak. Tudjuk, hogy egy holomorf függvény gyökei nem torlódhatnak egy véges pontban, hacsak nem az azonosan 0 függvény. Mivel $λ < ‖ A ‖$ , ezért csak véges sok gyök van. Tehát tetszőleges rögzített $δ$ esetén A operátornak véges sok $δ$ -nál nagyobb abszolút értékű sajátértéke van, s ezek véges rangúak.

Tétel: ha A kompakt operátor, akkor A-nak legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok sajátértéke van, a 0-tól különböző sajátértékek véges rangúak, s a sajátértékek csak a 0-ban torlódhatnak. (Gondoljunk csak a $δ : = 1 / k$ , $k \in ℕ$ esetre!)

Tétel (biz. nélkül): minden $λ \neq 0$ , ami nem sajátérték, az reguláris érték A (kompakt operátorra) nézve.

Következmény: ha $λ \neq 0$ nem sajátérték, $(λ I - A) f = b$ másodfajú egyenletnek $\forall b$ -re létezik egyetlen f megoldás, és ez folytonosan függ b-től.

Mi a helyzet, ha $λ$ sajátérték?

Emlékeztető: tetszőleges korlátos lineáris operátor esetén ${\bar{R_{λ I - A}}}^{⊥} = S_{\bar{λ}} (A^{*}) \Leftrightarrow \bar{R_{λ I - A}} = S_{\bar{λ}} {(A^{*})}^{⊥}$ . Ha $R_{λ I - A}$ zárt altér, akkor $R_{λ I - A} = \bar{R_{λ I - A}} = S_{\bar{λ}} {(A^{*})}^{⊥}$ .

Tétel: ha A kompakt operátor, akkor $λ \neq 0$ esetén $R_{λ I - A}$ zárt altér.

Bizonyítás: látható, hogy $R_{λ I - A}$ lineáris altér. Azt kell bizonyítani, hogy $R_{λ I - A}$ zárt halmaz. Legyen tetszőleges $ψ_{j} \in R_{λ I - A}$ és $\exists \lim ψ_{j} = ψ$ , ekkor $ψ \in R_{λ I - A}$ ? Mivel $ψ_{j} \in R_{λ I - A} \Rightarrow \exists ϕ_{j} \in X : (λ I - A) ϕ_{j} = ψ_{j}$ . Jelöljük: $S_{λ} (A) : = {ϕ \in X : (λ I - A) = 0}$ . Ekkor $S_{λ} (A)$ zárt lineáris altér (A folytonos). A Riesz tétel következtében $X : = S_{λ} (A) \oplus S_{λ} {(A)}^{⊥} \Leftrightarrow \forall x \in X \exists! x_{1}, x_{2} : x_{1} \in S_{λ} (A), x_{2} \in S_{λ} {(A)}^{⊥}, x = x_{1} + x_{2}$ . Ennek megfelelően $X ∍ ϕ_{j} = f_{j} + g_{j}$ , ahol $f_{j} \in S_{λ} (A)$ . $g_{j} \in S_{λ} {(A)}^{⊥}$ , $ψ_{j} = (λ I - A) ϕ_{j} = \underset{= 0}{\underset{︸}{(λ I - A) f_{j}}} + (λ I - A) g_{j} \Rightarrow (λ I - A) g_{j} = ψ_{j}$ . Kis állítás: ${(g_{j})}_{j \in ℕ}$ korlátos sorozat X-ben.

Bizonyítás (a tétel bizonyításán belül): indirekt feltesszük, hogy $\exists {(g_{j_{k}})}_{k \in ℕ}$ részsorozat, hogy $\lim_{k \to \infty} {‖ g_{j_{k}} ‖}_{X} = \infty$ . Legyen $h_{j_{k}} = \frac{g_{j_{k}}}{{‖ g_{j_{k}} ‖}_{X}}$ , ekkor ${‖ h_{j_{k}} ‖}_{X} = 1$ . $(λ I - A) g_{j_{k}} = ψ_{j_{k}}$ egyenletet osztva $‖ g_{j_{k}} ‖$ -val: $(λ I - A) h_{j_{k}} = \frac{ψ_{j_{k}}}{{‖ g_{j_{k}} ‖}_{X}} \to 0_{X}$ , ugyanis $ψ_{j}$ konvergens $\Rightarrow$ korlátos. $\lim_{k \to \infty} (λ h_{j_{k}} - A h_{j_{k}}) = 0_{X}$ . $(h_{j_{k}})$ korlátos sorozat (mert $‖ h_{j_{k}} ‖ = 1$ ), A kompakt operátor, ezért $\exists ({\tilde{h}}_{j_{k}})$ részsorozat, amelyre $(A {\tilde{h}}_{j_{k}})$ konvergens $\Leftrightarrow {(λ {\tilde{h}}_{j_{k}})}_{k \in ℕ}$ is konvergens. $λ \neq 0 \Rightarrow ({\tilde{h}}_{j_{k}})$ konvergens, ${({\tilde{h}}_{j_{k}})}_{k \in ℕ} \to h_{0} \Rightarrow (λ I - A) {\tilde{h}}_{j_{k}} \to 0 \Rightarrow (λ I - A) h_{0} = 0$ . Ebből következik, hogy $h_{0} \in S_{λ} (A)$ . Másrészt $h_{j_{k}} = \frac{g_{j k}}{‖ g_{j k} ‖}$ , $g_{j_{k}} \in S_{λ} {(A)}^{⊥} \Rightarrow h_{j_{k}} \in S_{λ} {(A)}^{⊥} \Rightarrow$ limeszben $h_{0} \in S_{λ} {(A)}^{⊥}$ . Másrészt $h_{0} \in S_{λ} (A)$ , így $h_{0} = 0$ , de ez meg nem lehet, mert $‖ {\tilde{h}}_{j_{k}} ‖ = 1 \Rightarrow ‖ h_{0} ‖ = 1$ kéne lennie.

Tehát $(λ I - A) g_{j} = ψ_{j}$ , $\lim (ψ_{j}) = ψ$ , ${‖ g_{j} ‖}_{X}$ korlátos. Mivel A kompakt és $g_{j}$ korlátos $\Rightarrow \exists {\tilde{g}}_{j_{k}}$ részsorozat, hogy $A {\tilde{g}}_{j_{k}}$ konvergens. $ψ_{j_{k}}$ is konvergens $\Rightarrow λ g_{j_{k}}$ is konvergens, $λ \neq 0 \Rightarrow (g_{j_{k}})$ konvergens. $g_{j_{k}} \to g_{0}$ X-ben, $g_{0} \in X$ . $(λ I - A) g_{0} = ψ \Rightarrow ψ \in R_{λ I - A}$ .

Tétel (bizonyítás nélkül): legyen $A : X \to X$ kompakt operátor. Ekkor $A^{*}$ is kompakt. Továbbá $λ \neq 0$ az A-nak sajátértéke $\Leftrightarrow \bar{λ}$ sajátértéke $A^{*}$ -nak, és ekkor a rangok egyenlők.

Összefoglalás (Fredholm alternatíva): legyen $A : X \to X$ kompakt operátor, $λ \neq 0$ tetszőleges szám s $(λ I - A) f = b$ másodfajú egyenlet. Ekkor két eset lehetséges:

ha $λ \neq 0$ az A-nak nem sajátértéke (legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok, véges rangú, 0-ban torlódó sajátértékek), akkor a másodfajú egyenletnek $\forall b \in X$ esetén $\exists! f$ megoldása és ez folytonosan függ b-től ( ${(λ I - A)}^{- 1}$ folytonos)
ha $λ \neq 0$ sajátérték, akkor a másodfajú egyenletnek a megoldása nem egyértelmű, a homogén egyenletnek véges sok lineárisan független megoldása van. A megoldás pontosan létezik, ha $b ⊥ S_{\bar{λ}} (A^{*})$ minden elemére. Ez annyi db ortogonalitási feltétel, amennyi a $λ$ sajátérték rangja.

Önadjungált kompakt operátorok

Tétel: legyen X szeparábilis Hilbert tér, $A : X \to X$ kompakt és önadjungált operátor, $A \neq 0$ . Ekkor $\exists λ_{1}$ sajátérték: $| λ_{1} | = ‖ A ‖ = \sup {| 〈 A x, x 〉 | : {‖ x ‖}_{X} = 1}$ .

Megjegyzés: ha $λ_{1}$ az A operátor olyan sajátértéke, amelyre $| λ_{1} | = ‖ A ‖$ és $x_{1}$ olyan sajátelem, hogy $‖ x_{1} ‖ = 1$ , azaz $A x_{1} = λ_{1} x_{1}$ , $‖ x_{1} ‖ = 1$ , akkor $| 〈 A x_{1}, x_{1} 〉 | = | 〈 λ_{1} x_{1}, x_{1} 〉 | = | λ_{1} 〈 x_{1}, x_{1} 〉 | = | λ_{1} | = ‖ A ‖ = \sup {| 〈 A x, x 〉 : {‖ x ‖}_{X} = 1 |}$ . Más szóval, az $x \mapsto | 〈 A x, x 〉 |$ , ahol $‖ x ‖ = 1$ , ez a függvény felveszi a suprémumot az $x = x_{1}$ sajátelemen, a maximum (ami most a suprémum is) értéke $= | λ_{1} |$ . Fordítva: ha $x^{*}$ olyan, hogy $‖ x^{*} ‖ = 1$ , és arra $| 〈 A x, x 〉 |$ maximális, akkor ez sajátelem és a maximum egyenlő a sajátérték abszolút értékével. Ugyanis $| 〈 A x^{*}, x^{*} 〉 | \leq ‖ A x^{*} ‖ \cdot ‖ x^{*} ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot {‖ x^{*} ‖}^{2} = ‖ A ‖$ , a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenségben egyenlőség pontosan akkor áll fenn, amikor $A x^{*} ∥ x^{*}$ , azaz $A x^{*} = c o n s t \cdot x^{*}$ .

További sajátértékek, sajátelemek keresése.

Legyen $X_{1} : = {x \in X : x ⊥ x_{1}}$ , ahol $A_{1} : = {A |}_{X_{1}}$ , a leszűkítés, és $A x_{1} = λ_{1} x_{1}$ .

Állítás: $X_{1}$ invariáns altér, azaz $x \in X_{1} \Rightarrow A x \in X_{1}$ .

Bizonyítás: tfh $x \in X_{1}$ ! $〈 A x, x_{1} 〉 = 〈 x, A x_{1} 〉 = 〈 x, λ_{1} x_{1} 〉 = λ_{1} 〈 x, x_{1} 〉 = 0$ , tehát $A x \in X_{1}$ . Az előbbi tételt alkalmazhatjuk az $A_{1}$ operátorra $X_{1}$ Hilbert térben. Ekkor $\exists λ_{2}$ sajátérték, hogy $| λ_{2} | = ‖ A_{1} ‖ = \sup {〈 A_{1} x, x 〉 : {‖ x ‖}_{X} = 1, x \in X_{1}}$ . A maximum helye $x_{2}$ sajátelem helyén van, $λ_{2} x_{2} = A x_{2}$ , $x_{2} ⊥ x_{1}$ . Így egymás után megkaphatjuk az A operátor sajátértékeit és sajátelemeit, $| λ_{1} | \geq | λ_{2} | \geq ...$ . Ha A véges rendű, akkor az eljárás véges sok lépés után befejeződik.

Tétel: legyenek az A önadjungált operátor sajátértékei $λ_{1}$ , $λ_{2}$ ,… és sajátelemei $x_{1}$ , $x_{2}$ ,… A sajátelemekről feltehető, hogy ortonormált rendszert alkotnak. Ekkor $\forall x \in X$ elemre $A x = \sum_{k} λ_{k} 〈 x, x_{k} 〉 x_{k}$ . Az $(x_{k})$ ortonormált rendszert kibővítve a $λ = 0$ -hoz tartozó sajátelemek ortonormált rendszerével, akkor ezek egy teljes ortonormált rendszert alkotnak.

Analízis III

Simon László előadása alapján

ELTE, 2009. December

Differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenlet megoldásának létezése és egyértelműsége

A Hilbert tér geometriája, Fourier sorfejtés

Ortogonális kiegészítő altér

Ortogonális rendszerek

Ortogonális sorok, Fourier-sorok

Lineáris és korlátos operátorok

Korlátos lineáris funkcionálok, duális tér (Hilbert tér esetén)

Korlátos lineáris funkcionálok

Gyenge konvergencia

Gyenge konvergencia X-ben

Inverz operátor

Zárt gráf (grafikon) tétel

Sajátérték, reguláris érték, spektrum

Korlátos lineáris operátorok reguláris értékei

Hilbert tér operátorai

Az adjungált operátor

Szimmetrikus és önadjungált operátorok

Izometrikus és unitér operátorok

Véges rendű operátorok

Kompakt (teljesen folytonos) operátorok