Analízis II
Simon László előadása alapján
ELTE, 2009. április
Ajánlott irodalom: Szőkefalvi Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok
Előadó e-mail címe: simonl a ludens.elte.hu-nál
Ez a jegyzet nem szakirodalom s nem garantált, hogy az órai anyagot teljesen lefedi, az előadásokra bejárni ajánlott.
Ha a jegyzetben helyesírási, tartalmi vagy formai hibát találsz, kérlek jelezd az előadónak vagy a tuzesdaniel@gmail.com e-mail címen! Ha a jegyzet nem jelenik meg helyesen, olvasd el az útmutatót, vagy egyszerűen használd a Firefox legújabb böngészőjét!
02. 12.
Binomiális sor
Emlékeztető:
ahol
(binomiális tétel alapján).
Legyen
! Írjuk fel ennek az f függvénynek a 0 körüli Taylor-sorát!
Ekkor f függvény Taylor sora 0 körül:
.
Jelölés: tetszőleges valós esetén
, ezt használva
. Most belátjuk, hogy a kapott sor konvergencia sugara 1. Ehhez célszerű használni a hányados kritériumot.
, ekkor
, ezért
esetén az abszolút értékekből álló sorra valóban teljesül a hányados kritérium, így a sor konvergens, mert abszolút konvergens is.
Állítás:
esetén a Taylor sor előállítja f-et, vagyis
.
Bizonyítás: legyen
, illetve
, így
, sőt, mivel g hatványsorról előbb láttuk be, hogy konvergens
esetén, így hatványsorról lévén szó, a sor és a tagonkénti deriválással nyert sor egyenletesen konvergens minden 1-nél kisebb sugarú intervallumban, tehát a deriválást és az összegzést felcserélhetjük, vagyis
. Látjuk, hogy
és
, ebből további átalakításokkal és tételek felhasználásával következik, hogy
: , melyből következik, hogy . , mivel az egyenlőség esetén is fenn kell állnia. Ezekből már következik, hogy .
Alkalmazás:
-
-
-
sorfejtése 0 körül:
. Mivel a hatványsor mindig egyenletesen konvergens a konvergencia-intervallumnál kisebb intervallumon, ezért integrálhajuk minkét oldalt 0-tól -ig, vagyis
esetén
.
Taylor formula többváltozós függvényekre
Legyen X normált tér
és k+1-szer differenciálható az
egy
sugarú környezetében. Ekkor egy
esetén szeretnénk kifejezni az a+h helyen a függvényértéket az a helyen felvettel:
. Mi kerül ... helyére?
Legyen
,
,
függvény k+1-szer differenciálható
intervallumon elég kis esetén. Megjegyezzük, hogy ekkor
, sőt, ezt az azonosítást elhagyva:
. Alkalmazzuk a Taylor formulát
-re:
, ahol
. Ennek első tagjáról tudjuk, hogy
. Mi a többi?
, illetve
. Ekkor a deriváltja:
,
, így
, ezért
. Továbbá
így
. Tovább folytatva:
, ezért
.
, így
, ahol
. Speciális eset, mikor
,
,
. Ekkor
, ahol
.
Megjegyzés: legyenek X, Y normált terek! Bebizonyítható, hogy ha
és k-szor differenciálható
-n, akkor a Taylor formula
esetén:
, ahol
a maradéktag, amelyre
.
Többváltozós függvények lokális szélsőértéke
Definíció: legyen X normált tér,
, és értelmezve van az
pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy f-nek a-ban lokális minimuma van, ha
. Ha
, akkor szigorú lokális minimumról beszélünk.
Tétel: tfh f differenciálható az a-ban és f-nek a-ban lokális szélsőértéke van (minimuma vagy maximuma),
(ahol
).
Bizonyítás: legyen
tetszőleges rögzített pont. Belátjuk, hogy
. Mivel f differenciálható a-ban, ezért elég kicsi t esetén
, ahol
, ahol
, ezért
. Ha
lenne, pl.
(h rögzített), akkor
. Ekkor
, illetve
, ez utóbbi kettő pedig ellentmondás, merthogy szélsőérték esetén
előjele ugyanaz kell, hogy legyen.
Definíció: legyen X normált tér,
, (folytonos) bilineáris leképezés. Azt mondjuk, hogy
- g pozitív definit, ha
,
- negatív definit, ha
,
- pozitív szemidefinit, ha
,
- negatív szemidefinit, ha
,
- szigorúan pozitív definit, ha
állandó, hogy
.
Megjegyzés: ha
, ekkor abból, hogy g pozitív definit, következik, hogy szigorúan pozitív definit. Végtelen dimenziós vektorterekben általában ez nem igaz. Előbbi igazolása: legyen
, ekkor tekintsük az
halmazt, ekkor ez sorozatkompakt (mert korlátos és zárt). Legyen
! Ekkor G függvény folytonos.
, így
folytonos,
sorozatkompakt, ezért G felveszi az infinimumát (minimumát), vagyis
. Mivel g pozitív definit,
, ahol
. Ekkor
esetén
.
Megjegyzés:
esetén egy
bilineáris leképezés egy négyzetes mátrixszal adható meg,
. Ha
– vagyis ha a mátrix szimmetrikus –, akkor ha A összes sajátértéke nagyobb mint 0, akkor A pozitív definit, sőt, szigorúan pozitív definit.
Tétel: tfh f kétszer differenciálható az
egy környezetében (X normált tér) és
.
- Ha f-nek a-ban lokális minimuma van
, és
pozitív szemidefinit.
- Ha
és
szigorú pozitív definit, akkor f-nek a-ban szigorú lokális minimuma van.
Bizonyítás: alkalmazzuk a Taylor formulát az
függvényre a 2. deriváltig. Legyen
elég kicsi, ekkor
, ahol
alkalmasan választott, valamilyen
szám.
- tfh f-nek a-ban lokális minimuma van. Tudjuk, hogy ekkor
, így
, ugyanis ekkor
esetén
,
, és
.
02. 19.
- felhasználva, hogy
,
. Legyen
! Egyrészt
mert
szigorú pozitív definit, másrészt
, ami tart 0-hoz ha t tart 0-hoz, így
, ha t elég kicsi.
Implicit függvénytétel
Probléma: adott egy
függvény. Egy
egyenlet milyen feltételek mellet határoz meg egy
függvényt? Tekintsük a következő példákat!
-
, ennek egy kör pontjai felelnek meg. Plusz feltétel lehet, hogy a megoldás valamelyik pont egy környezetében legyen, de még ekkor is lehet 2 megoldás (
és környezetében).
-
, ennek viszont nincs megoldása.
-
, ennek két egyenes tesz eleget. Ha még le is szűkítjük az értelmezési tartományt úgy, hogy csak az egyik egyenes egy része legyen megoldás, akkor ugyan lokálisan függvényünk lesz (vagyis egyértelmű lesz y), de ilyet nem tudnánk csinálni az origó környezetében, mert ott metszik egymást az egyenesek. Ez azzal függ össze, hogy
.
Tétel: legyen
-be képező függvény, amely értelmezve van és folytonos valamilyen
pont egy környezetében és
, továbbá
és folytonos is
egy környezetében, és
. Ekkor létezik az a pontnak olyan
, az b pontnak olyan
környezete és
folytonos függvény, hogy
.
Bizonyítás:
- tekintsük az
esetet (könnyebb szemléletesen látni)! Pl tfh
! Mivel
folytonos
-nek van olyan környezete, ahol
rögzített x esetén
szigorú monoton nő.
szigorúan monoton nő
. Mivel
folytonos
és
pontok között
, hogy
esetén és
.
Alkalmazzuk a Bolzano-tételt rögzített
esetén
függvényre! A tétel szerint ekkor
, hogy
esetén
. Mivel
szigorú monoton nő,
egyértelmű. -
Be kell látnunk még, hogy f folytonos
-n. Legyen
, és
helyett tekintsük az
pontot! Ekkor
. Azt szeretnénk belátni, hogy f folytonos
-ban. Legyen
tetszőleges szám! Az előző állítás miatt
, hogy
számot elég kicsire választva
. Ez utóbbit másképp felírva:
.
, ezért mivel
folytonos,
esetén
. Ekkor a Bolzano tétel segítségével
, node
és
miatt, minden
pontra
, tehát f folytonos
-ban.
A tétel általánosítása
függvényekre:
Tétel: tfh
,
, értelmezve van
pont egy környezetében és itt folytonos is, továbbá
folytonosan differenciálható
valamilyen környezetében. Továbbá legyen
.
, és tegyük fel, hogy
. Ekkor
-nek olyan
környezete, és
folytonos függvény, hogy
.
Tétel: tfh teljesülnek az előbbi tétel feltételei és
függvény is folytonosan differenciálható az a környezetében, akkor
differenciálható.
Megjegyzés: ha tudjuk, hogy f differencálható, akkor f deriváltja kiszámolható.
-t
szerint deriválva
.
Inverz függvény tétel
Tétel: legyen
, mely értelmezve van és folytonosan differenciálható a
egy környezetében, továbbá az alábbi mátrix determinánsa nem 0 a b-ben.
.
Legyen
. Ekkor
, folytonosan differenciálható függvény, hogy
.
Megjegyzés: a tétel szerint a g függvénynek létezik lokális inverze, azaz g függvényt a b egy elég kis környezetére leszűkítve, létezik az inverz.
Bizonyítás: legyen
, ekkor
,
és
. Az előbbi képlet szerint
(mátrix inverz).
Feltételes szélsőérték
Definíció: legyen
-be képező függvény,
és
. Azt mondjuk, hogy az F függvénynek a
feltétel mellett lokális minimuma van az
pontban, ha
esetén
.
Kérdés: milyen szükséges feltétel adható a feltételes szélsőérték létezéséhez? Az implicit függvénytétel segítségével a feltételes szélsőérték visszavezethető egy szokásos szélsőértékre (feltétel nélkülire). Feltesszük, hogy implicit függvény differenciálhatóságáról szóló tétel feltételei teljesülnek. A tétel feltételei:
folytonosan differenciálható
egy környezetében és
. Tfh
-n F-nek feltételes szélsőértéke van. Tudjuk (az implicit függvénytételből), hogy ekkor
, ahol
folytonosan differenciálható,
jelöléssel
esetén
, tehát az
függvénynek a-ben lokális minimuma van.
,
, a lokális minimumból következik, hogy
, ezt az előzőbe visszahelyettesítve
. Jelölés:
02. 26.
Észrevétel:
, másrészt
így írható:
. Ezen kívül tudjuk, hogy
.
Tétel: tfh F és
folytonosan differenciálható
egy környezetében, továbbá
mátrix determinánsa nem 0. Ha
függvénynek
-ben lokális szélsőértéke van a
feltétel mellett, akkor a
függvényre
és
. Itt
.
Megjegyzés: a fentiek szerint az
,
és
ismeretlenekre
egyenletet nyertünk. Ennek egyértelmű megoldására van esély.
Vonalintegrál
Rövid összefoglalás a Reimann-integrálról.
Legyen
korlátos függvény! Tekintsük
egy véges felosztását!
. Legyen
, ekkor definiáljuk:
(ahol
jelöli a felosztást). Az f függvényt Reimann szerint integrálhatónak nevezzük, ha
, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk. Ez azt jelenti, hogy
, hogy ha a felosztás
-nál finomabb (minden részintervallum
), akkor
. Cél: röviden bizonyítjuk, hogy ha f folytonos, akkor f Reimann integrálható.
Felső összeg:
, ahol
, alsó összeg:
, ahol
.
Állítás: bármilyen
felosztáshoz tartozó
alsó összeg
bármely
felosztáshoz tartozó
felső összeg.
Következmény: a felső összegek halmaza alulról korlátos, az alsó összegek halmaza felülről korlátos. Ebből következik, hogy
.
Megjegyzés:
.
Definíció: oszcillációs összeg:
.
Tétel: tfh
folytonos függvény. Ekkor az
oszcillációs összeg tart 0-hoz, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk, azaz
, hogy ha a felosztást
-nál finomabb, akkor
.
Bizonyítás: az egyenletes folytonosság tétele (Heine) szerint (
korlátos és zárt, tehát sorozatkompakt) f egyenletesen folytonos. Ez azt jelenti, hogy
. Ezért
-nál finomabb felosztást választva
.
Következmény: ha
folytonos, akkor Reimann integrálható, azaz
ha a felosztást finomítjuk. Ugyanis a tétel szerint tetszőleges
számhoz
, hogy ha a felosztást
-nál finomabb, akkor
. Ekkor
,
, ha
felosztás
-nál finomabb.
Megjegyzés:
és
is tart I-hez.
Folytonosan differenciálható út, illetve görbe, ívhossz kiszámítása
Legyen egy
folytonosan differenciálható! Ekkor azt mondjuk, hogy
egy folytonosan differenciálható L utat határoz meg az
térben.
, a mozgó pont a t időben a
helyen van.
Állítás: a fönt értelmezett út hossza:
.
Bizonyítás: a legyen
! Az ívhossz definíció szerint a felosztáshoz tartozó törött vonal hosszának limesze, miközben a felosztást finomítjuk. A törött vonal hossza
, mely a Lagrange-féle középértéktétellel
, ahol
. Jó lenne, ha e helyett ilyen alakú összeg lenne:
, ez nem mást, mint
integrál közelítő összege. Mivel ez a függvény folytonos, az integrál közelítő összeg tart az integrálhoz. Belátható, hogy a kétféle összeg különbsége tart 0-hoz, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk.
Definíció: legyen
folytonosan differenciálható,
injektív,
. Ekkor azt mondjuk, hogy
egyszerű, folytonosan differenciálható L utat határoz meg. Ekkor
halmazt egyszerű, folytonosan differenciálható görbének nevezzük.
Tétel: ha
és
olyan
függvények, melyek egyszerű folytonosan differenciálható utat határoznak meg és
, továbbá
és
, akkor
. Ezt nevezzük
egyszerű folytonosan differenciálható görbe ívhosszának.
Megjegyzés: ha
, akkor egyszerű zárt folytonosan differenciálható útról (illetve görbéről) beszélünk.
Definíció: legyen
folytonosan differenciálható! Ez meghatároz egy L folytonosan differenciálható utat. Legyen
és
folytonos függvény. Értelmezni akarjuk az f függvénynek az
változó szerinti vonalintegrálját. Tekintsük a következő közelítő összeget:
, ahol
. Ha ez tart valamely I véges számhoz, miközben a felosztást finomítjuk, akkor ezt nevezzük f-nek
szerinti vonalintegráljának, s így jelöljük:
. Számoljuk ki a limeszt!
, mely a Lagrange-féle középértéktétel segítségével
, ahol
. Ha e helyett a következő összeg lenne, az nagyon jó volna:
. Belátható, hogy a két összeg különbsége 0-hoz tart, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk.
Állítás: ha
egyszerű folytonosan differenciálható görbe, amelyet egy valamely L egyszerű folytonosan differenciálható úttal járunk be, akkor a vonalintegrál értéke független a
paraméterezés megválasztásától, ha rögzítettek a kezdő és végpontok (a bejárás iránya is adott).
Definíció:
folytonosan differenciálható, L folytonosan differenciálható út,
,
folytonos. Tekintsük
Ha a limesz létezik, akkor ezt így jelöljük:
.
03. 05.
folytonosan differenciálható, ekkor ez egy L folytonosan differenciálható utat határoz meg.
. Ha
injektív és
minden t-re, akkor egyszerű folytonosan differenciálható utat határoz meg,
-t egyszerű folytonosan differenciálható görbének nevezzük. (Ekkor a fenti integrált a
görbén vett integrálnak nevezzük.)
- Legyen
folytonosan differenciálható függvény. Ekkor nevezzük a
mennyiséget f-nek j-edik változója szerinti vonalintegráljának. A felosztást finomítva a fenti közelítő összeg tart
integrálhoz.
- Legyen
folytonos függvény. Tekintsük a következő mennyiséget:
. Kérdés: ennek van-e limesze, miközben a felosztást finomítjuk? A vizsgált mennyiséget átírva:
ahol
. Felcserélve az összegzést az integrálással, a vizsgált mennyiség hatáértéke
. Ez mennyiség elég fontos fizikai alkalmazásokban, ezért mi is sokat fogunk vele foglalkozni. Szemléletes jelentést társíthatunk hozzá, ha
az x pontban ható erő. Ekkor az integrál értéke a görbén végigmozogva az erőtér által végzett munka.
- Ívhossz szerinti vonalintegrál. Az előzőhöz képest csak
a változás. Ekkor tekintsük a következő összeget:
. Ez mihez tart?
Megjegyzések: mind a 3 esetben ha
egyszerű folytonosan differenciálható görbe, akkor a
-n vett integrál a paraméterezéstől függetlenül mindig ugyanaz, ha rögzítjük a kezdő és végpontokat (vagyis a bejárás irányát is megtartjuk).
Célszerű értelmezni a szakaszonként folytonosan differenciálható utat (egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható görbét)
Definíció: legyen
folytonos és
szakaszonként folytonos függvény, azaz legyen olyan
felosztás, hogy létezzen
és folytonos is
-ra, és a végpontokban létezzen egyoldali határértéke. Ekkor azt mondjuk, hogy
szakaszonként folytonosan differenciálható utat határoz meg. Értelmezhető az egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható út. A fenti 3 definíció és állítások átvihetők erre az esetre.
Legyen
és
folytonos függvény.
.
A vonalintegrál alaptulajdonságai
- Legyen
(szakaszonként) folytonosan differenciálható függvény,
és
folytonos függvények. Ekkor
esetén
- Legyenek
és
szakaszonként folytonosan differenciálható függvények, és legyen
. Ekkor legyen
, vagyis
. Ekkor
is szakaszonként folytonosan differenciálható függvény lesz.
illetve legyen
függvény folytonos! Ekkor
- Legyen
(szakaszonként) folytonosan differenciálható függvény, ez meghatároz egy L szakaszonként folytonosan differenciálható utat,
,
. Ekkor
, azaz
.
A vonalintegrál úttól való függetlensége
Adott valamilyen
tartomány (nyílt és összefüggő). Legyen
folytonos függvény.
Kérdés: milyen feltételek mellet lesz igaz, hogy az
két tetszőleges pontját összekötő szakaszonként folytonosan differenciálható út mentén vett
integrálja f-nek nem függ az úttól egészében, csak annak végpontjaitól?
Tétel: tfh
folytonos függvény és
értéke csak a kezdő és végpontoktól függ bármely
-ban haladó L út esetén. Legyen
és
tetszőleges pontok, a rögzített. Tekintsünk egy tetszőleges, olyan
-ban haladó szakaszonként folytonosan differenciálható utat, amely a-t összeköti
-vel. (Mi az, hogy összeköti? Azt jelenti ez, hogy
, mely szakaszonként folytonosan differenciálható és
,
és
.) Legyen
. Ekkor
, azaz
.
Bizonyítás: legyen
,
(a j-edik komponense a h). Az a-tól a
-ig terjedő utat definiálja a következő függvény:
! Ekkor
esetén
. Ekkor
ahol
valamilyen alkalmasan választott
szám (az egyenlőség az integrálszámítás középérték tételéből következik).
Definíció: legyen
(egyszerűség kedvéért) folytonos,
tartomány. Ha
függvényre
, akkor
-t f primitív függvényének nevezzük.
Megjegyzés:
- ha f folytonos, akkor
az
-n azzal ekvivalens, hogy
. Az állítás fordítottja is igaz, mert ha
létezik és folytonos
-n
differenciálható
-n,
.
(Ha
létezik
-n
diffható, csak ha folytonos is
)
- A fenti tétel úgy is fogalmazható, hogy ha
folytonos függvényre
csak L kezdő és végpontjától függ, akkor f-nek létezik primitív függvénye, mégpedig F, amelyre
.
- Ha
függvény f-nek primitív függvénye
is primitív függvénye, ahol
.
Tétel: tfh
folytonos és
(vagyis f-nek létezik primitív függvénye). Ekkor
értéke csak L kezdő és végpontjától függ, minden
-n haladó szakaszonként folytonosan differenciálható L út esetén.
Bizonyítás: egyszerűség kedvéért először tfh L folytonosan differenciálható,
folytonosan differenciálható,
és
.
, mely a Newton-Leibniz formula felhasználásával
.
Tétel: legyen
tetszőleges tartomány,
folytonos függvény. Ekkor
értéke csak L-nek kezdő és végpontjától függ bármely
-ban haladó, szakaszonként folytonosan differenciálható L út esetén
-nek létezik primitív függvénye.
Megjegyzés:
értéke csak a kezdő és végpontoktól függ
bármely szakaszonként folytonosan differenciálható zárt út mentén az integrál értéke 0.
Állítás: legyen
az f folytonos függvény primitív függvénye és
. Ekkor
az
-n.
Bizonyítás: az előbbi bizonyítás szerint
esetén ha
,
,
, vagyis
konstans.
Kérdés: milyen jól használható feltételt tudunk mondani a primitív függvény létezésére? Tfh
folytonosan differenciálható (vagyis
folytonos minden
-re). Ekkor
, hogy
, azaz
, mely a Young tétel szerint
.
Tétel: tfh
folytonosan differenciálható függvény. Ha f-nek létezik primitív függvénye
az
-n.
Kérdés: a feltétel elegendő-e, azaz ha , abból következik-e, hogy létezik f-nek primitív függvénye? Általában nem. Tekintsük a következő példát:
. Legyen
,
és
. Belátjuk, hogy
, ugyanis
.
, de
, ahol
az egységkör, ami egy függvény által meghatározott út.
03. 12.
Előző óráról:
. Azt vizsgáltuk, hogy mi volt a feltétele, hogy az integrál értéke csak a kezdő és végpontoktól függjön, azaz
és
értékektől. Azt tudtuk mondani, hogy akkor függ csak a kezdő és végpontoktól, hogyha
és
folytonos (minden j-re).
Tétel: tfh
folytonosan differenciálható függvény. Ha f-nek létezik primitív függvénye
az
-n.
Kérdés: abból, hogy
az
-n, következik-e, hogy f-nek van primitív függvénye (azaz az integráljának értéke csak a kezdő és végpontoktól függ)? Általában nem. Példa: legyen
,
,
. Láttuk már, hogy
. Most belátjuk, hogy az egységkörvonalon az integrál értéke nem 0 (ami ellentmond annak, hogy az integrál értéke csak a kezdő és végpontokból függ, ami azt jelentené, hogy létezik f-nek primitív függvénye).
,
,
. Ekkor
és
.
.
Kvázi definíció: egy
tartományt egyszeresen összefüggőnek nevezünk, ha tetszőleges, a tartományban levő egyszerű zárt (szakaszosan) folytonos differenciálható görbét folytonos mozgatással ponttá lehet húzni úgy, hogy végig a tartományban maradjunk.
Definíció: egy
tartományt csillagszerűnek nevezzük, ha
, hogy
esetén az a-t x-szel összekötő egyenes szakasz végig benne van
-ban. (Egyenes szakasz a és x pontok között:
)
Tétel: legyen
csillagszerű tartomány,
folytonosan differenciálható. Ha
-nek létezik primitív függvénye.
Megjegyzés: a tétel kiterjeszthető egyszeresen összefüggő tartományokra is.
Paraméteres integrálok
Definíció: tfh
adott legalább folytonos függvény. Értelmezzük a g függvényt:
. Ezt nevezzük f paraméteres integráljának. Miket tud ez?
Tétel: ha
.
Bizonyítás: legyen
tetszőleges rögzített!
. Mivel f folytonos,
korlátos és zárt halmaz (ezért sorozatkompakt is), ezért f egyenletesen folytonos (Heine tétel). Véve egy tetszőleges
számot, ehhez
. Speciel
,
. Tehát
.
Tétel: ha f folytonos
-n és
az
-n és létezik folytonos kiterjesztése
-re, akkor g függvény folytonosan differenciálható
-n, és
(vagyis felcserélhetjük a deriválást és az integrálást).
Bizonyítás: legyen
!
a Lagrange-féle középérték-tétel felhasználásával
, ahol
x és
között van.
, mert
egyenletesen folytonos.
A vonalintegrálról szóló tétel bizonyítása
Tfh
csillagszerű tartomány,
folytonosan differenciálható, továbbá
-ra az
-n. Belátjuk, hogy f-nek van primitív függvénye. Célszerű feltétel, hogy legyen
, válasszunk egy
-t, ekkor
. Az a-t x-szel összekötő, folytonosan differenciálható utat a következő
függvény határozhatja meg:
. Legyen
. Belátjuk, hogy
. Most
-et differenciáljuk
paraméter szerint.
.
esetén
,
esetén
Ezért
. Legyen
, ekkor
, így
.
Komplex függvénytan
Definíció: tfh
értelmezve van egy
pont egy környezetében. Azt monjduk, hogy f differenciálható
-ban, ha
és véges. A limeszt a valós függvények deriváláshoz hasonlóan így jelöljük:
. A komplex differenciálhatóságnak van geometriai szemléletes jelentése is.
, és a komplex számok trigonometrikus jelölésével legyen ez
. Tfh ez nem 0.
, így
környezetében
, másképp:
. Erre azt mondjuk, hogy f leképezés limeszben körtartó. Másrészt
,
,
, ez egy
körüli
szögű forgatás.
A komplex differenciálhatóság szükséges feltétele
Nézzük meg, hogy mit jelent az, hogy g komplex változós függvény differenciálható egy
pontban! Így definiáltuk:
. Két esetet vizsgálunk,
az első esetben illetve
a második esetben. Tehát
. Tudunk
és
között egy bijekciót létesíteni:
ahol
. Bizonyítható, hogy J lineáris bijekció. Mint definiáltuk,
, és legyen
ahol
és
, továbbá
, ahol
és
. A korábbi J bijekció alapján legyen
és
, így
és
.
,
Ezért kell, hogy
legyen. Ezek a Cauchy-Riemann (parciális differenciál) egyenletek.
Cauchy-alaptétel: tfh
egyszeresen összefüggő és
differenciálható
-n. Ekkor g integrálja bármely szakaszonként folytonosan differenciálható,
-ban haladó egyszerű zárt görbén 0.
Bizonyítás: legyen
szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, mely egy egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható zárt
görbét határoz meg,
,
. Definíció szerint
(itt az integrandus komplex értékű).
(ahol
valós-valós függvények),
. Ezek alapján
. Definiáljuk
függvényt-t a következőképp:
, így az előző integrálban a szorzást elvégezve
.
Belátjuk, hogy mindkét tag 0.
.
Először legyen
,
. Ekkor
és
, (a Cauchy-Riemann egyenletekből pedig)
, azaz
. Így a valós vonalintegrálokról szóló tétel szerint
.
Másodszor
,
, ebből kapjuk, hogy a második integrál is 0. A Cauchy-Riemann egyenletekből most
illetve
. Ekkor , így
.
Megjegyzés: a bizonyításokban felhasználtuk, hogy g folytonosan differenciálható, így felhasználtuk a valós vonalintegrálról szóló tételt és megjegyzését.
03. 19.
A Cauchy alaptétel közvetlen következményei
Tfh
szakaszonként folytonosan differenciálható függvény egyszerű zárt utat határoz meg,
egy egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differencálható görbe
-n.
Tétel: egy
nyílt halmaz két összefüggő komponensből (részből) áll, a két komponens közül az egyik korlátos, a másik nem. A korlátos komponenst nevezzük
belsejének, a nem korlátos komponenst
külsejének.
Megjegyzés: a tétel állítása triviálisnak tűnhet, bizonyítása mégsem könnyű.
Tétel: legyen
egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható görbe, legyen
a
görbe belsejében. Tfh
, vagyis hogy
tartalmazza
-t és a kettejük közötti tartományt. Legyen
differenciálható függvény. Ekkor
.
Bizonyítás: a Cauchy alaptételt alkalmazva a
utakból álló szakaszonként folytonosan differenciálható zárt görbére:
, mely limeszben (
)
. (Az ábrán a körüljárást láthatjuk,
irányítása azonos, óramutató járásával ellentétes irányú. Ez a bizonyítás csupán vázlatos, szemléletes.)
Tétel: legyenek
egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható görbék,
és
ha
,
. Legyen g függvény differenciálható egy olyan tartományban, mely tartalmazza
-t és
-t is. Ekkor
.
Cauchy-féle integrálformula
Tétel: legyen
egyszeresen összefüggő tartomány és
egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható görbe (ekkor
és g diffható
-n. Ekkor
belsejében fekvő bármely z esetén
.
Bizonyítás: legyen
a z középpontú,
sugarú körvonal.
-t olyan kicsinek választjuk, hogy
belseje lesz már. Ekkor a Cauchy alaptétel közvetlen következménye szerint
, másrészt
, ugyanis
paraméterezés mellett
– erre valóban teljesül a
kitétel –, így
előáll a
,
függvény segítségével (ekkor
):
, továbbá
. Ezek szerint
. Vizsgáljuk a következő mennyiséget:
ugyanis
ha
,
,
, tehát
.
Cauchy-típusú integrál
Definíció: legyen
egyszerű (nem feltételen zárt) szakaszonként folytonosan differenciálható görbe. Legyen
folytonos függvény! Legyen
, ezt nevezzük Cauchy-típusú integrálnak, ha
.
Tétel: G függvény a
nyílt halmazon akárhányszor differenciálható és
.
Bizonyítás: csak a
esetet látjuk be, teljes indukcióval a tétel igazolható. Tehát ezt szeretnénk igazolni:
.
.
Vizsgáljuk:
.
korlátos és zárt, ezért sorozatkompakt is, így a
folytonos függvényhez
ha
. Ha
, ugyanis
.
, ha
. Tehát
.
Spec eset:
egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható görbe,
, g differenciálható egy
-t tartalmazó egyszeresen összefüggő tartományon. Ekkor
, az utóbbi tétel szerint pedig
. Eszerint ha egy komplex függvény egyszer differenciálható, akkor akárhányszor differenciálható.
A primitív függvény és a vonalintegrál kapcsolata
Tétel: tfh g folytonos egy
tartományon, továbbá
vonalintegrál értéke tetszőleges
-ban haladó egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható görbe esetén annak csak a kezdő és végpontjaitól függ. Legyen
rögzített,
változó pont,
. Ekkor
.
Bizonyítás:
. Vizsgáljuk:
, mely 0-hoz tart, ha
is.
Következmény: (Morera tétele) tfh g egy
tartományon értelmezett folytonos függvény, amelynek az
-ban haladó egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható görbéken vett integrálja csak a kezdő és végpontoktól függ. Ekkor g differenciálható
-n (vagyis akárhányszor differenciálható). Ugyanis előbbi tétel szerint a
függvényre
differenciálható és
,tehát
egyszer differenciálható, ezért akárhányszor, így g is akárhányszor.
03. 26.
Definíció: ha f az
tartomány minden pontjában differenciálható, akkor f-et holomorfnak nevezzük
-n.
Taylor-sorfejtés komplex függvényeken
Lemma: legyen
egyszerű, szakaszonként folytonosan differenciálható görbe, s legyenek
folytonos függvények,
. Tfh a
sor egyenletesen konvergens. Ekkor f is folytonos (valósban bizonyítottuk, de állítás, hogy komplexben is így van). Ekkor
, vagyis az integrálás és az összegzés felcserélhető.
Bizonyítás: legyen
,
,
szakaszonként folytonosan differenciálható. Ekkor
és
, így
.
Egyenletes konvergencia
Weierstrass-tétele komplex függvényekre
Definíció: legyen
tartomány. Azt mondjuk, hogy a
az
belsejében egyenletesen konvergens, ha
sorozatkompakt halmaz esetén a sor K-n egyenletesen konvergens.
Weierstrass tétele: legyen
tartomány,
függvények holomorfak, továbbá
sor a
belsejében egyenletesen konvergens. Ekkor
-
is holomorf
-
- az utóbbi sor is egyenletesen konvergens
belsejében
Következmény:
is egyenletesen konvergens
belsejében.
Bizonyítás:
- egyrészt tudjuk, hogy
folytonos
-n (hiszen a sor
belsejében egyenletesen konvergens). Legyen
rögzített pontja. Belátjuk, hogy f differenciálható
egy kis
környezetében. Vegyünk egy
-ban haladó, egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható zárt
görbét. Belátjuk, hogy
holomorf
-n (Morera tétele miatt). Az előbbi lemma alapján
.
- a Cauchy-féle integrálformula szerint ha z a
körvonal belsejében van, akkor
. Ekkor
(itt is felhasználtuk a sor egyenletes konvergenciáját
-n).
További következmény: tekintsük a
hatványsort! Tfh ennek konvergencia sugara
. Tudjuk, hogy
esetén a sor konvergens, ill minden R-nél kisebb sugarú,
középpontú körben a hatványsor egyenletesen konvergens. Mivel
holomorf függvény, és az
függvényekből álló sor a konvergencia sugár belsejében egyenletesen konvergens, így a Weierstrass tételből következően a sor összege is holomorf, és a sor tagonként akárhányszor deriválható. Továbbá
, mivel a sor most is (komplex értelemben) tagonként differenciálható, ezért egyszerű számolással kapjuk:
.
Definíció: tfh f holomorf függvény
egy környezetében. Ekkor az f függvény Taylor sorát így értelmezzük:
.
Tétel: legyen
tartomány, tfh f holomorf
-n,
. Tekintsük az f függvény Taylor-sorát
körül! Ekkor
, ahol
,
az a maximális sugarú
középpontú kör, amely
.
Példa: legyen
, ekkor f holomorf az
tartományon. Fejtsük Taylor-sorba f-t a
körül! Ekkor
. A sor
esetén konvergens,
esetén divergens, tehát csak akkor igaz az előbbi egyenlőség, ha
.
Bizonyítás: legyen
, ekkor r-t úgy választjuk, hogy
. Jelöljük:
. Alkalmazzuk a Cauchy- féle integrálformulát
-ra és z-re:
. A nevező:
(ez azért jó, mert
, ugyanis
). Tehát
. A sor egyenletesen konvergens, ha
a Weierstrass kritérium szerint. Így
. Ugyanis tudjuk, hogy
.
Következmény: tfh f, g holomorf függvények
tartományon és
, ahol
. Ekkor
.
Bizonyítás:
- először belátjuk, hogy
. Fejtsük Taylor-sorba mindkét függvény, f-t és g-t is
körül.
,
, így
, így
Mivel
, ezért oszthatunk
-lal:
, és így tovább, tehát
.
- legyen
tetszőleges! Kössük össze
-t és z-t egy véges sok egyenes szakaszból álló
törött vonallal.
. Most z-t és
-t összekötjük egy
sugarú körökből álló körlánccal, ezeken
, az egymás utáni körökön.
Spec eset:
,
.
Definíció: legyen f holomorf függvény
tartományon,
Azt mondjuk, hogy
az f függvénynek n-szeres gyöke, ha
.
Állítás:
az f-nek n-szeres gyöke
, ahol g holomorf
egy környezetében és
.
Bizonyítás:
-
irányban: tfh
. Fejtsük Taylor-sorba
körül:
. g holomorf
környezetében:
.
-
irányban:
, g holomorf és
. g-t sorba fejtjük
körül:
Leolvashatjuk, hogy f Taylor sorfejtésénél az első n db együttható 0.
,
, mivel
.
Egész függvények, Liouville tétele
Definíció: ha f függvény holmorf
-n, akkor f-t egész függvénynek nevezzük.
Liouville tétele: ha f egész függvény korlátos
állandó.
Bizonyítás: tudjuk, hogy f holomorf
-n. Fejtsük Taylor-sorba
körül! Legyen
, ekkor
-re
,
. Ha speciel f korlátos,
(r-től függetlenül), így
esetén
,
.
04. 02.
Az algebra alaptétele
Tétel: legyen P egy legalább elsőfokú, komplex együtthatós polinom! Ekkor mindig
.
Bizonyítás: indirekt feltesszük, hogy
. Ekkor
holomorf függvény. Belátjuk, hogy
korlátos is.
.
, így
, hogy
ha
, tehát
.
esetén
korlátos a Weierstrass-tétel miatt, hiszen
folytonos, a
sugarú kör sorozatkompakt.
korlátos, másrészt holomorf
(Liouvielle-tétel)
, de ez meg ellentmond annak, hogy
.
Az exponenciális, a szinusz és koszinusz függvények komplex változókon
(Kalkuluson szó volt az exponenciális, a szinusz és koszinusz hatványsoráról a valósban. Ezeket kaptuk:
, a konvergencia sugár végtelen.
illetve
Akkoriban lehetett volna így is definiálni a függvényeket, és az akkori definíciókat meg igazolni. Ha így tettük volna, a komplexes általánosítás könnyebb volna.)
Legyen definíció szerint
, a konvergencia sugár ugyanaz, mint valósban, valamint
továbbá
. A hatványsoros definíciós segítségével belátható, hogy
. A sor abszolút konvergens, így szabadon cserélgethetők a szorzótényezők:.
, ahol felhasználtuk a binomiális tételt.
Következmény: legyen
. Ekkor
,
, így
, valamint
,
,
,
, így
, valamint
. Ezek igazak
. Komplexben is igaz, hogy
, merthogy
, valamint az összes többi formula, ami valósban is igaz volt (periodicitás, paritás).
periodikus
szerint, ugyanis
. Ami másképp van: valósban
, mert
és ,
, de komplexben ez így nem igaz. Megemlítendő, hogy
, mert
.
Izolált szinguláris pontok, Laurent-sorfejtés
Definíció: ha
tartomány,
holomorf egy
pont kivételével, akkor
izolált szinguláris pontnak nevezzük.
Cél: f-et szeretnénk valamilyen sorba fejteni
körül.
Tfh
egy izolált szinguláris pont, f holomorf a
tartományon, ahol
. Válasszuk
számokat:
.
esetén
megválasztható úgy, hogy
. Nem nehéz belátni, hogy a Cauchy-féle integrálformula szerint
.
esetén
, a sor egyenletesen konvergens
esetén. Ha
,
. Vezessük be az
új indexváltozót, így
. Ekkor
, ahol
. (A Cauchy-alaptétel következménye miatt vehetünk , helyett -et.)
Tétel: tfh f holomorf az
tartományon, (
). Ekkor
esetén
, ahol
. Ezt nevezzük f Laurent sorfejtésének.
Megjegyzés: a Laurent sorfejtés egyértelmű. Ugyanis nem nehéz belátni, hogy ha
. A Laurent sorfejtés egyenletesen konvergens
-n, azaz minden -ban fekvő sorozatkompakt halmazon.
Az izolált szinguláris pontok osztályozása
.
- Ha
esetén, akkor
megszüntethető szingularitás,
.
- Ha véges sok negatív indexű együttható nem 0, akkor
-t pólusnak nevezzük (az ilyen együtthatók száma a pólus rendje).
- Ha végtelen sok negatív indexre az együttható nem 0, akkor
-t lényeges szingularitásnak nevezzük.
Definíció: a Laurent sorfejtésben a
együtthatót a függvény
-beli reziduumának nevezzük.
Megjegyzés:
.
Reziduum-tétel: tfh f holomorf az
tartományon a
izolált szinguláris pontok kivételével. Ekkor véve olyan egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható
görbét, amely
-ban van a belsejével együtt,
.
Bizonyítás:
.
Reziduum kiszámítása pólus esetén
Tfh f függvénynek
-ban m-edrendű pólusa van:
Ez már hatványsor.
.
Állítás: az f függvénynek
-ban m-edrendű pólusa van
holomorf és
. Ugyanis
Állítás: ha h holomorf függvény
-ban és h-nak
-ban m-szeres gyöke van, akkor az
függvénynek a
-ban m-edrendű pólusa van.
Bizonyítás:
,
,
holomorf.
,
holomorf,
.
A reziduum kiszámításának két egyszerű esete:
- tfh h-nak
-ban egyszeres gyöke van, vagyis
.
-nak
-ban elsőrendű pólusa van.
esetre
.
- tfh
, ahol
holomorf
-ban, viszont
-nek elsőrendű pólusa van itt.
,
, így
,
.
Alkalmazás: a reziduum tétel alkalmazása a (valós) improprius integrálok kiszámítására
.
izolált szingularitás
-ben, máshol holomorf.
04. 16.
. Legyen
az
-rel jelölt félkörvonal és a
intervallum egymásutánja, ekkor
, tehát
A reziduum tétel alapján
. A reziduum kiszámításához vegyük észre, hogy
, ahol
, így
.
Most belátjuk, hogy
. A számítás során felhasználjuk, hogy
, és hogy
.
, ha
, így
.
Komplex függvények inverze
Először az ún. lokális inverz létezését vizsgáljuk.
Állítás: tfh f holomorf a
pont egy környezetében.
- Ha
, akkor f-nek nincs lokális inverze, semmilyen kis környezetében,
- ha
, akkor f-t a
pont elég kis környezetére leszűkítve, f-nek létezik inverze, az inverz függvény értelmezve és holomorf a
pont egy környezetében.
Megjegyzés: abból, hogy
injektív. Például nézzük az
függvényt, mely
szerint periodikus, vagyis
. Ez a függvény tehát nem injektív, pedig
.
Állítás: az
függvény injektív az
-n és
.
Bizonyítás: legyen
és
.
, valamint
, ahol
,
.
,
, tehát
.
Az előbbiek alapján szeretnénk definiálni a természetes alapú logaritmust a komplex számokon.
Definíció:
esetén legyen
. (A logaritmus függvény értelmezhető minden olyan tartományon, ahol az argumentum egyértelműen értelmezhető. Mivel
, ha z tisztán valós, olykor
helyett
jelölést használjuk, még ha z nem is tisztán valós.)
Konform leképezések
Definíció: legyen
tartomány. Ha
holomorf és
, akkor f-t konform leképezésnek nevezzük.
Konform leképezések alaptétele: legyen
egyszeresen összefüggő tartomány, melynek legalább 2 határpontja van. Ekkor létezik egyetlen f konform leképezés, amely
-t a
egységkörére képezi injektív módon úgy, hogy egy adott
pontra
,
adott.
Példa: félsík konform leképezése az egységkörre.
,
.
, ahol a felülvonás a komplex konjugálás. Láthatjuk, hogy f holomorf
-n, és
miatt
. Ha
, akkor
, ha
, vagyis ekkor w a
-en kívül van.
Alkalmazás áramlástani feladatokra
Síkbeli az áramlás, ha az áramlás sebessége egy
pontban
, ahol
,
,
,
,
.
Bizonyos fizikai feltételek teljesülése esetén az áramlás divergencia- és rotációmentes, vagyis
és
. A
függvényre teljesülnek a Cauchy-Reimann parciális differenciálegyenletek
holomorf függvény (
és
folytonosan differenciálható). A
függvénynek létezik primitív függvénye,
,
. Ekkor
,
. Mivel F holomorf, ezért F-re is teljesülnek a C-R egyenletek:
,
. A fizikában f-et a sebesség potenciáljaként definiáljuk. Belátjuk, hogy g az áramvonalak mentén állandó. Áramvonal: olyan
folytonosan differenciálható görbe, melynél
, vagyis melynél a görbe érintővektora párhuzamos a helyi sebességvektorral. Ekkor
A C-R egyenletekből következőket felhasználva, majd a közvetett függvény deriválására vonatkozó összefüggésből
, tehát a
függvény állandó.
Lebesgue-integrál
A Reimann integrál hátrányai:
- csak véges intervallumon és korlátos függvények esetén értelmezhető közvetlenül
- az integrál és a limesz felcserélhetősége csak egyenletes konvergencia esetén lehetséges
- nevezetes függvényterek nem vezethetők be
Definíció: legyen I valamilyen
-beli intervallum, azaz
, ahol
egydimenziós intervallumok. Ekkor az I Lebesgue mértéke:
, ahol
.
Definíció: egy
halmazt nullmértékűnek nevezünk, ha
szám esetén az A halmaz lefedhető megszámlálhatóan (véges vagy végtelen) sok intervallummal úgy, hogy azok mértékének összege
, vagyis
,
.
Példák:
- minden megszámlálhatóan (véges vagy végtelen) sok pontból álló halmaz
-ben nullmértékű. Legyen
tetszőleges. Az i-edik pontot lefedjük egy
kis intervallummal úgy, hogy mértéke
legyen, tehát az első pontot például egy
mértékű intervallummal. Mivel
, így az említett halmaz valóban nullmértékű
-
-ben egy egyenes szakasz nullmértékű, ugyanis lefedhető tetszőlegesen kis magasságú téglalappal
-
-ben minden egyenes is nullmértékű.
Ehhez belátjuk, hogy megszámlálhatóan végtelen sok nullmértékű halmaz uniója is nullmértékű:
, ekkor az első ponthoz hasonlóan
-t befedjük egy legfeljebb
mértékűvel, vagyis
-t egy legfeljebb
-vel,
-t egy legfeljebb
-tel... Így felhasználva ismét a
összefüggést, láthatjuk, hogy az említett halmaz valóban nullmértékű.
04. 23.
Tehát láttuk, hogy
-ben megszámlálhatóan sok nullmértékű halmaz unója is nullmértékű. De ez nem csak
-ben igaz, az érvelés hasonló általános esetben. Legyen
nullmértékű, belátjuk, hogy
nullmértékű.
Ezek az
intervallumok megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, mert sorba rendezhetjük őket (táblázatba rendezve őket, az átlók mentén a sorrend:
), ekkor pedig
miatt az unió is nullmértékű.
Előző órán láttuk, hogy
-ben egy egyenes nullmértékű, ugyanis megszámlálhatóan végtelen sok nullmértékű halmaz uniója. Hasonlóan,
-ben egy sík nullmértékű...
Lépcsős függvények integrálja
Definíció: legyen
olyan függvény, hogy véges sok intervallumban nem 0 állandó, máshol 0. Ekkor f-t lépcsős függvénynek nevezzük.
Definíció: legyen f lépcsős függvény, mely az
intervallumon
-val egyenlő. Ekkor
. Belátható, hogy a definíció egyértelmű.
A lemma
Legyen
lépcsős függvények monoton csökkenő sorozata, amelyre
, ahol A nullmértékű halmaz. Ezt úgy mondjuk, hogy a limesz majdnem x-re vagy majdnem mindenütt 0. Ekkor az integrálok sorozata
. (Bizonyítás nélkül.)
B lemma
Legyen
lépcsős függvények egy monoton növő sorozata, amelyre az integrálok sorozata
felülről korlátos,
véges. Ekkor majdnem minden
pontra
is véges.
Bizonyítás: legyen
! Ekkor belátandó, hogy
nullmértékű. Tetszőleges rögzített
esetén legyen
! Mivel
monoton növő, ezért
. Jelöljük:
. Ekkor
,
.
véges sok diszjunkt intervallum egyesítése, melyek mértékének összege
, mert ha nem így lenne, akkor az
ellentmondásra vezetne. Tehát
megszámlálhatóan végtelen sok intervallum uniója,
.
nullmértékű.
Definíció: jelölje
az olyan
függvények összességét, amelyekhez léteznek lépcsős függvények monoton növekedő olyan
sorozata, hogy
majdnem minden x-re és
sorozat felülről korlátos
.
Megjegyzés: tfh
. Ekkor az
-t így szeretnénk értelmezni:
. Kérdés:
- egy ilyen definíció egyértelmű lenne-e, vagyis függ-e az
sorozat megválasztásától?
- Ha spec. f lépcsős függvény, akkor a régi és az új definíció azonos-e?
Tétel: legyenek
,
,
és
lépcsős függvények monoton sorozata úgy, hogy
,
, továbbá
és
korlátos. Ekkor
.
Bizonyítás: jelöljük egy
függvény pozitív illetve negatív részét:
,
. Tekintsük rögzített
esetén a következő függvénysorozatot:
. Mivel
monoton növő,
monoton csökkentő függvénysorozat.
majdnem mindenütt. Mivel
monoton növő és
majdnem mindenütt
, vagyis
majdnem mindenütt.
. Tekintsük
-t, ez is lépcsős függvénysorozat, ez is monoton csökkenő,
majdnem mindenütt. Alkalmazzuk az A lemmát az
sorozatra
. Nyilván
. Ekkor
esetre
, ezért
.
Következmények:
- Ha
és
és
lépcsős függvények monoton növekedő sorozata, amelyekre
majdnem mindenütt és
majdnem mindenütt, akkor
. Most már lehet definiálni:
, ahol
.
- Ha f spec. lépcsős függvény, akkor a régi és az új integrál definíciója azonos, ugyanis választható -nek.
-
és
.
Az integrál tulajdonságai
-ben
- Ha
és
.
- Tfh
állandó
és
.
- Ha
.
Bizonyítás:
- Definíció szerint
és
monoton növekedő lépcsős függvénysorozatok, melyekre
majdnem mindenütt,
majdnem mindenütt és
valamint
.
lépcsős függvények monoton növő sorozata,
.
.
-
lépcsős függvények monoton növő sorozata, hogy
majdnem mindenütt. Ekkor
lépcsős függvények monoton sorozata, .
-
monoton növekvő,
monoton növekvő, és
szintén
Definíció:
,
.
Állítás: ha
.
Integrálás a
osztályában
Definíció: ha
, ahol
, akkor
. Ekkor legyen
.
Állítás: az integrál definíciója egyértelmű.
Bizonyítás: legyen
, ahol
.
ugyanis
, mert
.
A
-beli integrál tulajdonságai:
- ha
és
-
és
-
,
-
Ha
, akkor egy nullmértékű halmazon megváltoztatva szintén továbbra is
marad, és az integrál értéke nem változik
- Ha
.
- Ha
.
- Legyen
, ekkor
lépcső függvényekből álló sorozat (nem feltétlen monoton), hogy
majdnem mindenhol és
Bizonyítás:
-
,
, ahol
,
-
, ekkor
. Ha
, akkor
. Ha
.
-
. Azt kellene igazolni, hogy ekkor
.
,
,
.
-
.
.
,
-
.
-
, ahol
(monoton növő) lépcsős függvénysorozat, hogy
majdnem mindenütt és
továbbá
(monoton növő) lépcsős függvénysorozat, hogy
majdnem mindenütt és
majdnem mindenütt,
.
Állítás: ha
.
Bizonyítás:
,
Beppo Levi tétele (monoton sorozatokból, illetve nemnegatív tagú sorokról)
- Tfh
(integrálható),
monoton nő és
véges (
felülről korlátos). Ekkor
véges majdnem minden x-re, továbbá f is integrálható,
.
- Sorokra: tfh
,
és
. Ekkor majdnem minden x-re
(a sor konvergens) és
.
A két állítás egymással ekvivalens, ugyanis legyen
. Az
monoton nő
,
.
A sorokra vonatkozó formáját fogjuk bizonyítani.
04.30
Beppo Levi tételének bizonyítása
Két részre bontjuk a bizonyítást, első részben
.
Ez azt jelenti, hogy
majdnem mindenütt, ahol
lépcsős függvények, monoton nőnek, továbbá
. Mivel
, ezért feltehető, hogy
, ugyanis
helyett választhatnánk a
függvényeket is. 5let: jelöljük
, ekkor
is lépcsős függvény és
monoton növő sorozat, ugyanis
, továbbá
, mert
monoton növőleg tart
-hez.
. Alkalmazzuk a B lemmát a
sorozatra. Eszerint
majdnem mindenütt, és
. Legyen
, ekkor
. Ha most
, akkor
majdnem mindenütt, így
. Tehát
. Ha most
, akkor
, így
.
, vagyis
.
.
, ahol
, így
.
.
Most a második része a bizonyításnak: általános estben vizsgálódunk, mikor
. Észrevétel:
. Ugyanis tetszőleges
esetén
előállítható
formában, ahol
. Mivel
, ezért
monoton növő lépcsős függvény sorozat, amelyre
majdnem mindenütt ,
.
.
. Így
.
Alkalmazzuk tehát az észrevételt
függvényekre:
, ahol
és
,
. Tehát
,
,
. A
tagokból álló sorra alkalmazható a bizonyítás első része, így
konvergens majdnem minden x-re,
,
. Másrészt
,
.
, így