Analízis II

Simon László előadása alapján

ELTE, 2009. április

Ajánlott irodalom: Szőkefalvi Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok

Előadó e-mail címe: simonl a ludens.elte.hu-nál

Ez a jegyzet nem szakirodalom s nem garantált, hogy az órai anyagot teljesen lefedi, az előadásokra bejárni ajánlott.

Ha a jegyzetben helyesírási, tartalmi vagy formai hibát találsz, kérlek jelezd az előadónak vagy a tuzesdaniel@gmail.com e-mail címen! Ha a jegyzet nem jelenik meg helyesen, olvasd el az útmutatót, vagy egyszerűen használd a Firefox legújabb böngészőjét!

02. 12.

Binomiális sor

Emlékeztető: ( 1+x ) n = k=0 n ( n k ) x k ahol n (binomiális tétel alapján).
Legyen f ( x ) := ( 1+x ) α ,α,x>1 ! Írjuk fel ennek az f függvénynek a 0 körüli Taylor-sorát!

f ( x ) = ( 1+x ) α f ( 0 ) =1 f ( x ) =α ( 1+x ) α1 f ( 0 ) =α f ( x ) =α ( α1 ) ( 1+x ) α2 f ( 0 ) =α ( α1 ) f ( j ) ( x ) =α ( α1 ) ( αj+1 ) ( 1+x ) αj f ( j ) ( 0 ) =α ( α1 ) ( αj+1 )

Ekkor f függvény Taylor sora 0 körül: j=0 f ( j ) ( 0 ) j! x j = j=0 α ( α1 ) ( αj+1 ) j! x j .
Jelölés: tetszőleges valós α esetén ( α j ) := α ( α1 ) ( αj+1 ) j! , ezt használva j=0 f ( j ) ( 0 ) j! x j = j=0 ( α j ) x j . Most belátjuk, hogy a kapott sor konvergencia sugara 1. Ehhez célszerű használni a hányados kritériumot. a j := ( α j ) x j , ekkor aj+1 aj = α(α-1)··(α-j) (j+1)! α(α-1)··(α-j+1) j! xj+1 xj = α-j j+1 x| aj+1 aj |= | α-j j+1 | 1 ha j ·|x| , ezért | x | <1 esetén az abszolút értékekből álló sorra valóban teljesül a hányados kritérium, így a sor konvergens, mert abszolút konvergens is.

Állítás: | x | <1 esetén a Taylor sor előállítja f-et, vagyis ( 1+x ) α = j=0 ( α j ) x j .

Bizonyítás: legyen f ( x ) := ( 1+x ) α , illetve g ( x ) := j=0 ( α j ) x j , így f ( x ) = α 1+x f ( x ) , sőt, mivel g hatványsorról előbb láttuk be, hogy konvergens | x | <1 esetén, így hatványsorról lévén szó, a sor és a tagonkénti deriválással nyert sor egyenletesen konvergens minden 1-nél kisebb sugarú intervallumban, tehát a deriválást és az összegzést felcserélhetjük, vagyis g ( x ) = α 1+x g ( x ) . Látjuk, hogy f ( 0 ) =1 és g ( 0 ) =1 , ebből további átalakításokkal és tételek felhasználásával következik, hogy f ( x ) =g ( x ) : d dx [ lng( x ) ]= g'( x ) g( x ) = α 1+x = d dx [ ln ( 1+x ) α ] MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbaabaGaamizaiaadIhaaaWaamWaaeaaciGGSbGaaiOBaiaadEgadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaaaiaawUfacaGLDbaacqGH9aqpdaWcaaqaaiaadEgacaGGNaWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaaabaGaam4zamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaaaacqGH9aqpdaWcaaqaaiabeg7aHbqaaiaaigdacqGHRaWkcaWG4baaaiabg2da9maalaaabaGaamizaaqaaiaadsgacaWG4baaamaadmaabaGaciiBaiaac6gadaqadaqaaiaaigdacqGHRaWkcaWG4baacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqaHXoqyaaaakiaawUfacaGLDbaaaaa@782A@ , melyből következik, hogy lng( x )=ln ( 1+x ) α +c MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaciiBaiaac6gacaWGNbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaciiBaiaac6gadaqadaqaaiaaigdacqGHRaWkcaWG4baacaGLOaGaayzkaaWaaWbaaSqabeaacqaHXoqyaaGccqGHRaWkcaWGJbaaaa@625E@ . c=0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaam4yaiabg2da9iaaicdaaaa@5503@ , mivel az egyenlőség x=1 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamiEaiabg2da9iaaigdaaaa@5519@ esetén is fenn kell állnia. Ezekből már következik, hogy g( x )= ( 1+x ) α MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaam4zamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiabg2da9maabmaabaGaaGymaiabgUcaRiaadIhaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiabeg7aHbaaaaa@5CC2@ .

Alkalmazás:

Taylor formula többváltozós függvényekre

Legyen X normált tér f:X és k+1-szer differenciálható az aX egy ρ sugarú környezetében. Ekkor egy hX, h <ρ esetén szeretnénk kifejezni az a+h helyen a függvényértéket az a helyen felvettel: f ( a+h ) =f ( a ) + . Mi kerül ... helyére? Legyen δ>0,t ( δ,1+δ ) , g:X,g ( t ) =a+th , ϕ:,ϕ ( t ) = ( fg ) ( t ) =f ( a+th )  és  ϕ függvény k+1-szer differenciálható ( δ,δ+1 ) intervallumon elég kis δ>0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaeqiTdqMaeyOpa4JaaGimaaaa@55C2@ esetén. Megjegyezzük, hogy ekkor g ( t ) L ( ,X ) tth  leképezés hX , sőt, ezt az azonosítást elhagyva: g ( t ) :=h . Alkalmazzuk a Taylor formulát ϕ -re: ϕ ( 1 ) =ϕ ( 0 ) + ϕ ( 0 ) 1! 1+ ϕ ( 0 ) 2! 1 2 +...+ ϕ ( k ) ( 0 ) k! 1 k + ϕ ( k+1 ) ( τ ) ( k+1 ) ! 1 k+1 , ahol 0<τ<1 . Ennek első tagjáról tudjuk, hogy ϕ ( 0 ) =f ( a ) . Mi a többi? ϕ ( t ) =f ( a+th ) , illetve ϕ=fg . Ekkor a deriváltja: ϕ ( t ) = f ( g ( t ) ) L ( X, ) g ( t ) L ( ,X ) L ( , ) , g ( t ) =h , így ϕ ( t ) = f ( g ( t ) ) g ( t ) = f ( a+th ) L ( X, ) h X , ezért ϕ ( 0 ) = f ( a ) h . Továbbá ϕ ( t ) = [ f ( a+th ) h ] L ( X, ) h= f ( a+th ) ( h,h ) így ϕ ( 0 )= f ( a ) ( h,h ) X×X . Tovább folytatva: ϕ ( k ) ( t ) = f ( k ) ( a+th ) ( h,h,...,h ) , ezért ϕ ( k ) ( 0 ) = f ( k ) ( 0 ) ( h,h,...,h ) . ϕ ( 1 ) =ϕ ( 0 ) + ϕ ( 0 ) 1! 1+ ϕ ( 0 ) 2! 1 2 +...+ ϕ ( k ) ( 0 ) k! 1 k + ϕ ( k+1 ) ( τ ) ( k+1 ) 1 k+1 , így f ( a+h ) =f ( a ) + f ( a ) 1! h+ f ( a ) ( h,h ) 2! +...+ f ( k ) ( a ) ( h,h,...,h ) k! + f ( k+1 ) ( a+τh ) ( h,h,...,h ) ( k+1 ) , ahol 0<τ<1 . Speciális eset, mikor k=1 , X= n , f: n . Ekkor
f ( a ) = ( ( 1 f ) ( a ) , ( 2 f ) ( a ) ,..., ( n f ) ( a ) ) f ( a ) = ( ( 1 2 f ) ( a ) ( 2 1 f ) ( a ) ... ( n 1 f ) ( a ) ( 1 2 f ) ( a ) ( 2 2 f ) ( a ) ... ( n 2 f ) ( a ) )
f ( a+h ) =f ( a ) + 1 1! j=1 n ( j f ) ( a ) h j + 1 2! j,k=1 n ( j k f ) ( a+τh ) h j h k , ahol h= ( h 1 , h 2 ,..., h n ) n .

Megjegyzés: legyenek X, Y normált terek! Bebizonyítható, hogy ha f:XY és k-szor differenciálható B δ ( a ) -n, akkor a Taylor formula h <δ esetén: f ( a+h ) =f ( a ) + f ( a ) 1! h+...+ f ( k ) ( a ) ( h,h,...,h ) k! + R k , ahol R k a maradéktag, amelyre R k h k k! sup ξ B δ ( a ) f ( k ) ( ξ ) f ( k ) ( a ) .

Többváltozós függvények lokális szélsőértéke

Definíció: legyen X normált tér, f:X , és értelmezve van az aX pont egy környezetében. Azt mondjuk, hogy f-nek a-ban lokális minimuma van, ha δ>0:x B δ ( a ) f ( x ) f ( a ) . Ha x B δ ( a ) \ { a } f ( x ) >f ( a ) , akkor szigorú lokális minimumról beszélünk.

Tétel: tfh f differenciálható az a-ban és f-nek a-ban lokális szélsőértéke van (minimuma vagy maximuma), f ( a ) =0 (ahol f ( a ) L ( X, ) ).

Bizonyítás: legyen hX tetszőleges rögzített pont. Belátjuk, hogy f ( a ) L ( X, ) h=0 . Mivel f differenciálható a-ban, ezért elég kicsi t esetén f ( a+th ) f ( a ) = f ( a ) ( th ) +η ( th ) , ahol lim t0 | η ( th ) | th =0= lim t0 | η ( th ) | | t | h , ahol h 0 , ezért lim t0 | η ( th ) | | t | =0 . Ha f ( a ) h0 lenne, pl. f ( a ) h>0 (h rögzített), akkor lim t0 f ( a+th ) f ( a ) t = f ( a ) h>0 . Ekkor δ 1 >0,0<t< δ 1 f ( a+th ) f ( a ) >0 , illetve δ 2 >0, δ 2 <t<0f ( a+th ) f ( a ) <0 , ez utóbbi kettő pedig ellentmondás, merthogy szélsőérték esetén f ( a+th ) f ( a ) előjele ugyanaz kell, hogy legyen.

Definíció: legyen X normált tér, g:X×X , (folytonos) bilineáris leképezés. Azt mondjuk, hogy

Megjegyzés: ha X= n , ekkor abból, hogy g pozitív definit, következik, hogy szigorúan pozitív definit. Végtelen dimenziós vektorterekben általában ez nem igaz. Előbbi igazolása: legyen X= n , ekkor tekintsük az S 1 := { x n : | x | =1 } halmazt, ekkor ez sorozatkompakt (mert korlátos és zárt). Legyen G ( h ) :=g ( h,h ) ! Ekkor G függvény folytonos. h S 1 , így G: S 1 folytonos, S 1 sorozatkompakt, ezért G felveszi az infinimumát (minimumát), vagyis h 0 S 1 :G ( h ) G ( h 0 ) ,h S 1 . Mivel g pozitív definit, c:=G ( h 0 ) >0 , ahol h 0 0 . Ekkor xX \ { 0 } esetén g ( x,x ) =g ( x x x , x x x ) = x 2 g ( x x , x x ) c>0 c x 2 .

Megjegyzés: X= n esetén egy n × n bilineáris leképezés egy négyzetes mátrixszal adható meg, A:= ( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn ) . Ha a jk = a kj – vagyis ha a mátrix szimmetrikus –, akkor ha A összes sajátértéke nagyobb mint 0, akkor A pozitív definit, sőt, szigorúan pozitív definit.

Tétel: tfh f kétszer differenciálható az aX egy környezetében (X normált tér) és f C ( a ) .

  1. Ha f-nek a-ban lokális minimuma van f ( a ) =0 , és f ( a ) pozitív szemidefinit.
  2. Ha f ( a ) =0 és f ( a ) szigorú pozitív definit, akkor f-nek a-ban szigorú lokális minimuma van.

Bizonyítás: alkalmazzuk a Taylor formulát az f:X függvényre a 2. deriváltig. Legyen hX,t, | t | elég kicsi, ekkor f ( a+th ) =f ( a ) + f ( a ) 1! th+ f ( a+τth ) 2! ( th,th ) , ahol τ alkalmasan választott, valamilyen 0<τ<1 szám.

  1. tfh f-nek a-ban lokális minimuma van. Tudjuk, hogy ekkor f ( a ) =0 , így 0 f ( a+th ) f ( a ) t 2 = f ( a+τth ) 2! ( h,h ) = f ( a ) 2! ( h,h ) + [ f ( a+τth ) 2! f ( a ) 2! ] ( h,h ) bizbe:  0  ha  t0 f ( a ) 2! ( h,h ) , ugyanis ekkor t0 esetén a+τtha , f C ( a ) , és | 1 2 [ f ( a+τth ) f ( a ) ] ( h,h ) | 1 2 f ( a+τth ) f ( a ) 0  ha  t0  mert  f C ( a ) h,h rögz f ( a ) 2! ( h,h ) 0 .
02. 19.
  1. felhasználva, hogy f ( a ) =0 , f( a+th )f( a ) t 2 = 1 2 f ( a+τth )( h,h )= 1 2 f ( a )( h,h )+ 1 2 [ f a+τth f ( x ) ]( h,h ) . Legyen hX, h := c 1 >0 ! Egyrészt f ( a ) ( h,h ) c 2 h 2 = c 1 2 c 2 >0,hX mert f szigorú pozitív definit, másrészt | [ f ( a+τth ) f ( a ) ] ( h,h ) | f ( a+τth ) f ( a ) 0  ha  t0,  mert  f C ( a ) h 2 rögz , ami tart 0-hoz ha t tart 0-hoz, így f ( a+th ) f ( a ) t 2 = 1 2 f ( a ) ( h,h ) + 1 2 [ f ( a+τth ) f ( a ) ] ( h,h ) >0 , ha t elég kicsi.

Implicit függvénytétel

Probléma: adott egy Φ: 2 függvény. Egy Φ ( x,y ) =0 egyenlet milyen feltételek mellet határoz meg egy y=f ( x ) függvényt? Tekintsük a következő példákat!

Tétel: legyen Φ: n × -be képező függvény, amely értelmezve van és folytonos valamilyen ( a,b ) n × pont egy környezetében és Φ ( a,b ) =0 , továbbá n+1 Φ és folytonos is ( a,b ) egy környezetében, és n+1 Φ ( a,b ) 0 . Ekkor létezik az a pontnak olyan B r ( a ) , az b pontnak olyan ( bd,b+d ) környezete és f: B r ( a ) folytonos függvény, hogy { ( x,y ) :Φ ( x,y ) =0,x B r ( a ) ,y ( bd,b+d ) } = { ( x,f ( x ) ) :x B r ( a ) } .

Bizonyítás:

A tétel általánosítása Φ: n × m m függvényekre:

Tétel: tfh Φ: n × m m , Φ ( a,b ) =0 , értelmezve van ( a,b ) pont egy környezetében és itt folytonos is, továbbá yΦ ( x,y ) folytonosan differenciálható ( a,b ) valamilyen környezetében. Továbbá legyen Φ:= ( Φ 1 , Φ 2 ,..., Φ m ) . ( y 1 Φ 1 y 2 Φ 1 y m Φ 1 y 1 Φ 2 y 2 Φ 2 y m Φ 2 y 1 Φ m y 2 Φ m y m Φ m ) =:F , és tegyük fel, hogy det ( F ( a,b ) ) 0 . Ekkor ( a,b ) -nek olyan B r ( a ) × B ρ ( b ) környezete, és f: B r ( a ) B ρ ( b ) m folytonos függvény, hogy { ( x,y ) B r ( a ) × B ρ ( b ) :Φ ( x,y ) =0 } = { ( x,f ( x ) ) :x B r ( a ) } .

Tétel: tfh teljesülnek az előbbi tétel feltételei és xΦ ( x,y ) függvény is folytonosan differenciálható az a környezetében, akkor f: B r ( a ) m differenciálható.

Megjegyzés: ha tudjuk, hogy f differencálható, akkor f deriváltja kiszámolható. Φ ( x,f ( x ) ) =0 -t x B r ( a ) szerint deriválva 0= x Φ ( x,f ( x ) ) + y Φ ( x,f ( x ) ) f ( x ) f ( x ) = [ y Φ ( x,f ( x ) ) ] 1 [ x Φ ( x,f ( x ) ) ] .

Inverz függvény tétel

Tétel: legyen g: n n , mely értelmezve van és folytonosan differenciálható a b n egy környezetében, továbbá az alábbi mátrix determinánsa nem 0 a b-ben. g:= ( g 1 , g 2 ,..., g n ) , g = ( 1 g 1 2 g 1 n g 1 1 g 2 2 g 2 n g 2 1 g n 2 g n n g n ) . Legyen a:=g ( b ) . Ekkor B r ( a ) , B r ( b ) , g 1 : B r ( b ) B r ( a ) , folytonosan differenciálható függvény, hogy { ( x,y ) B r ( a ) × B r ( b ) :x=g ( y ) } = { ( x, g 1 ( x ) ) :x B r ( a ) } .

Megjegyzés: a tétel szerint a g függvénynek létezik lokális inverze, azaz g függvényt a b egy elég kis környezetére leszűkítve, létezik az inverz.

Bizonyítás: legyen Φ ( x,y ) :=xg ( y ) , ekkor Φ ( a,b ) =ag ( b ) =0 , y Φ ( x,y ) = g ( y ) és det ( g ( b ) ) 0 . Az előbbi képlet szerint [ g 1 ] ( x ) = [ g ( g 1 ( x ) ) ] 1 (mátrix inverz).

Feltételes szélsőérték

Definíció: legyen F: n × m -be képező függvény, Φ: n × m m és Φ ( a,b ) :=0 . Azt mondjuk, hogy az F függvénynek a Φ ( x,y ) :=0 feltétel mellett lokális minimuma van az ( a,b ) pontban, ha δ>0:x B δ ( a ) ,y B δ ( b ) ,Φ ( x,y ) =0 esetén F ( x,y ) F ( a,b ) .

Kérdés: milyen szükséges feltétel adható a feltételes szélsőérték létezéséhez? Az implicit függvénytétel segítségével a feltételes szélsőérték visszavezethető egy szokásos szélsőértékre (feltétel nélkülire). Feltesszük, hogy implicit függvény differenciálhatóságáról szóló tétel feltételei teljesülnek. A tétel feltételei: Φ folytonosan differenciálható ( a,b ) egy környezetében és det ( y Φ ( a,b ) ) 0 . Tfh ( a,b ) -n F-nek feltételes szélsőértéke van. Tudjuk (az implicit függvénytételből), hogy ekkor δ 1 >0: { ( x,y ) B δ 1 ( a ) × B δ 1 ( b ) :Φ ( x,y ) =0 } = { ( x,f ( x ) ) B δ 1 ( a ) } , ahol f: B δ 1 ( a ) B δ 1 ( b ) folytonosan differenciálható, δ 2 :=min { δ, δ 1 } jelöléssel x B δ 2 ( a ) esetén F ( x,f ( x ) ) F ( a,f ( a ) ) , tehát az xF ( x,f ( x ) ) függvénynek a-ben lokális minimuma van.
g ( x ) =F ( x,f ( x ) ) , g ( x ) = x F ( x,f ( x ) ) + y F ( x,f ( x ) ) f ( x ) , a lokális minimumból következik, hogy 0= g ( a ) = x F ( a,b ) + y F ( a,b ) f ( a ) f ( a ) = [ y Φ ( a,b ) ] 1 [ x Φ ( a,b ) ] , ezt az előzőbe visszahelyettesítve g ( a ) = x F ( a,b ) y F ( a,b ) [ y Φ ( a,b ) ] 1 :=λ [ x Φ ( a,b ) ] =0 . Jelölés: G( x,y )=F( x,y )+λΦ( x,y ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaam4ramaabmaabaGaamiEaiaacYcacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaeyypa0JaamOramaabmaabaGaamiEaiaacYcacaWG5baacaGLOaGaayzkaaGaey4kaSIaeq4UdWMaeuOPdy0aaeWaaeaacaWG4bGaaiilaiaadMhaaiaawIcacaGLPaaaaaa@65A4@

02. 26.

Észrevétel: 0= g ( a ) = x F ( a,b ) +λ x Φ ( a,b ) = x G ( a,b ) , másrészt λ= [ y F ( a,b ) ] [ y Φ ( a,b ) ] 1 így írható: y G ( a,b ) =λ [ y Φ ( a,b ) ] + [ y F ( a,b ) ] =0 . Ezen kívül tudjuk, hogy Φ ( a,b ) =0 .

Tétel: tfh F és Φ folytonosan differenciálható ( a,b ) egy környezetében, továbbá Φ ( a,b ) =0, y Φ ( a,b ) mátrix determinánsa nem 0. Ha F: n × n függvénynek ( a,b ) -ben lokális szélsőértéke van a Φ ( x,y ) =0 feltétel mellett, akkor a G ( x,y ) =F ( x,y ) +λΦ ( x,y ) függvényre 0= x G ( a,b ) = x F ( a,b ) +λ x Φ ( a,b ) és 0= y G( a,b )= y F( a,b )+λ y Φ( a,b ) . Itt λ= ( λ 1 , λ 2 ,..., λ m ) .

Megjegyzés: a fentiek szerint az a n , b m és λ m ismeretlenekre n+2m egyenletet nyertünk. Ennek egyértelmű megoldására van esély.

Vonalintegrál

Rövid összefoglalás a Reimann-integrálról.
Legyen f: [ a,b ] korlátos függvény! Tekintsük [ a,b ] egy véges felosztását! a:= x 0 < x 1 < x 2 <...< x k1 < x k <...< x n :=b . Legyen x k1 < ξ k < x k , ekkor definiáljuk: t ( τ ) := k=1 n f ( ξ k ) ( x k x k1 ) (ahol τ jelöli a felosztást). Az f függvényt Reimann szerint integrálhatónak nevezzük, ha t ( τ ) I , ha a felosztást minden határon túl finomítjuk. Ez azt jelenti, hogy ε>δ>0 , hogy ha a felosztás δ -nál finomabb (minden részintervallum <δ ), akkor | t ( τ ) I | <ε . Cél: röviden bizonyítjuk, hogy ha f folytonos, akkor f Reimann integrálható.
Felső összeg: S ( τ ) := k=1 n M k ( x k x k1 ) , ahol M k := sup [ x k1 , x k ] f , alsó összeg: s ( τ ) := k=1 n m k ( x k x k1 ) , ahol m k := inf [ x k1 , x k ] f .

Állítás: bármilyen τ felosztáshoz tartozó s ( τ ) alsó összeg bármely τ' felosztáshoz tartozó S ( τ' ) felső összeg.

Következmény: a felső összegek halmaza alulról korlátos, az alsó összegek halmaza felülről korlátos. Ebből következik, hogy inf τ S ( τ ) sup τ s ( τ ) .

Megjegyzés: m k f( ξ k ) M k s( τ )t( τ )S( τ ) .

Definíció: oszcillációs összeg: O ( τ ) :=S ( τ ) s ( τ ) .

Tétel: tfh f: [ a,b ] n folytonos függvény. Ekkor az O ( τ ) oszcillációs összeg tart 0-hoz, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk, azaz ε>0δ>0 , hogy ha a felosztást δ -nál finomabb, akkor 0O ( τ ) ε .

Bizonyítás: az egyenletes folytonosság tétele (Heine) szerint ( [ a,b ] korlátos és zárt, tehát sorozatkompakt) f egyenletesen folytonos. Ez azt jelenti, hogy ε>0δ>0: | x 1 x 2 | δ | f ( x 1 ) f ( x 2 ) | ε . Ezért δ -nál finomabb felosztást választva O ( τ ) =S ( τ ) s ( τ ) = k=1 n ( M k m k ) ε ( x k x k1 ) ε k=1 n ( x k x k1 ) =ε ( ba ) .

Következmény: ha f: [ a,b ] folytonos, akkor Reimann integrálható, azaz t ( τ ) I ha a felosztást finomítjuk. Ugyanis a tétel szerint tetszőleges ε>0 számhoz δ>0 , hogy ha a felosztást δ -nál finomabb, akkor 0S ( τ ) s ( τ ) <ε inf t S ( τ ) = sup τ s ( τ ) :=I . Ekkor s ( τ ) t ( τ ) S ( τ ) , | t ( τ ) I | <ε , ha τ felosztás δ -nál finomabb.

Megjegyzés: S ( τ ) és s ( τ ) is tart I-hez.

Folytonosan differenciálható út, illetve görbe, ívhossz kiszámítása

Legyen egy ϕ: [ α,β ] n folytonosan differenciálható! Ekkor azt mondjuk, hogy ϕ egy folytonosan differenciálható L utat határoz meg az n térben. t [ α,β ] ,ϕ ( t ) n , a mozgó pont a t időben a ϕ ( t ) helyen van.

Állítás: a fönt értelmezett út hossza: α β | ϕ ˙ ( t ) | dt .

Bizonyítás: a legyen α= t 0 < t 1 < t 2 <...< t k1 < t k <...< t m =β ! Az ívhossz definíció szerint a felosztáshoz tartozó törött vonal hosszának limesze, miközben a felosztást finomítjuk. A törött vonal hossza k=1 m | ϕ ( t k ) ϕ ( t k1 ) | = k=1 m | ϕ ( t k ) ϕ ( t k1 ) t k t k1 | ( t k t k1 ) = k=1 m j=1 n [ ϕ j ( t k ) ϕ j ( t k1 ) t k t k1 ] 2 ( t k t k1 ) , mely a Lagrange-féle középértéktétellel = k=1 m j=1 n ( ϕ ˙ j ( τ jk ) ) 2 ( t k t k1 ) , ahol t k1 τ jk t k . Jó lenne, ha e helyett ilyen alakú összeg lenne: k=1 m j=1 n ϕ ˙ j ( τ k ) 2 ( t k t k1 ) = k=1 m | ϕ ˙ ( τ k ) | ( t k t k1 ) , ez nem mást, mint t | ϕ ˙ ( t ) | integrál közelítő összege. Mivel ez a függvény folytonos, az integrál közelítő összeg tart az integrálhoz. Belátható, hogy a kétféle összeg különbsége tart 0-hoz, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk.

Definíció: legyen ϕ:[ α,β ] n folytonosan differenciálható, ϕ injektív, ϕ ˙ ( t ) 0,t [ α,β ] . Ekkor azt mondjuk, hogy ϕ egyszerű, folytonosan differenciálható L utat határoz meg. Ekkor Γ:= R ϕ n halmazt egyszerű, folytonosan differenciálható görbének nevezzük.

Tétel: ha ϕ és ϕ ˜ olyan [ α,β ] n MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaamWaaeaacqaHXoqycaGGSaGaeqOSdigacaGLBbGaayzxaaGaeyOKH4QaeSyhHe6aaWbaaSqabeaacaWGUbaaaaaa@5CBA@ függvények, melyek egyszerű folytonosan differenciálható utat határoznak meg és R ϕ = R ϕ ˜ , továbbá ϕ ( α ) = ϕ ˜ ( α ) és ϕ ( β ) = ϕ ˜ ( β ) , akkor α β | ϕ ˙ ( t ) | dt = α β | ϕ ˜ ˙ ( t ˜ ) | d t ˜ . Ezt nevezzük Γ= R ϕ egyszerű folytonosan differenciálható görbe ívhosszának.

Megjegyzés: ha ϕ ( α ) =ϕ ( β ) , akkor egyszerű zárt folytonosan differenciálható útról (illetve görbéről) beszélünk.

Definíció: legyen ϕ: [ α,β ] n folytonosan differenciálható! Ez meghatároz egy L folytonosan differenciálható utat. Legyen Γ:= R ϕ és f:Γ folytonos függvény. Értelmezni akarjuk az f függvénynek az x k változó szerinti vonalintegrálját. Tekintsük a következő közelítő összeget: k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) [ ϕ j ( t k ) ϕ j ( t k1 ) ] , ahol τ [ t k1 , t k ] [ α,β ] . Ha ez tart valamely I véges számhoz, miközben a felosztást finomítjuk, akkor ezt nevezzük f-nek x j szerinti vonalintegráljának, s így jelöljük: L f ( x ) d x j . Számoljuk ki a limeszt! k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) [ ϕ j ( t k ) ϕ j ( t k1 ) ] = k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) ϕ j ( t k ) ϕ j ( t k1 ) t k t k1 ( t k t k1 ) , mely a Lagrange-féle középértéktétel segítségével = k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) ϕ ˙ j ( τ k ) ( t k t k1 ) , ahol t k1 < τ k <t . Ha e helyett a következő összeg lenne, az nagyon jó volna: k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) ϕ ˙ j ( τ k ) ( t k t k1 ) α β f ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ j ( t ) dt α β ( fϕ ) ϕ ˙ j := L f ( x ) d x j . Belátható, hogy a két összeg különbsége 0-hoz tart, ha a felosztást minden határon túl finomítjuk.

Állítás: ha Γ egyszerű folytonosan differenciálható görbe, amelyet egy valamely L egyszerű folytonosan differenciálható úttal járunk be, akkor a vonalintegrál értéke független a ϕ paraméterezés megválasztásától, ha rögzítettek a kezdő és végpontok (a bejárás iránya is adott).

Definíció: ϕ: [ α,β ] n folytonosan differenciálható, L folytonosan differenciálható út, Γ= R ϕ , g:Γ n folytonos. Tekintsük k=1 m g ( ϕ ( τ k ) ) ,ϕ ( t k ) ϕ ( t k1 ) ? Ha a limesz létezik, akkor ezt így jelöljük: L gdx .

03. 05.

ϕ: [ α,β ] n folytonosan differenciálható, ekkor ez egy L folytonosan differenciálható utat határoz meg. Γ:= R ϕ n . Ha ϕ injektív és ϕ ˙ ( t ) 0 minden t-re, akkor egyszerű folytonosan differenciálható utat határoz meg, Γ -t egyszerű folytonosan differenciálható görbének nevezzük. (Ekkor a fenti integrált a Γ MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaeu4KdCeaaa@53C3@ görbén vett integrálnak nevezzük.)

  1. Legyen f:Γ folytonosan differenciálható függvény. Ekkor nevezzük a lim Δt0 k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) [ ϕ j ( t k ) ϕ j ( t k1 ) ] := L f ( x ) d x j mennyiséget f-nek j-edik változója szerinti vonalintegráljának. A felosztást finomítva a fenti közelítő összeg tart α β f ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ j ( t ) dt = α β ( fϕ ) ϕ ˙ j integrálhoz.
  2. Legyen g:Γ n folytonos függvény. Tekintsük a következő mennyiséget: k=1 m g ( ϕ ( τ k ) ) ,ϕ ( t k ) ϕ ( t k1 ) . Kérdés: ennek van-e limesze, miközben a felosztást finomítjuk? A vizsgált mennyiséget átírva: k=1 m [ j=1 n g j ( ϕ( τ k ) )( ϕ j ( t k ) ϕ j t k1 ) ] = j=1 n [ k=1 m g j ( ϕ( τ k ) )( ϕ j ( t k ) ϕ j ( t k1 ) ) ] L g j ( x )d x j = a b ( g j ϕ ) ϕ ˙ j ahol g= ( g 1 , g 2 ,..., g n ) . Felcserélve az összegzést az integrálással, a vizsgált mennyiség hatáértéke α β j=1 n ( g j ϕ ) ϕ ˙ j = α β g ( ϕ ( t ) ) , ϕ ˙ ( t ) dt=: L g ( x ) dx . Ez mennyiség elég fontos fizikai alkalmazásokban, ezért mi is sokat fogunk vele foglalkozni. Szemléletes jelentést társíthatunk hozzá, ha g ( x ) az x pontban ható erő. Ekkor az integrál értéke a görbén végigmozogva az erőtér által végzett munka.
  3. Ívhossz szerinti vonalintegrál. Az előzőhöz képest csak f:Γ a változás. Ekkor tekintsük a következő összeget: k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) | ϕ ( t k ) ϕ ( t k1 ) | . Ez mihez tart? k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) | ϕ ( t k ) ϕ ( t k1 ) | = k=1 m f ( ϕ ( τ k ) ) | ϕ ( t k ) ϕ ( t k1 ) t k t k1 | Lagrange: = ϕ ˙ ( τ k ) ( t k t k1 ) α β f ( ϕ ( t ) ) | ϕ ˙ ( t ) | dt := L f ds

Megjegyzések: mind a 3 esetben ha Γ egyszerű folytonosan differenciálható görbe, akkor a Γ -n vett integrál a paraméterezéstől függetlenül mindig ugyanaz, ha rögzítjük a kezdő és végpontokat (vagyis a bejárás irányát is megtartjuk). Célszerű értelmezni a szakaszonként folytonosan differenciálható utat (egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható görbét)

Definíció: legyen ϕ: [ α,β ] n folytonos és ϕ ˙ szakaszonként folytonos függvény, azaz legyen olyan α< α 1 <...< α l < α l+1 <...< α r =β felosztás, hogy létezzen ϕ ˙ | ( α k1 , α k ) és folytonos is k{ 1,2,...,r } -ra, és a végpontokban létezzen egyoldali határértéke. Ekkor azt mondjuk, hogy ϕ szakaszonként folytonosan differenciálható utat határoz meg. Értelmezhető az egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható út. A fenti 3 definíció és állítások átvihetők erre az esetre. Legyen Γ:= R ϕ és g:Γ n folytonos függvény. L g ( x ) dx = α β g ( ϕ ( t ) ) , ϕ ˙ ( t ) szakaszonként folytonos dt .

A vonalintegrál alaptulajdonságai

  1. Legyen ϕ: [ α,β ] n (szakaszonként) folytonosan differenciálható függvény, Γ:= R ϕ és g,h:Γ n folytonos függvények. Ekkor λ,μ esetén L ( λg+μh ) ( x ) dx =λ L g ( x ) dx +μ L h ( x ) dx
  2. Legyenek ϕ 1 : [ α,β ] n és ϕ 2 : [ β,γ ] n szakaszonként folytonosan differenciálható függvények, és legyen ϕ 1 ( β ) = ϕ 2 ( β ) . Ekkor legyen ϕ ( t ) := { ϕ 1 ( t ) t [ α,β ] ϕ 2 ( t ) t [ β,γ ] , vagyis ϕ: [ α,γ ] n . Ekkor ϕ is szakaszonként folytonosan differenciálható függvény lesz. Γ:= R ϕ illetve legyen g:Γ n függvény folytonos! Ekkor L g ( x ) dx = L 1 g ( x ) dx + L 2 g ( x ) dx
  3. Legyen ϕ: [ α,β ] n (szakaszonként) folytonosan differenciálható függvény, ez meghatároz egy L szakaszonként folytonosan differenciálható utat, Γ:= R ϕ n , g:Γ n . Ekkor | L g ( x ) dx | = | L g ( ϕ ( t ) ) , ϕ ˙ ( t ) dt | α β | g ( ϕ ( t ) ) , ϕ ˙ ( t ) | dt α β | g ( ϕ ( t ) ) | sup Γ | g | | ϕ ˙ ( t ) | dt , azaz | L g ( x ) dx | sup Γ | g | α β | ϕ ˙ ( t ) | dt = sup Γ | g | [ L  ívhossza ] .

A vonalintegrál úttól való függetlensége

Adott valamilyen Ω n tartomány (nyílt és összefüggő). Legyen f:Ω n folytonos függvény.

Kérdés: milyen feltételek mellet lesz igaz, hogy az Ω két tetszőleges pontját összekötő szakaszonként folytonosan differenciálható út mentén vett L f ( x ) dx integrálja f-nek nem függ az úttól egészében, csak annak végpontjaitól?

Tétel: tfh f:Ω n folytonos függvény és L f ( x ) dx értéke csak a kezdő és végpontoktól függ bármely Ω -ban haladó L út esetén. Legyen aΩ és ξΩ tetszőleges pontok, a rögzített. Tekintsünk egy tetszőleges, olyan Ω -ban haladó szakaszonként folytonosan differenciálható utat, amely a-t összeköti ξ -vel. (Mi az, hogy összeköti? Azt jelenti ez, hogy ϕ: [ α,β ] n , mely szakaszonként folytonosan differenciálható és ϕ ( t ) Ω,t [ α,β ] , ϕ ( α ) =a és ϕ ( β ) =ξ .) Legyen F ( ξ ) := L f ( x ) dx = a ξ f ( x ) dx . Ekkor j F ( ξ ) = f j ( ξ ) , azaz F ( ξ ) =f ( ξ ) .

Bizonyítás: legyen h \ { 0 } , h ( j ) := ( 0,0,...h,0,...,0 ) n (a j-edik komponense a h). Az a-tól a ξ+ h ( j ) -ig terjedő utat definiálja a következő függvény: ψ ( t ) := { ϕ ( t ) αtβ ( ξ 1 ,..., ξ j +tβ,..., ξ n ) βtβ+h ! Ekkor βtβ+h esetén ψ ˙ ( t ) = ( 0,...,1,...,0 ) . Ekkor F ( ξ+ h ( j ) ) F ( ξ ) h = 1 h [ a ξ+ h ( j ) f ( x ) dx a ξ f ( x ) dx ] = 1 h ξ ξ+ h ( j ) f ( x ) dx = 1 h β β+h f ( ψ ( t ) ) , ψ ˙ ( t ) dt = = 1 h β β+h f j ( ξ 1 ,..., ξ j +tβ,..., ξ n ) dt = f j ( ξ 1 ,..., ξ j +τβ,..., ξ n ) f j ( ξ 1 ,..., ξ j ,..., ξ n ) ahol τ valamilyen alkalmasan választott β<τ<β+h szám (az egyenlőség az integrálszámítás középérték tételéből következik).

Definíció: legyen f:Ω n (egyszerűség kedvéért) folytonos, Ω n tartomány. Ha Φ:Ω függvényre Φ =f , akkor Φ -t f primitív függvényének nevezzük.

Megjegyzés:

  1. ha f folytonos, akkor Φ =f az Ω -n azzal ekvivalens, hogy j Φ= f j ,j . Az állítás fordítottja is igaz, mert ha j Φ létezik és folytonos Ω -n Φ differenciálható Ω -n, f= [ 1 Φ,..., n Φ ] . (Ha j Φ létezik Ω -n Φ MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaaqIaaeaacqGHshI3aaGaeuOPdyeaaa@565C@ diffható, csak ha folytonos is j Φ,j )
  2. A fenti tétel úgy is fogalmazható, hogy ha f:Ω n folytonos függvényre L f ( x ) dx csak L kezdő és végpontjától függ, akkor f-nek létezik primitív függvénye, mégpedig F, amelyre F ( ξ ) = a ξ f ( x ) dx .
  3. Ha Φ függvény f-nek primitív függvénye Φ+c is primitív függvénye, ahol c .

Tétel: tfh f:Ω n folytonos és Φ =f (vagyis f-nek létezik primitív függvénye). Ekkor L f ( x ) dx értéke csak L kezdő és végpontjától függ, minden Ω -n haladó szakaszonként folytonosan differenciálható L út esetén.

Bizonyítás: egyszerűség kedvéért először tfh L folytonosan differenciálható, ϕ: [ α,β ] Ω folytonosan differenciálható, ϕ ( α ) =a és ϕ ( β ) =b . L f ( x ) dx = α β f ( ϕ ( t ) ) , ϕ ˙ ( t ) dt = α β j=1 n f j ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ j ( t ) dt = = α β j=1 n j Φ ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ j ( t ) dt = α β dΦ ( ϕ ( t ) ) dt dt , mely a Newton-Leibniz formula felhasználásával =Φ ( ϕ ( β ) ) Φ ( ϕ ( α ) ) =Φ ( b ) Φ ( a ) .

Tétel: legyen Ω n tetszőleges tartomány, f:Ω n folytonos függvény. Ekkor L f ( x ) dx értéke csak L-nek kezdő és végpontjától függ bármely Ω -ban haladó, szakaszonként folytonosan differenciálható L út esetén f -nek létezik primitív függvénye.

Megjegyzés: L f ( x ) dx értéke csak a kezdő és végpontoktól függ bármely szakaszonként folytonosan differenciálható zárt út mentén az integrál értéke 0.

Állítás: legyen Φ az f folytonos függvény primitív függvénye és F ( ξ ) := a ξ f ( x ) dx . Ekkor ΦF=áll az Ω -n.

Bizonyítás: az előbbi bizonyítás szerint Φ =f esetén ha ϕ ( β ) =ξ , ϕ ( α ) =a , F ( ξ ) = a ξ f ( x ) dx = α β dΦ ( ϕ ( t ) ) dt dt=Φ ( ξ ) Φ ( a ) , vagyis Φ ( ξ ) F ( ξ ) =Φ ( a ) konstans.

Kérdés: milyen jól használható feltételt tudunk mondani a primitív függvény létezésére? Tfh f:Ω n folytonosan differenciálható (vagyis k f j folytonos minden k,j -re). Ekkor Φ , hogy Φ =f , azaz f j = j Φ k f j = k ( j Φ ) , mely a Young tétel szerint = j ( k Φ ) = j f k .

Tétel: tfh f:Ω n folytonosan differenciálható függvény. Ha f-nek létezik primitív függvénye k f j = j f k az Ω -n.

Kérdés: a feltétel elegendő-e, azaz ha k f j = j f k MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaeyOaIy7aaSbaaSqaaiaadUgaaeqaaOGaamOzamaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiabg2da9iabgkGi2oaaBaaaleaacaWGQbaabeaakiaadAgadaWgaaWcbaGaam4Aaaqabaaaaa@5C8F@ , abból következik-e, hogy létezik f-nek primitív függvénye? Általában nem. Tekintsük a következő példát: Ω:= { ( x 1 , x 2 ) 2 :0< | x | <2 } . Legyen f:= ( f 1 , f 2 ) , f 1 ( x 1 , x 2 ) := x 2 x 1 2 + x 2 2 és f 2 ( x 1 , x 2 ) = x 1 x 1 2 + x 2 2 . Belátjuk, hogy 2 f 1 = 1 f 2 , ugyanis 2 f 1 ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 2 + x 2 2 ) +2 x 2 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 = x 2 2 x 1 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 . 1 f 2 ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 2 x 1 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 = x 2 2 x 1 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 , de S 1 f ( x ) dx 0 , ahol S 1 az egységkör, ami egy [ 0,2π ) 2 ,t( cost,sint ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaaKGeaeaacaaIWaGaaiilaiaaikdacqaHapaCaiaawUfacaGLPaaacqGHsgIRcqWIDesOdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccaGGSaGaamiDaiablAAiHnaabmaabaGaci4yaiaac+gacaGGZbGaamiDaiaacYcaciGGZbGaaiyAaiaac6gacaWG0baacaGLOaGaayzkaaaaaa@6999@ függvény által meghatározott út.

03. 12.

Előző óráról: L f ( x ) dx = α β f ( ϕ ( t ) ) , ϕ ˙ ( t ) dt . Azt vizsgáltuk, hogy mi volt a feltétele, hogy az integrál értéke csak a kezdő és végpontoktól függjön, azaz a=ϕ ( α ) és b=ϕ ( β ) értékektől. Azt tudtuk mondani, hogy akkor függ csak a kezdő és végpontoktól, hogyha Φ =f j Φ= f j és j Φ folytonos (minden j-re).

Tétel: tfh f : Ω &reals; n folytonosan differenciálható függvény. Ha f-nek létezik primitív függvénye k f j = j f k az Ω -n.

Kérdés: abból, hogy j f k = k f j az Ω -n, következik-e, hogy f-nek van primitív függvénye (azaz az integráljának értéke csak a kezdő és végpontoktól függ)? Általában nem. Példa: legyen Ω:= { x 2 :0<x<2 } , f 1 ( x 1 , x 2 ) := x 2 x 1 2 + x 2 2 , f 2 := x 1 x 1 2 + x 2 2 . Láttuk már, hogy 2 f 1 = 1 f 2 . Most belátjuk, hogy az egységkörvonalon az integrál értéke nem 0 (ami ellentmond annak, hogy az integrál értéke csak a kezdő és végpontokból függ, ami azt jelentené, hogy létezik f-nek primitív függvénye). ϕ= ( ϕ 1 , ϕ 2 ) , ϕ 1 ( t ) :=cost,t [ 0,2π ) , ϕ 2 ( t ) :=sint,t [ 0,2π ) . Ekkor ϕ ˙ 1 ( t ) =sint és ϕ ˙ 2 ( t ) =cost . S 1 f ( x ) dx = 0 2π f ( ϕ ( t ) ) , ϕ ˙ ( t ) dt = 0 2π [ sint cos 2 t+ sin 2 t ( sint ) + cost cos 2 t+ sin 2 t cost ] dt =2π0 .

Kvázi definíció: egy Ω 2 tartományt egyszeresen összefüggőnek nevezünk, ha tetszőleges, a tartományban levő egyszerű zárt (szakaszosan) folytonos differenciálható görbét folytonos mozgatással ponttá lehet húzni úgy, hogy végig a tartományban maradjunk.

Definíció: egy Ω n tartományt csillagszerűnek nevezzük, ha aΩ , hogy xΩ esetén az a-t x-szel összekötő egyenes szakasz végig benne van Ω -ban. (Egyenes szakasz a és x pontok között: L a,x = { a+t ( xa ) :t [ 0,1 ] } )

Tétel: legyen Ω n csillagszerű tartomány, f:Ω n folytonosan differenciálható. Ha j f k = k f j ,j,kf -nek létezik primitív függvénye.

Megjegyzés: a tétel kiterjeszthető egyszeresen összefüggő tartományokra is.

Paraméteres integrálok

Definíció: tfh f: [ a,b ] × [ c,d ] adott legalább folytonos függvény. Értelmezzük a g függvényt: g ( x ) := c d f ( x,y ) dy . Ezt nevezzük f paraméteres integráljának. Miket tud ez?

Tétel: ha fC ( [ a,b ] × [ c,d ] ) gC [ a,b ] .

Bizonyítás: legyen x 0 [ a,b ] tetszőleges rögzített! | g ( x ) g ( x 0 ) | = | c d f ( x,y ) dy c d f ( x 0 ,y ) dy | = | c d ( f ( x,y ) f ( x 0 ,y ) ) dy | c d | f ( x,y ) f ( x 0 ,y ) | dy . Mivel f folytonos, D f = [ a,b ] × [ c,d ] korlátos és zárt halmaz (ezért sorozatkompakt is), ezért f egyenletesen folytonos (Heine tétel). Véve egy tetszőleges ε>0 számot, ehhez δ>0: | ( x,y ) ( x , y ) | <δ | f ( x,y ) f ( x , y ) | <ε . Speciel x = x 0 , y =y . Tehát | x x 0 | <δ | f ( x,y ) f ( x 0 ,y ) | <ε,y [ c,d ] | g ( x ) g ( x 0 ) | ε ( dc ) .

Tétel: ha f folytonos [ a,b ] × [ c,d ] -n és 1 f az ( a,b ) × ( c,d ) -n és létezik folytonos kiterjesztése [ a,b ] × [ c,d ] -re, akkor g függvény folytonosan differenciálható [ a,b ] -n, és g ( x ) = c d 1 f ( x,y ) dy (vagyis felcserélhetjük a deriválást és az integrálást).

Bizonyítás: legyen x 0 ( a,b ) x x 0 ! g ( x ) g ( x 0 ) x x 0 = c d f ( x,y ) f ( x 0 ,y ) x x 0 dy = a Lagrange-féle középérték-tétel felhasználásával = c d 1 f ( ξ y ,y ) dy , ahol ξ y x és x 0 között van. | g ( x ) g ( x 0 ) x x 0 c d 1 f ( x 0 ,y ) dy | = | c d ( 1 f ( ξ y ,y ) 1 f ( x 0 ,y ) ) dy | c d | 1 f ( ξ y ,y ) 1 f ( x 0 ,y ) | dy 0 , mert 1 f egyenletesen folytonos.

A vonalintegrálról szóló tétel bizonyítása

Tfh Ω n csillagszerű tartomány, f:Ω n folytonosan differenciálható, továbbá j f k = k f j ,j,k -ra az Ω -n. Belátjuk, hogy f-nek van primitív függvénye. Célszerű feltétel, hogy legyen a=0 , válasszunk egy xΩ -t, ekkor L a,x = { tx:t [ 0,1 ] } . Az a-t x-szel összekötő, folytonosan differenciálható utat a következő ϕ: n függvény határozhatja meg: ϕ ( t ) :=tx,t [ 0,1 ] ,xΩ n . Legyen F ( x ) := L 0,x f ( ξ ) dξ = 0 1 f ( ϕ ( t ) ) , ϕ ˙ ( t ) dt = 0 1 ( k=1 n f k ( ϕ ( t ) ) x k ) dt = 0 1 ( k=1 n f k ( tx ) x k ) dt . Belátjuk, hogy j F ( x ) = f j ( x ) . Most F ( x ) -et differenciáljuk x j paraméter szerint. F ( x ) = k=1 n 0 1 f k ( tx ) x k dt .
jk esetén j 0 1 f k ( tx ) x k dt = 0 1 j f k ( tx ) t x k dt ,
j=k esetén k 0 1 f k ( tx ) x k dt = 0 1 [ k f k ( tx ) t x k + f k ( tx ) ] dt
Ezért j F ( x ) = 0 1 [ k=1 n j f k ( tx ) t x k + f j ( tx ) ] dt = 0 1 [ k=1 n k f j ( tx ) t x k + f j ( tx ) ] dt . Legyen g j ( t ) := f j ( tx ) t , ekkor g ˙ j ( t ) = k=1 n k f j ( tx ) x k t + f j ( tx ) , így j F ( x ) = 0 1 g ˙ j ( t ) dt = g j ( 1 ) g j ( 0 ) = f j ( x ) 0= f j ( x ) .

Komplex függvénytan

Definíció: tfh f: értelmezve van egy z 0 pont egy környezetében. Azt monjduk, hogy f differenciálható z 0 -ban, ha lim z z 0 f ( z ) f ( z 0 ) z z 0 és véges. A limeszt a valós függvények deriváláshoz hasonlóan így jelöljük: f ( z 0 ) . A komplex differenciálhatóságnak van geometriai szemléletes jelentése is. f ( z 0 ) , és a komplex számok trigonometrikus jelölésével legyen ez f ( z 0 ) :=r ( cosϕ+isinϕ ) . Tfh ez nem 0. lim z z 0 f ( z ) f ( z 0 ) z z 0 =r ( cosϕ+isinϕ ) , így z 0 környezetében | f ( z ) f ( z 0 ) z z 0 | r , másképp: | f ( z ) f ( z 0 ) | r | z z 0 | . Erre azt mondjuk, hogy f leképezés limeszben körtartó. Másrészt arg f ( z ) f ( z 0 ) z z 0 ϕ , arg [ f ( z ) f ( z 0 ) ] arg ( z z 0 ) ϕ , arg [ f ( z ) f ( z 0 ) ] ϕ+arg ( z z 0 ) , ez egy z 0 körüli ϕ szögű forgatás.

A komplex differenciálhatóság szükséges feltétele

Nézzük meg, hogy mit jelent az, hogy g komplex változós függvény differenciálható egy z pontban! Így definiáltuk: lim h0 g ( z+h ) g ( z ) h = g ( z ) . Két esetet vizsgálunk, h:= h 1 \ { 0 } az első esetben illetve h:=i h 2 , h 2 \ { 0 } a második esetben. Tehát lim h 1 0 g( z+ h 1 )g( z ) h 1 = lim h 2 0 g( z+i h 2 )g( z ) i h 2 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=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@7D70@ . Tudunk és 2 között egy bijekciót létesíteni: J: 2 ,x+iy ( x,y ) ahol x,y . Bizonyítható, hogy J lineáris bijekció. Mint definiáltuk, g: , és legyen z:= x 1 +i x 2 ahol x 1 és x 2 , továbbá g ( x 1 +i x 2 ) := g 1 ( x 1 +i x 2 ) +i g 2 ( x 1 +i x 2 ) , ahol g 1 : és g 2 : . A korábbi J bijekció alapján legyen g ˜ 1 ( x 1 , x 2 ) := g 1 ( x 1 +i x 2 ) és g ˜ 2 ( x 1 , x 2 ) := g 2 ( x 1 +i x 2 ) , így g ˜ 1 : 2 és g ˜ 2 : 2 . g(z+ h 1 )g(z) h 1 = g ˜ 1 ( x 1 + h 1 , x 2 ) g ˜ 1 ( x 1 , x 2 ) h 1 +i g ˜ 2 ( x 1 + h 1 , x 2 ) g ˜ 2 ( x 1 , x 2 ) h 1 1 g ˜ 1 ( x 1 , x 2 )+i 1 g ˜ 2 ( x 1 , x 2 ) , g(z+i h 2 )g(z) i h 2 = g ˜ 1 ( x 1 , x 2 + h 2 ) g ˜ 1 ( x 1 , x 2 ) i h 2 +i g ˜ 2 ( x 1 , x 2 + h 2 ) g ˜ 2 ( x 1 , x 2 ) i h 2 i 2 g ˜ 1 ( x 1 , x 2 )+ 2 g ˜ 2 ( x 1 , x 2 ) Ezért kell, hogy 1 g ˜ 1 = 2 g ˜ 2 , 2 g ˜ 1 = 1 g ˜ 2 legyen. Ezek a Cauchy-Riemann (parciális differenciál) egyenletek.

Cauchy-alaptétel: tfh Ω egyszeresen összefüggő és g:Ω differenciálható Ω -n. Ekkor g integrálja bármely szakaszonként folytonosan differenciálható, Ω -ban haladó egyszerű zárt görbén 0.

Bizonyítás: legyen ϕ: [ α,β ] szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, mely egy egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható zárt Γ görbét határoz meg, ϕ ( α ) =ϕ ( β ) , ϕ ( t ) Ω,t [ α,β ] . Definíció szerint Γ g ( z ) dz := α β g ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ ( t ) dt (itt az integrandus komplex értékű). ϕ ( t ) = ϕ 1 ( t ) +i ϕ 2 ( t ) (ahol ϕ 1 , ϕ 2 valós-valós függvények), g ( x 1 +i x 2 ) = g 1 ( x 1 +i x 2 ) +i g 2 ( x 1 +i x 2 ) . Ezek alapján α β g ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ ( t ) dt = α β [ g 1 ( ϕ 1 ( t ) +i ϕ 2 ( t ) ) +i g 2 ( ϕ 1 ( t ) +i ϕ 2 ( t ) ) ] [ ϕ ˙ 1 ( t ) +i ϕ ˙ 2 ( t ) ] dt . Definiáljuk ψ függvényt-t a következőképp: J ( ϕ ( t ) ) =J ( ϕ 1 ( t ) +i ϕ 2 ( t ) ) = ( ϕ 1 ( t ) , ϕ 2 ( t ) ) :=ψ ( t ) : 2 ,t ( ϕ 1 ( t ) , ϕ 2 ( t ) ) , így az előző integrálban a szorzást elvégezve Γ g ( z ) dz = α β [ g 1 ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ 1 ( t ) g 2 ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ 2 ( t ) ] dt +i α β [ g 1 ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ 2 ( t ) + g 2 ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ 1 ( t ) ] dt = = α β [ g ˜ 1 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 1 ( t ) g ˜ 2 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 2 ( t ) ] dt +i α β [ g ˜ 1 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 2 ( t ) + g ˜ 2 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 1 ( t ) ] dt .
Belátjuk, hogy mindkét tag 0.
f:= ( f 1 , f 2 ) : 2 2 . Először legyen f 1 := g ˜ 1 , f 2 := g ˜ 2 . Ekkor 2 f 1 = 2 g ˜ 1 és 1 f 2 = 1 g ˜ 2 , (a Cauchy-Riemann egyenletekből pedig) 2 g ˜ 1 = 1 g ˜ 2 , azaz 2 f 1 = 1 f 2 . Így a valós vonalintegrálokról szóló tétel szerint 0= L f ( x ) dx = α β [ f 1 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 1 ( t ) + f 2 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 2 ( t ) ] dt = α β [ g ˜ 1 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 1 ( t ) g ˜ 2 ( ψ ( t ) ) ] ϕ ˙ 2 dt . Másodszor f 1 := g ˜ 2 , f 2 := g ˜ 1 , ebből kapjuk, hogy a második integrál is 0. A Cauchy-Riemann egyenletekből most 1 g ˜ 1 = 2 g ˜ 2 illetve 2 g ˜ 1 = 1 g ˜ 2 . Ekkor 1 f 2 = 2 f 1 , így 0= L f ( x ) dx = α β [ f 1 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 1 ( t ) + f 2 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 2 ] dt = α β [ g ˜ 2 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 1 ( t ) + g ˜ 1 ( ψ ( t ) ) ϕ ˙ 2 ] dt .

Megjegyzés: a bizonyításokban felhasználtuk, hogy g folytonosan differenciálható, így felhasználtuk a valós vonalintegrálról szóló tételt és megjegyzését.

03. 19.

A Cauchy alaptétel közvetlen következményei

Tfh ϕ: [ α,β ] szakaszonként folytonosan differenciálható függvény egyszerű zárt utat határoz meg, Γ:= R ϕ egy egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differencálható görbe -n.

Tétel: egy \ Γ nyílt halmaz két összefüggő komponensből (részből) áll, a két komponens közül az egyik korlátos, a másik nem. A korlátos komponenst nevezzük Γ belsejének, a nem korlátos komponenst Γ külsejének.

Megjegyzés: a tétel állítása triviálisnak tűnhet, bizonyítása mégsem könnyű.

Tétel: legyen Γ, Γ 1 egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható görbe, legyen Γ 1 a Γ görbe belsejében. Tfh Ω ( Γ Γ 1 ( belseje ( Γ ) \ ( Γ 1 belseje ( Γ 1 ) ) ) ) , vagyis hogy Ω tartalmazza Γ, Γ 1 -t és a kettejük közötti tartományt. Legyen g:Ω differenciálható függvény. Ekkor Γ f ( z ) dz = Γ 1 f ( z ) dz .

Bizonyítás: a Cauchy alaptételt alkalmazva a Γ, Γ 2 , Γ 1 , Γ 3 utakból álló szakaszonként folytonosan differenciálható zárt görbére: 0= Γ f ( z ) dz + Γ 2 f ( z ) dz Γ 1 f ( z ) dz + Γ 3 f ( z ) dz , mely limeszben ( Γ 2 Γ 3 ) 0= Γ f ( z ) dz Γ 1 f ( z ) dz . (Az ábrán a körüljárást láthatjuk, Γ, Γ 1 irányítása azonos, óramutató járásával ellentétes irányú. Ez a bizonyítás csupán vázlatos, szemléletes.)

Tétel: legyenek Γ, Γ 1 , Γ 2 ,..., Γ k egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható görbék, Γ j belseje ( Γ ) és Γ l külseje ( Γ j ) ha lj , j,l { 0,1,...,k } . Legyen g függvény differenciálható egy olyan tartományban, mely tartalmazza Γ, Γ 1 , Γ 2 ,..., Γ k -t és belseje ( Γ ) \ ( j=1 k belseje ( Γ j ) ) -t is. Ekkor Γ f ( z ) dz = j=1 k Γ j f ( z ) dz .

Cauchy-féle integrálformula

Tétel: legyen Ω egyszeresen összefüggő tartomány és ΓΩ egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható görbe (ekkor belseje ( Γ ) Ω ) és g diffható Ω -n. Ekkor Γ belsejében fekvő bármely z esetén g ( z ) = 1 2πi Γ g ( ζ ) ζz dζ .

Bizonyítás: legyen K ρ := { ζ: | ζz | =ρ } a z középpontú, ρ sugarú körvonal. ρ -t olyan kicsinek választjuk, hogy K ρ Γ belseje lesz már. Ekkor a Cauchy alaptétel közvetlen következménye szerint Γ g ( ζ ) ζz dζ = K ρ g ( ζ ) ζz dζ , másrészt K ρ 1 ζz dζ =2πi , ugyanis ζ=z+ρcost+iρsint paraméterezés mellett ζz=ρcost+iρsint – erre valóban teljesül a K ρ = { ζ: | ζz | =ρ } kitétel –, így K ρ előáll a ϕ: [ 0,2π ] , ϕ ( t ) =z+ρcost+iρsint függvény segítségével (ekkor ϕ ( t ) =ρsint+iρcost ): K ρ = R ϕ , továbbá K ρ 1 ζz dζ = 0 2π 1 ρcost+iρsint [ ρsint+iρcost ] dt = 0 2π idt =2πi . Ezek szerint g ( z ) = 1 2πi g ( z ) 2πi= 1 2πi g ( z ) K ρ 1 ζz dζ = 1 2πi K ρ g ( z ) ζz dζ . Vizsgáljuk a következő mennyiséget: | 1 2πi K ρ g ( ζ ) ζz dζ g ( z ) | 1 2π | K ρ g ( ζ ) ζz dζ K ρ g ( z ) ζz dζ | = 1 2π | K ρ g ( ζ ) g ( z ) ζz dζ | 1 2π kerület ( K ρ ) sup ζ K ρ | g ( ζ ) g ( z ) ζz | <ε ugyanis | g ( ζ ) g ( z ) | <ε ha ρ< ρ 0 , | ζz | =ρ=állandó , kerület ( K ρ ) =2πρ , tehát | 1 2πi Γ g ( ζ ) ζz dζ g ( z ) | <ε,ε>0 1 2πi Γ g ( ζ ) ζz dζ =g ( z ) .

Cauchy-típusú integrál

Definíció: legyen Γ egyszerű (nem feltételen zárt) szakaszonként folytonosan differenciálható görbe. Legyen g:Γ folytonos függvény! Legyen G(z):= 1 2πi Γ g( ζ ) ζz dζ , ezt nevezzük Cauchy-típusú integrálnak, ha z \ Γ .

Tétel: G függvény a \ Γ nyílt halmazon akárhányszor differenciálható és G ( k ) ( z ) = k! 2πi Γ g ( ζ ) ( ζz ) k+1 dζ .

Bizonyítás: csak a k=1 esetet látjuk be, teljes indukcióval a tétel igazolható. Tehát ezt szeretnénk igazolni: G ( z ) = 1 2πi Γ g ( ζ ) ( ζz ) 2 dζ . G ( z+h ) G ( z ) h = 1 h 1 2πi [ Γ g ( ζ ) ζzh dζ Γ g ( ζ ) ζz dζ ] = 1 2πi Γ 1 h [ g ( ζ ) ζzh g ( ζ ) ζz ] dζ = = 1 2πi Γ g( ζ ) ( ζz )( ζzh ) h( ζzh )( ζz ) dζ = 1 2πi G g( ζ ) ( ζzh )( ζz ) .
Vizsgáljuk: I=| G( z+h )G( z ) h 1 2πi Γ g( ζ ) ( ζz ) 2 dζ |= 1 2π | γ g( ζ )[ 1 ( ζzh )( ζz ) 1 ( ζz ) 2 ]dζ |= MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamysaiabg2da9maaemaabaWaaSaaaeaacaWGhbWaaeWaaeaacaWG6bGaey4kaSIaamiAaaGaayjkaiaawMcaaiabgkHiTiaadEeadaqadaqaaiaadQhaaiaawIcacaGLPaaaaeaacaWGObaaaiabgkHiTmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdacqaHapaCcaWGPbaaamaapebabaWaaSaaaeaacaWGNbWaaeWaaeaacqaH2oGEaiaawIcacaGLPaaaaeaadaqadaqaaiabeA7a6jabgkHiTiaadQhaaiaawIcacaGLPaaadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaaaOGaamizaiabeA7a6bWcbaGaeu4KdCeabeqdcqGHRiI8aaGccaGLhWUaayjcSdGaeyypa0ZaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaiabec8aWbaadaabdaqaamaapebabaGaam4zamaabmaabaGaeqOTdOhacaGLOaGaayzkaaWaamWaaeaadaWcaaqaaiaaigdaaeaadaqadaqaaiabeA7a6jabgkHiTiaadQhacqGHsislcaWGObaacaGLOaGaayzkaaWaaeWaaeaacqaH2oGEcqGHsislcaWG6baacaGLOaGaayzkaaaaaiabgkHiTmaalaaabaGaaGymaaqaamaabmaabaGaeqOTdONaeyOeI0IaamOEaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaaaakiaawUfacaGLDbaacaWGKbGaeqOTdOhaleaacqaHZoWzaeqaniabgUIiYdaakiaawEa7caGLiWoacqGH9aqpaaa@A137@ = 1 2π | Γ g( ζ ) ( ζz )( ζzh ) ( ζzh ) ( ζz ) 2 dζ |= | h | 2π | Γ g( ζ ) ( ζzh ) ( ζz ) 2 dζ | | h | 2π ívhossz( Γ ) sup ζΓ 1 | ζzh | | ζz | 2 . Γ korlátos és zárt, ezért sorozatkompakt is, így a ζ | ζz | ,ζΓ folytonos függvényhez ζ 0 Γ:0< | ζ 0 z | :=2d = inf ζΓ | ζz | | ζz | 2d ha ζΓ . Ha | h | d | ζzh | d , ugyanis ζz= ( ζzh ) +h | ζz | | ζzh | + | h | | ζzh | | ζz | | h | =d . I | h | 2π ívhossz( Γ ) 1 d( 2 d 2 ) 0 MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamysaiabgsMiJoaalaaabaWaaqWaaeaacaWGObaacaGLhWUaayjcSdaabaGaaGOmaiabec8aWbaacqGHflY1ciGGTdGaaiODaiaacIgacaGGVbGaai4CaiaacohacaGG6bWaaeWaaeaacqqHtoWraiaawIcacaGLPaaadaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWGKbWaaeWaaeaacaaIYaGaamizamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaaaOGaayjkaiaawMcaaaaacqGHsgIRcaaIWaaaaa@7065@ , ha h0 . Tehát G ( z+h ) G ( z ) h 1 2πi Γ g ( ζ ) ( ζz ) 2 dζ = G ( z ) .

Spec eset: Γ egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható görbe, zbelseje ( Γ ) , g differenciálható egy Γ -t tartalmazó egyszeresen összefüggő tartományon. Ekkor g ( z ) = 1 2πi Γ g ( ζ ) ζz dζ , az utóbbi tétel szerint pedig g ( k ) ( z ) = k! 2πi Γ g ( ζ ) ( ζz ) k+1 dζ . Eszerint ha egy komplex függvény egyszer differenciálható, akkor akárhányszor differenciálható.

A primitív függvény és a vonalintegrál kapcsolata

Tétel: tfh g folytonos egy Ω tartományon, továbbá Γ g ( z ) dz vonalintegrál értéke tetszőleges Ω -ban haladó egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható görbe esetén annak csak a kezdő és végpontjaitól függ. Legyen aΩ rögzített, zΩ változó pont, Φ ( z ) := a z g ( ζ ) dζ . Ekkor Φ ( z ) =g ( z ) .

Bizonyítás: Φ ( z+h ) Φ ( z ) h = 1 h [ a z+h g ( ζ ) dζ a z g ( ζ ) dζ ] = 1 h z z+h g ( ζ ) dζ . Vizsgáljuk: | Φ(z+h)Φ(z) h g(z) |= =| 1 h z z+h g( ζ )dζ 1 h z z+h g( z )dζ |= 1 | h | | z z+h ( g( ζ )g( z ) )dζ | 1 | h | | h | sup ζL( z,z+h ) | g( ζ )g( z ) | , mely 0-hoz tart, ha | h | is.

Következmény: (Morera tétele) tfh g egy Ω tartományon értelmezett folytonos függvény, amelynek az Ω -ban haladó egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható görbéken vett integrálja csak a kezdő és végpontoktól függ. Ekkor g differenciálható Ω -n (vagyis akárhányszor differenciálható). Ugyanis előbbi tétel szerint a Φ ( z ) = a z g ( ζ ) dζ függvényre Φ differenciálható és Φ ( z ) =g ( z ) ,tehát Φ egyszer differenciálható, ezért akárhányszor, így g is akárhányszor.

03. 26.

Definíció: ha f az Ω tartomány minden pontjában differenciálható, akkor f-et holomorfnak nevezzük Ω -n.

Taylor-sorfejtés komplex függvényeken

Lemma: legyen Γ egyszerű, szakaszonként folytonosan differenciálható görbe, s legyenek f k :Γ folytonos függvények, k . Tfh a k=1 f k =f sor egyenletesen konvergens. Ekkor f is folytonos (valósban bizonyítottuk, de állítás, hogy komplexben is így van). Ekkor f ( z ) dz = k=1 f k ( z ) dz , vagyis az integrálás és az összegzés felcserélhető.

Bizonyítás: legyen ϕ: [ α,β ] , R ϕ =Γ , ϕ szakaszonként folytonosan differenciálható. Ekkor Γ f ( z ) dz = α β f ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ ( t ) és Γ f k ( z ) dz = α β f k ( ϕ ( t ) ) ϕ ˙ ( t ) , így Γ f( z ) dz= α β [ f( ϕ( t ) ) ] ϕ ˙ ( t ) dt= α β [ k=1 f k ( ϕ( t ) ) ϕ ˙ ( t ) ] szakaszonként folytonos dt= k=1 α β f k ( ϕ( t ) ) ϕ ˙ ( t ) dt= k=1 Γ f k ( z ) dz .

Egyenletes konvergencia

Weierstrass-tétele komplex függvényekre

Definíció: legyen f k :Ω, f k C ( D f k ) ,Ω tartomány. Azt mondjuk, hogy a k=1 f k =f az Ω belsejében egyenletesen konvergens, ha KΩ sorozatkompakt halmaz esetén a sor K-n egyenletesen konvergens.

Weierstrass tétele: legyen Ω tartomány, f k :Ω függvények holomorfak, továbbá k=1 f k sor a Ω belsejében egyenletesen konvergens. Ekkor

  1. f:= k=1 f k is holomorf
  2. f = k=1 f k
  3. az utóbbi sor is egyenletesen konvergens Ω belsejében

Következmény: f ( j ) = k=1 f k ( j ) is egyenletesen konvergens Ω belsejében.

Bizonyítás:

  1. egyrészt tudjuk, hogy f= k=1 f k folytonos Ω -n (hiszen a sor Ω belsejében egyenletesen konvergens). Legyen z 0 Ω rögzített pontja. Belátjuk, hogy f differenciálható z 0 egy kis K r ( z 0 ) környezetében. Vegyünk egy K r ( z 0 ) -ban haladó, egyszerű szakaszonként folytonosan differenciálható zárt Γ görbét. Belátjuk, hogy Γ f ( z ) dz =0f holomorf K r ( z 0 ) -n (Morera tétele miatt). Az előbbi lemma alapján Γ f ( z ) dz = Γ k=1 f k ( z ) Γ -n egyenl . konv . dz = k=1 Γ f k ( z ) dz =0 .
  2. a Cauchy-féle integrálformula szerint ha z a K r ( z 0 ) := { z: | z z 0 | =r } körvonal belsejében van, akkor f ( z ) = 1 2π K r ( z 0 ) f ( ζ ) ζz dζ . Ekkor f ( z ) = 1 2πi K r ( z 0 ) f ( ζ ) ( ζz ) 2 dζ = 1 2πi K r ( z 0 ) k=1 f k ( ζ ) ( ζz ) 2 dζ = k=1 1 2πi K r ( z 0 ) f k ( ζ ) ( ζz ) 2 dζ = k=1 f k ( z ) (itt is felhasználtuk a sor egyenletes konvergenciáját K r ( z 0 ) -n).

További következmény: tekintsük a k=0 c k ( z z 0 ) k hatványsort! Tfh ennek konvergencia sugara R>0 . Tudjuk, hogy | z z 0 | <R esetén a sor konvergens, ill minden R-nél kisebb sugarú, z 0 középpontú körben a hatványsor egyenletesen konvergens. Mivel f k ( z ) = c k ( z z 0 ) k holomorf függvény, és az f k függvényekből álló sor a konvergencia sugár belsejében egyenletesen konvergens, így a Weierstrass tételből következően a sor összege is holomorf, és a sor tagonként akárhányszor deriválható. Továbbá f ( z ) := k=0 c k ( z z 0 ) k , mivel a sor most is (komplex értelemben) tagonként differenciálható, ezért egyszerű számolással kapjuk: c k = f ( k ) ( z 0 ) k! .

Definíció: tfh f holomorf függvény z 0 egy környezetében. Ekkor az f függvény Taylor sorát így értelmezzük: k=1 f ( k ) ( z 0 ) k! ( z z 0 ) k .

Tétel: legyen Ω tartomány, tfh f holomorf Ω -n, z 0 Ω . Tekintsük az f függvény Taylor-sorát z 0 körül! Ekkor f ( z ) = k=0 f ( k ) ( z 0 ) k! ( z z 0 ) k , ahol z B R ( z 0 ) , B R ( z 0 ) := { z: | z z 0 | <R } az a maximális sugarú z 0 középpontú kör, amely B R ( z 0 ) Ω .

Példa: legyen f ( z ) := 1 1z , ekkor f holomorf az \ { 1 } tartományon. Fejtsük Taylor-sorba f-t a z 0 =0 körül! Ekkor 1 1z = k=1 z k . A sor | z | <1 esetén konvergens, | z | 1 esetén divergens, tehát csak akkor igaz az előbbi egyenlőség, ha | z | <1 .

Bizonyítás: legyen z B R ( z 0 ) , ekkor r-t úgy választjuk, hogy | z z 0 | <r<R . Jelöljük: K r ( z 0 ) := { z: | z z 0 | =r } . Alkalmazzuk a Cauchy- féle integrálformulát K r ( z 0 ) -ra és z-re: f ( z ) = 1 2πi K r ( z 0 ) f ( ζ ) ζz dζ . A nevező: 1 ζz = 1 ( ζ z 0 ) ( z z 0 ) = 1 ζ z 0 1 1 z z 0 ζ z 0 (ez azért jó, mert | z z 0 ζ z 0 | <1 , ugyanis | z z 0 | <r= | ζ z 0 | ). Tehát 1 ζz = 1 ζ z 0 k=0 ( z z 0 ζ z 0 ) k = k=0 ( z z 0 ) k ( ζ z 0 ) k+1 . A sor egyenletesen konvergens, ha ζ K r ( z 0 ) a Weierstrass kritérium szerint. Így f ( z ) = 1 2πi K r ( z 0 ) f ( ζ ) k=0 ( z z 0 ) k ( ζ z 0 ) k+1 dζ = k=0 ( z z 0 ) k 1 2πi K r ( z 0 ) f ( ζ ) ( ζ z 0 ) k+1 dζ := c k = k=0 c k ( z z 0 ) k . Ugyanis tudjuk, hogy f ( k ) ( z 0 ) = k! 2πi K r ( z 0 ) f ( ζ ) ( ζ z 0 ) k+1 dζ c k = f ( k ) ( z 0 ) k! .

Következmény: tfh f, g holomorf függvények Ω tartományon és z j ,j + , z j Ω \ { z 0 } :f ( z j ) =g ( z j ) , ahol lim z j = z 0 Ω . Ekkor f ( z ) =g ( z ) ,zΩ .

Bizonyítás:

  1. először belátjuk, hogy f ( z ) =g ( z ) ,z B R ( z 0 ) Ω . Fejtsük Taylor-sorba mindkét függvény, f-t és g-t is z 0 körül. f ( z ) = k=1 c k ( z z 0 ) k ,g ( z ) = k=0 d k ( z z 0 ) k , f ( z j ) =g ( z j ) , így f ( z j ) = c 0 + c 1 ( z j z 0 ) + c 2 ( z j z 0 ) 2 +... 0  ha  z j z 0 , mivel a  fC ( z 0 ) = d 0 + d 1 ( z j z 0 ) + d 2 ( z j z 0 ) 2 +... 0 =g ( z j ) c 0 = d 0 , így c 1 ( z j z 0 ) + c 2 ( z j z 0 ) 2 +..,= d 1 ( z j z 0 ) + d 2 ( z j z 0 ) 2 +... Mivel z j z 0 , ezért oszthatunk z j z 0 -lal: c 1 +c 2 ( z j z 0 ) +... folytonos 0 = d 1 + d 2 ( z j z 0 ) +... folytonos 0 c 1 = d 1 , és így tovább, tehát c k = d k ,kf ( z ) =g ( z ) ,z B R ( z 0 ) .
  2. legyen zΩ tetszőleges! Kössük össze z 0 -t és z-t egy véges sok egyenes szakaszból álló Γ törött vonallal. inf { ρ ( ζ,Ω ) :ζΓ } :=β>0 . Most z-t és z 0 -t összekötjük egy β sugarú körökből álló körlánccal, ezeken f ( z ) =g ( z ) , az egymás utáni körökön. Spec eset: g ( z ) 0 , f ( z j ) =0, z j Ω\ { z 0 } ,j + ,lim z j = z 0 Ωf ( z ) =0,z .

Definíció: legyen f holomorf függvény Ω tartományon, z 0 Ω Azt mondjuk, hogy z 0 az f függvénynek n-szeres gyöke, ha f ( z 0 ) = f ( z 0 ) =...= f ( n1 ) ( z 0 ) =0, f ( n ) ( z 0 ) 0 .

Állítás: z 0 az f-nek n-szeres gyöke f ( z ) = ( z z 0 ) n g ( z ) , ahol g holomorf z 0 egy környezetében és g ( z 0 ) 0 .

Bizonyítás:

Egész függvények, Liouville tétele

Definíció: ha f függvény holmorf -n, akkor f-t egész függvénynek nevezzük.

Liouville tétele: ha f egész függvény korlátos f állandó.

Bizonyítás: tudjuk, hogy f holomorf -n. Fejtsük Taylor-sorba z 0 =0 körül! Legyen K r := { z: | z | =r } , M r :=sup { | f ( ζ ) | , | ζ | =r } , ekkor z -re f ( z ) = k=0 c k z k , c k = f ( k ) ( 0 ) k! = 1 2πi K r f( ζ ) ζ k+1 dζ | c k |= 1 2π | K r f( ζ ) z k+1 dζ | 1 2π 2πr M r r k+1 = M r r k . Ha speciel f korlátos, M r M (r-től függetlenül), így | c k | M r k ,rk1 esetén c k =0 , f ( z ) = c 0 .

04. 02.

Az algebra alaptétele

Tétel: legyen P egy legalább elsőfokú, komplex együtthatós polinom! Ekkor mindig z 0 :P ( z 0 ) =0 .

Bizonyítás: indirekt feltesszük, hogy P( z )0,z . Ekkor 1 P holomorf függvény. Belátjuk, hogy korlátos is. P ( z ) = a n z n + a n1 z n1 +...+ a 1 z+ a 0 ,n1, a n 0 . | 1 P ( z ) | = 1 | P ( z ) | = 1 z n | a n + a n1 z 1 +...+ a 1 z n+1 + a 0 z n | | a n |  ha  z , így r , hogy | a n + a n1 z +...+ a 1 z n1 + a 0 z n | | a n | 2 ha | z | r , tehát ρ>0: | z | >ρ 1 | P ( z ) | 1 . | z | ρ esetén | 1 P ( z ) | korlátos a Weierstrass-tétel miatt, hiszen | 1 P | folytonos, a ρ sugarú kör sorozatkompakt. 1 P korlátos, másrészt holomorf (Liouvielle-tétel) 1 P =áll.P=áll. , de ez meg ellentmond annak, hogy n1 .

Az exponenciális, a szinusz és koszinusz függvények komplex változókon

(Kalkuluson szó volt az exponenciális, a szinusz és koszinusz hatványsoráról a valósban. Ezeket kaptuk: e x = k=0 x k k! ,x , a konvergencia sugár végtelen. sinx=x x 3 3! + x 5 5! ...+, illetve cosx=1 x 2 2! + x 4 4! ...+, Akkoriban lehetett volna így is definiálni a függvényeket, és az akkori definíciókat meg igazolni. Ha így tettük volna, a komplexes általánosítás könnyebb volna.)

Legyen definíció szerint e z := k=0 z k k! ,z , a konvergencia sugár ugyanaz, mint valósban, valamint sinz:=z z 3 3! + z 5 5! ...+, továbbá cosz:=1 z 2 2! + z 4 4! ...+, . A hatványsoros definíciós segítségével belátható, hogy e z 1 + z 2 = e z 1 e z 2 = k=0 z 1 k k! l=0 z 2 l l! . A sor abszolút konvergens, így szabadon cserélgethetők a szorzótényezők:. e z 1 + z 2 = n=0 ( z 1 + z 2 ) n n! = n=0 1 n! k=0 n [ ( n k ) z 1 k z 2 nk ] = n=0 [ k=0 n z 1 k k! z 2 nk ( nk )! ] , ahol felhasználtuk a binomiális tételt.

Következmény: legyen z, ( x,y ) 2 ,z:=x+iy . Ekkor e z = e x+iy = e x e iy , e iy =1+ iy 1! + ( iy ) 2 2! + ( iy ) 3 3! +...= ( 1 y 2 2! + y 4 4! ...+, ) +i ( y 1! y 3 3! + y 5 5! ...+, ) =cosy+isiny , így e z = e x ( cosy+isiny ) , valamint | e z | = e x = e ( z ) , arg e z =y= ( z ) , e iz = ( 1 z 2 2! + z 4 4! ...+, ) +i ( z 1! z 3 3! + z 5 5! ...+, ) , e iz = ( 1 z 2 2! + z 4 4! ...+, ) +i ( z 1! + z 3 3! z 5 5! +...,+ ) , így e iz + e iz 2 =1 z 2 2! + z 4 4! ...+,=cosz , valamint e iz e iz 2i = z 1! z 3 3! + z 5 5! ...+,=sinz . Ezek igazak z . Komplexben is igaz, hogy sin 2 z+ cos 2 z=1 , merthogy sin 2 z+ cos 2 z= [ e iz + e iz 2 ] 2 + [ e iz e iz 2i ] 2 = e 2iz + e 2iz +2 4 + e 2iz + e 2iz 2 4 = 2+2 4 =1 , valamint az összes többi formula, ami valósban is igaz volt (periodicitás, paritás). e z periodikus 2πi szerint, ugyanis e z+2πi = e z e 2πi = e z ( cos ( 2π ) +isin ( 2π ) ) = e z . Ami másképp van: valósban | sinx | 1 | cosx | , mert sin 2 x+ cos 2 x=1 és sin 2 x0 , cos 2 x0 , de komplexben ez így nem igaz. Megemlítendő, hogy e z 0,z , mert e z = e >0 x ( cosy+isiny ) abszolút értéke  1 .

Izolált szinguláris pontok, Laurent-sorfejtés

Definíció: ha Ω tartomány, f:Ω holomorf egy z 0 Ω pont kivételével, akkor z 0 t izolált szinguláris pontnak nevezzük. Cél: f-et szeretnénk valamilyen sorba fejteni z 0 körül.

Tfh z 0 egy izolált szinguláris pont, f holomorf a Ω:= { z:0< | z 0 z | <R } tartományon, ahol 0<R . Válasszuk r 1 , r 2 számokat: 0< r 1 < r 2 <R . zΩ esetén r 1 , r 2 megválasztható úgy, hogy 0< r 1 < | z z 0 | < r 2 <R . Nem nehéz belátni, hogy a Cauchy-féle integrálformula szerint f ( z ) = 1 2πi S r 2 f ( ζ ) ζz dζ 1 2πi S r 1 f ( ζ ) ζz dζ . ζ S r 2 esetén 1 ζz = 1 ( ζ z 0 ) ( z z 0 ) = 1 ζ z 0 1 1 z z 0 ζ z 0 = 1 ζ z 0 n=0 ( z z 0 ζ z 0 ) n = n=0 ( z z 0 ) n ( ζ z 0 ) n+1 , a sor egyenletesen konvergens ζ S r 2 esetén. Ha ζ S r 1 , 1 ζz = 1 ( ζ z 0 ) ( z z 0 ) = 1 z z 0 1 1 ζ z 0 z z 0 = 1 z z 0 m=0 ( ζ z 0 z z 0 ) m = m=0 ( ζ z 0 ) m ( z z 0 ) m+1 . Vezessük be az m+1=:nm=:n1 új indexváltozót, így 1 ζz = n=1 ( z z 0 ) n ( ζ z 0 ) n+1 . Ekkor f ( z ) = 1 2πi S r 2 f ( ζ ) n=0 ( z z 0 ) n ( ζ z 0 ) n+1 dζ + 1 2πi S r 1 f ( ζ ) n=1 ( z z 0 ) n ( ζ z 0 ) n+1 dζ = = n=0 ( z z 0 ) n 1 2πi S r 2 f ( ζ ) ( ζ z 0 ) n+1 dζ + n=1 ( z z 0 ) n 1 2πi S r 1 f ( ζ ) ( ζ z 0 ) n+1 dζ = = n= ( z z 0 ) n 1 2πi S r f ( ζ ) ( ζ z 0 ) n+1 dζ =: n= c n ( z z 0 ) n , ahol c n := 1 2πi S r f ( ζ ) ( ζ z 0 ) n+1 dζ ,0<r<R . (A Cauchy-alaptétel következménye miatt vehetünk S r 1 , S r 2 helyett S r -et.)

Tétel: tfh f holomorf az Ω:= { z:0< | z z 0 | <R } tartományon, ( 0<R ). Ekkor zΩ esetén f ( z ) = n= c n ( z z 0 ) n , ahol c n = 1 2πi S r f ( ζ ) ( ζ z 0 ) n+1 dζ . Ezt nevezzük f Laurent sorfejtésének.

Megjegyzés: a Laurent sorfejtés egyértelmű. Ugyanis nem nehéz belátni, hogy ha f ( z ) = n= c n ( z z 0 ) n = n= d n ( z z 0 ) n d n = c n . A Laurent sorfejtés egyenletesen konvergens belseje( Ω ) -n, azaz minden Ω -ban fekvő sorozatkompakt halmazon.

Az izolált szinguláris pontok osztályozása

f ( z ) = n= c n ( z z 0 ) n = n= 1 c n ( z z 0 ) n főrész + n=0 c n ( z z 0 ) n reguláris rész .

  1. Ha c n =0,n esetén, akkor z 0 megszüntethető szingularitás, f ( z 0 ) := c 0 < .
  2. Ha véges sok negatív indexű együttható nem 0, akkor z 0 -t pólusnak nevezzük (az ilyen együtthatók száma a pólus rendje).
  3. Ha végtelen sok negatív indexre az együttható nem 0, akkor z 0 -t lényeges szingularitásnak nevezzük.

Definíció: a Laurent sorfejtésben a c 1 együtthatót a függvény z 0 -beli reziduumának nevezzük. Rez z 0 f:= c 1 = 1 2πi S r f ( ζ ) dζ

Megjegyzés: S r f ( ζ ) dζ =2πi Rez z 0 f .

Reziduum-tétel: tfh f holomorf az Ω tartományon a z 1 , z 2 ,..., z k izolált szinguláris pontok kivételével. Ekkor véve olyan egyszerű zárt szakaszonként folytonosan differenciálható Γ görbét, amely Ω -ban van a belsejével együtt, z 1 , z 2 ,..., z k belseje ( Γ ) Γ f ( ζ ) dζ = 1 2πi j=1 k Rez z j f . Bizonyítás: Γ f( ζ )dζ = j=1 k S j f( ζ )dζ = j=1 k 2πiRe z z j f .

Reziduum kiszámítása pólus esetén

Tfh f függvénynek z 0 -ban m-edrendű pólusa van: f ( z ) = c m ( z z 0 ) m + c m+1 ( z z 0 ) m1 +...+ c 1 z z 0 + c 0 + c 1 ( z z 0 ) +... f ( z ) ( z z 0 ) m = c m + c m+1 ( z z 0 ) +...+ c 1 ( z z 0 ) m1 + c 0 ( z z 0 ) m + c 1 ( z z 0 ) m+1 +... Ez már hatványsor. [ d m1 d z m1 ( f ( z ) ( z z 0 ) m ) ] z= z 0 = c 1 ( m1 ) ! Rez z 0 f= c 1 = 1 ( m1 ) ! [ d m1 d z m1 ( f ( z ) ( z z 0 ) m ) ] z= z 0 .

Állítás: az f függvénynek z 0 -ban m-edrendű pólusa van g ( z ) :=f ( z ) ( z z 0 ) m holomorf és g ( z 0 ) 0 . Ugyanis f( z ) ( z z 0 ) m = c m 0 + c m+1 ( z z 0 )+...

Állítás: ha h holomorf függvény z 0 -ban és h-nak z 0 -ban m-szeres gyöke van, akkor az f= 1 h függvénynek a z 0 -ban m-edrendű pólusa van.

Bizonyítás: h ( z ) = ( z z 0 ) m h 1 ( z ) , h 1 ( z 0 ) 0 , h 1 holomorf. f ( z ) = 1 h ( z ) = 1 ( z z 0 ) m h 1 ( z ) , g ( z ) :=f ( z ) ( z z 0 ) m = 1 h 1 ( z ) holomorf, g ( z 0 ) = 1 h 1 ( z 0 ) 0 .

A reziduum kiszámításának két egyszerű esete:

  1. tfh h-nak z 0 -ban egyszeres gyöke van, vagyis h ( z ) = ( z z 0 ) h 1 ( z ) , h 1 ( z 0 ) 0 . f= 1 h -nak z 0 -ban elsőrendű pólusa van. m=1 esetre Re z z 0 f= [ f( z )( z z 0 ) ] z= z 0 = [ z z 0 h( z ) ] z= z 0 = lim z z 0 z z 0 h( z ) = lim z z 0 z z 0 h( z ) h( z 0 ) 0 = lim z z 0 1 h( z )h( z 0 ) z z 0 = 1 h ( z 0 ) 0 .
  2. tfh f=ϕψ , ahol ϕ holomorf z 0 -ban, viszont ψ -nek elsőrendű pólusa van itt. Rez z 0 f=? ϕ ( z ) = c 0 + c 1 ( z z 0 ) + c 2 ( z z 0 ) 2 +... , ψ= d 1 z z 0 + d 0 + d 1 ( z z 0 ) + d 2 ( z z 0 ) 2 +... , így f(z)=ϕ(z)ψ(z)= c 0 d 1 z z 0 +( c 0 d 0 + c 1 d 1 )+( c 2 d 1 + c 1 d 0 + c 0 d 1 )(z z 0 )+... , Rez z 0 f= c 0 d 1 =ϕ( z 0 ) Rez z 0 ψ .

Alkalmazás: a reziduum tétel alkalmazása a (valós) improprius integrálok kiszámítására

cosx 1+ x 2 dx = cosx+isinx 1+ x 2 dx = e ix 1+ x 2 dx . z e iz 1+ z 2 izolált szingularitás z=±i -ben, máshol holomorf.

04. 16.

e ix 1+ x 2 dx = lim R R R e ix 1+ x 2 dx . Legyen Γ R az S R -rel jelölt félkörvonal és a [ R,R ] intervallum egymásutánja, ekkor Γ R e iz 1+ z 2 dz = R R e iz 1+ z 2 dz + S R e iz 1+ z 2 dz , tehát lim R R R e ix 1+ x 2 dx = lim R ( Γ R e iz 1+ z 2 dz S R e iz 1+ z 2 dz ) A reziduum tétel alapján Γ R e iz 1+ z 2 dz =2πi Rez i ( z e iz 1+ z 2 ) . A reziduum kiszámításához vegyük észre, hogy e iz 1+ z 2 f = e iz ϕ 1 1+ z 2 ψ Rez i ( ϕψ ) =ϕ ( i ) Rez i ( ψ ) =ϕ ( i ) . 1 h ( i ) , ahol h ( z ) =1+ z 2 , így Re z i (f)= e 1 1 2i Γ R e iz 1+ z 2 =2πi 1 e2i = π e .
Most belátjuk, hogy lim R S R e iz 1+ z 2 =0 . A számítás során felhasználjuk, hogy | e iz | = e ( iz ) 1 , és hogy | 1+ z 2 || z 2 |1= | z | 2 1 . | S R e iz 1+ z 2 dz | πR sup z S R | e iz 1+ z 2 | πR 1 | z | 2 1 =πR 1 R 2 1 0 , ha R , így e ix 1+ x 2 dx = lim R R R e iz 1+ z 2 dz = π e .

Komplex függvények inverze

Először az ún. lokális inverz létezését vizsgáljuk.

Állítás: tfh f holomorf a z 0 pont egy környezetében.

Megjegyzés: abból, hogy f'( z )0,zΩ f injektív. Például nézzük az f ( z ) = e z függvényt, mely 2πi szerint periodikus, vagyis f ( z+2πi ) =f ( z ) . Ez a függvény tehát nem injektív, pedig f'( z )=( e z )'= e z 0,z .

Állítás: az f ( z ) = e z függvény injektív az Ω:= { z=x+iy:x,0y<2π } -n és R f = \ { 0 } .

Bizonyítás: legyen w \ { 0 } és e z =w . z=x+iy e z = e x+iy = e x ( cosy+isiny ) , valamint w=r e iϕ =r ( cosϕ+isinϕ ) , ahol r= | w | , [ 0,2π ) ϕ=argw . e x =r= | w | x=ln | w | , y=ϕ=argw , tehát e z =wz=x+iy=ln | w | +iargw .

Az előbbiek alapján szeretnénk definiálni a természetes alapú logaritmust a komplex számokon.

Definíció: w \ { 0 } esetén legyen logw:=ln | w | +iargw . (A logaritmus függvény értelmezhető minden olyan tartományon, ahol az argumentum egyértelműen értelmezhető. Mivel log ( z ) =lnz , ha z tisztán valós, olykor logz helyett lnz jelölést használjuk, még ha z nem is tisztán valós.)

Konform leképezések

Definíció: legyen Ω tartomány. Ha f:Ω holomorf és f' ( z ) 0,zΩ , akkor f-t konform leképezésnek nevezzük.

Konform leképezések alaptétele: legyen Ω egyszeresen összefüggő tartomány, melynek legalább 2 határpontja van. Ekkor létezik egyetlen f konform leképezés, amely Ω -t a egységkörére képezi injektív módon úgy, hogy egy adott z 0 Ω pontra f ( z 0 ) =0 , arg f' ( z 0 ) =ϕ adott.

Példa: félsík konform leképezése az egységkörre. Ω:= { z: ( z ) >0 } , K 1 := { w: | w | <1 } . f ( z ) := z z 0 z z 0 ¯ e iϕ , ahol a felülvonás a komplex konjugálás. Láthatjuk, hogy f holomorf Ω -n, és ( z ) >0 miatt | z z 0 | | z z 0 ¯ | <1 z z 0 z z 0 ¯ K 1 w K 1 . Ha ( z ) =0 , akkor | z z 0 z z 0 ¯ | =1 , ha ( z ) <0 | z z 0 z z 0 ¯ | >1 , vagyis ekkor w a K 1 -en kívül van.

Alkalmazás áramlástani feladatokra

Síkbeli az áramlás, ha az áramlás sebessége egy ( x,y ) 2 pontban ( u ˜ ( x,y ) , v ˜ ( x,y ) ) , ahol u ˜ ( x,y ) :=u ( x+iy ) , v ˜ ( x,y ) :=v ( x+iy ) , w ˜ ( x,y ) := ( u ˜ ( x,y ) , v ˜ ( x,y ) ) , w ( x+iy ) :=u ( x+iy ) +iv ( x+iy ) , w ¯ ( x+iy ) =u ( x+iy ) iv ( x+iy ) .

Bizonyos fizikai feltételek teljesülése esetén az áramlás divergencia- és rotációmentes, vagyis 0=div w ˜ := u ˜ x + v ˜ dy és 0=rot w ˜ = v ˜ x u ˜ y . A w ¯ függvényre teljesülnek a Cauchy-Reimann parciális differenciálegyenletek w ¯ holomorf függvény ( u ˜ és v ˜ folytonosan differenciálható). A w ¯ függvénynek létezik primitív függvénye, f' ( z ) := w ¯ , F:=f+ig . Ekkor F = w ¯ =uiv F = f x +i g x } u= f x , v= g x . Mivel F holomorf, ezért F-re is teljesülnek a C-R egyenletek: f x = g y , f y = g x u= f x = g y ,v= g x = f y . A fizikában f-et a sebesség potenciáljaként definiáljuk. Belátjuk, hogy g az áramvonalak mentén állandó. Áramvonal: olyan ( ϕ,ψ ) : [ α,β ] 2 folytonosan differenciálható görbe, melynél ( ϕ ˙ ( t ) , ψ ˙ ( t ) ) ( u ˜ ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) , v ˜ ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) ) , t [ α,β ] , vagyis melynél a görbe érintővektora párhuzamos a helyi sebességvektorral. Ekkor
u ˜ ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) =λ ( t ) ϕ ˙ ( t ) / ψ ˙ ( t ) v ˜ ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) =λ ( t ) ψ ˙ ( t ) / ϕ ˙ ( t ) u ˜ ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) ψ ˙ ( t ) v ˜ ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) ϕ ˙ ( t ) =0
A C-R egyenletekből következőket felhasználva, majd a közvetett függvény deriválására vonatkozó összefüggésből g ˜ y ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) ψ ˙ ( t ) + g ˜ x ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) ϕ ˙ ( t ) =0 d dt [ g ˜ ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) ] =0 , tehát a t g ˜ ( ϕ ( t ) ,ψ ( t ) ) függvény állandó.

Lebesgue-integrál

A Reimann integrál hátrányai:

Definíció: legyen I valamilyen n -beli intervallum, azaz I:= I 1 × I 2 ×...× I n , ahol I j = [ a j , b j ] egydimenziós intervallumok. Ekkor az I Lebesgue mértéke: λ ( I ) :=λ ( I 1 ) λ ( I 2 ) ...λ ( I n ) , ahol λ ( I j ) = b j a j .

Definíció: egy A n halmazt nullmértékűnek nevezünk, ha ε>0 szám esetén az A halmaz lefedhető megszámlálhatóan (véges vagy végtelen) sok intervallummal úgy, hogy azok mértékének összege ε , vagyis A k=1 I k , I k n , k=1 λ ( I k ) ε .

Példák:

  1. minden megszámlálhatóan (véges vagy végtelen) sok pontból álló halmaz n -ben nullmértékű. Legyen ε>0 tetszőleges. Az i-edik pontot lefedjük egy I i kis intervallummal úgy, hogy mértéke ε 2 i legyen, tehát az első pontot például egy ε 2 mértékű intervallummal. Mivel k=1 ε 2 k =ε , így az említett halmaz valóban nullmértékű
  2. 2 -ben egy egyenes szakasz nullmértékű, ugyanis lefedhető tetszőlegesen kis magasságú téglalappal
  3. 2 -ben minden egyenes is nullmértékű.
    Ehhez belátjuk, hogy megszámlálhatóan végtelen sok nullmértékű halmaz uniója is nullmértékű: A:= j=1 A j , ekkor az első ponthoz hasonlóan A j -t befedjük egy legfeljebb ε 2 j mértékűvel, vagyis A 1 -t egy legfeljebb ε 2 -vel, A 2 -t egy legfeljebb ε 2 2 -tel... Így felhasználva ismét a k=1 ε 2 k =ε összefüggést, láthatjuk, hogy az említett halmaz valóban nullmértékű.
04. 23.

Tehát láttuk, hogy 2 -ben megszámlálhatóan sok nullmértékű halmaz unója is nullmértékű. De ez nem csak 2 -ben igaz, az érvelés hasonló általános esetben. Legyen A j nullmértékű, belátjuk, hogy j=1 A j nullmértékű.
A 1 k=1 I 1,k , k=1 λ ( I 1,k ) ε 2 A 2 k=1 I 2,k , k=1 λ ( I 2,k ) ε 2 2 A j k=1 I j,k , k=1 λ ( I j,k ) ε 2 j
Ezek az I j',k intervallumok megszámlálhatóan végtelen sokan vannak, mert sorba rendezhetjük őket (táblázatba rendezve őket, az átlók mentén a sorrend: I 1,1 , I 1,2 , I 2,1 , I 1,3 , I 2,2 , I 3,1 ), ekkor pedig j'=1 ε 2 j' =ε miatt az unió is nullmértékű.

Előző órán láttuk, hogy 2 -ben egy egyenes nullmértékű, ugyanis megszámlálhatóan végtelen sok nullmértékű halmaz uniója. Hasonlóan, 3 -ben egy sík nullmértékű...

Lépcsős függvények integrálja

Definíció: legyen f: n olyan függvény, hogy véges sok intervallumban nem 0 állandó, máshol 0. Ekkor f-t lépcsős függvénynek nevezzük.

Definíció: legyen f lépcsős függvény, mely az I k intervallumon c k -val egyenlő. Ekkor f := k=1 c k λ ( I k ) . Belátható, hogy a definíció egyértelmű.

A lemma Legyen ( f j ) lépcsős függvények monoton csökkenő sorozata, amelyre lim j f j ( x ) =0,x { \A } , ahol A nullmértékű halmaz. Ezt úgy mondjuk, hogy a limesz majdnem x-re vagy majdnem mindenütt 0. Ekkor az integrálok lim j f j =0 sorozata . (Bizonyítás nélkül.)

B lemma Legyen ( f j ) lépcsős függvények egy monoton növő sorozata, amelyre az integrálok sorozata f j felülről korlátos, f j C,j lim f j véges. Ekkor majdnem minden x n pontra lim j f j ( x ) is véges.

Bizonyítás: legyen M 0 := { x n : lim j f j ( x ) = } ! Ekkor belátandó, hogy M 0 nullmértékű. Tetszőleges rögzített ε>0 esetén legyen M ε,j := { x n : f j ( x ) > C ε } ! Mivel ( f j ) monoton növő, ezért M ε,1 M ε,2 M ε,3 M ε,N = j=1 N M ε,j . Jelöljük: M ε := { x n :j: f j ( x ) > C ε } . Ekkor M ε = j=1 M ε,j , M 0 M ε ,ε>0 . M ε,j véges sok diszjunkt intervallum egyesítése, melyek mértékének összege ε,j , mert ha nem így lenne, akkor az f j >ε C ε =C ellentmondásra vezetne. Tehát M ε = j=1 M ε,j megszámlálhatóan végtelen sok intervallum uniója, M ε,1 M ε,2 ...λ ( M ε,1 ) λ ( M ε,2 ) ...ελ ( M ε ) =λ ( j=1 M ε,j ) ε . M 0 M ε ,ε>0 M 0 nullmértékű.

Definíció: jelölje C 1 az olyan f: n függvények összességét, amelyekhez léteznek lépcsős függvények monoton növekedő olyan ( f j ) sorozata, hogy f ( x ) = lim j f j ( x ) majdnem minden x-re és ( f j ) sorozat felülről korlátos lim f j < .

Megjegyzés: tfh f C 1 . Ekkor az f -t így szeretnénk értelmezni: f := lim j f j . Kérdés:

  1. egy ilyen definíció egyértelmű lenne-e, vagyis függ-e az ( f j ) sorozat megválasztásától?
  2. Ha spec. f lépcsős függvény, akkor a régi és az új definíció azonos-e?

Tétel: legyenek f,g C 1 , fg , ( f j ) és ( g j ) lépcsős függvények monoton sorozata úgy, hogy lim ( f j ) =f , lim ( g j ) =g , továbbá f j és g j korlátos. Ekkor lim f j lim g j .

Bizonyítás: jelöljük egy h: n függvény pozitív illetve negatív részét: h + ( x ) := { h ( x ) ha  h ( x ) >0 0 ha  h ( x ) 0 , h ( x ) := { h ( x ) ha  h ( x ) <0 0 ha  h ( x ) 0 . Tekintsük rögzített j esetén a következő függvénysorozatot: ( f j g k ) k . Mivel ( g k ) monoton növő, ( f j g k ) k monoton csökkentő függvénysorozat. lim k ( f j g k ) = f j g majdnem mindenütt. Mivel ( f j ) monoton növő és lim ( f j ) =f majdnem mindenütt f j fg f j g , vagyis f j g0 majdnem mindenütt. lim k ( f j g k ) = f j g0 . Tekintsük ( f j g k ) k + -t, ez is lépcsős függvénysorozat, ez is monoton csökkenő, lim k ( f j g k ) + = ( f j g ) + =0 majdnem mindenütt. Alkalmazzuk az A lemmát az ( f j g k ) k + sorozatra lim k ( f j g k ) + =0 . Nyilván h h h + f j g k ( f j g k ) + ( f j g k ) ( f j g k ) + f j g k ( f j g k ) + . Ekkor k esetre f j lim k0 g k 0 f j lim k g k ,j , ezért lim j f j lim k g k .

Következmények:

  1. Ha f=g C 1 és ( f j ) és ( g j ) lépcsős függvények monoton növekedő sorozata, amelyekre lim ( f j ) =f majdnem mindenütt és lim ( g j ) =g majdnem mindenütt, akkor lim f j =lim g j . Most már lehet definiálni: f :=lim f j , ahol f C 1 .
  2. Ha f spec. lépcsős függvény, akkor a régi és az új integrál definíciója azonos, ugyanis választható f j =f -nek.
  3. f,g C 1 és fg f g .

Az integrál tulajdonságai C 1 -ben

  1. Ha f,g C 1 ( f+g ) C 1 és ( f+g ) = f + g .
  2. Tfh f C 1 ,λ0 állandó λf C 1 és λf =λ f .
  3. Ha f C 1 f + C 1 , f C 1 .

Bizonyítás:

  1. Definíció szerint ( f j ) és ( g j ) monoton növekedő lépcsős függvénysorozatok, melyekre lim ( f j ) =f majdnem mindenütt, lim ( g j ) =g majdnem mindenütt és f =lim f j valamint g =lim g j . ( f j + g j ) lépcsős függvények monoton növő sorozata, lim ( f j + g j ) =f+g . lim ( f j + g j ) =lim [ f j + g j ] =lim f j +lim g j ( f+g ) =lim f j +lim g j = f + g .
  2. f C 1 ( f j ) lépcsős függvények monoton növő sorozata, hogy lim ( f j ) =f majdnem mindenütt. Ekkor lim f j = f ( λ f j ) lépcsős függvények monoton sorozata, lim λ f j =λlim f j =λ f λf =λ f .
  3. ( f j ) f monoton növekvő, ( f j + ) f + monoton növekvő, és ( f j ) f szintén

Definíció: ( fg ) ( x ) :=max { f ( x ) ,g ( x ) } , ( fg ) ( x ) :=min { f ( x ) ,g ( x ) } .

Állítás: ha f,g C 1 ( fg ) C 1 , ( fg ) C 1 .

Integrálás a C 2 osztályában

Definíció: ha f= f 1 f 2 , ahol f 1 , f 2 C 1 , akkor f C 2 . Ekkor legyen f := f 1 f 2 .

Állítás: az integrál definíciója egyértelmű.

Bizonyítás: legyen f= f 1 f 2 = g 1 g 2 , ahol f 1 , f 2 , g 1 , g 2 C 1 . f 1 f 2 = g 1 g 2 ugyanis f 1 + g 2 = g 1 + f 2 , mert f 1 + g 2 = g 1 + f 2 f 1 + g 2 = g 1 + f 2 .

A C 2 -beli integrál tulajdonságai:

  1. ha f,g C 2 f+g C 2 és f+g = f + g
  2. f C 2 ,λλf C 2 és λf =λ f
  3. f,g C 2 , fg f g
  4. Ha f C 2 , akkor egy nullmértékű halmazon megváltoztatva szintén továbbra is C 2 marad, és az integrál értéke nem változik
  5. Ha f C 2 f + , f , | f | C 2 .
  6. Ha f C 2 | f | | f | .
  7. Legyen f C 2 , ekkor ( f j ) lépcső függvényekből álló sorozat (nem feltétlen monoton), hogy ( f j ) f majdnem mindenhol és f j f

Bizonyítás:

  1. f= f 1 f 2 , g= g 1 g 2 , ahol f 1 , f 2 , g 1 , g 2 C 1 f+g= ( f 1 + g 1 ) C 1 ( f 2 + g 2 ) C 1 , ( f+g ) = ( f 1 + g 1 ) ( f 2 + g 2 ) = [ ( f 1 ) + ( g 1 ) ] [ ( f 2 ) + ( g 2 ) ] = = ( f 1 f 2 ) + ( g 1 g 2 ) = f + g
  2. f= f 1 f 2 , f 1 C 1 , ekkor λf=λ f 1 λ f 2 . Ha λ0 , akkor λf= λ f 1 C 1 λ f 2 C 1 . Ha λ<0λf= ( λ ) >0 f 2 ( λ ) >0 f 1 .
  3. fggf0 . Azt kellene igazolni, hogy ekkor ( gf ) =h 0 . h0 , h:= h 1 h 2 , h j C 1 h 1 h 2 h 1 h 2 h 1 h 2 0 h 0 .
  4. f= f 1 f 2 , f j C 1 . | f | = ( f 1 f 2 ) C 1 ( f 1 f 2 ) C 1 . f + = ( f 1 f 2 ) f 2 , f = ( f 1 f 2 ) C 1 f 1 C 1
  5. | f | f | f | | f | f | f | .
  6. f C 2 g,h:f=gh , ahol g,h C 1 ( g j ) (monoton növő) lépcsős függvénysorozat, hogy ( g j ) g majdnem mindenütt és lim g j = g továbbá ( h j ) (monoton növő) lépcsős függvénysorozat, hogy ( h j ) h majdnem mindenütt és lim h j = h lim ( g j h j ) :=lim ( f j ) =gh=f majdnem mindenütt, lim( g j h j ) = ( lim g j lim h j ) =lim g j lim h j = g h = f .

Állítás: ha f,g C 2 ( fg ) C 2 , ( fg ) C 2 .

Bizonyítás: fg= ( fg ) + C 2 + g C 2 , fg= f C 2 ( fg ) + C 2

Beppo Levi tétele (monoton sorozatokból, illetve nemnegatív tagú sorokról)

  1. Tfh f j C 2 (integrálható), ( f j ) monoton nő és lim f j véges ( f j felülről korlátos). Ekkor f ( x ) :=lim ( f j ( x ) ) véges majdnem minden x-re, továbbá f is integrálható, f =lim f j .
  2. Sorokra: tfh g j C 2 , g j 0 és j=1 g j < . Ekkor majdnem minden x-re C 2 f ( x ) := j=1 g j ( x ) < (a sor konvergens) és f = j=1 g j .

A két állítás egymással ekvivalens, ugyanis legyen f k := k=1 k g j . Az f k monoton nő g j 0 , lim f k =lim j=1 k g j =lim j=1 k g j . A sorokra vonatkozó formáját fogjuk bizonyítani.

04.30

Beppo Levi tételének bizonyítása

Két részre bontjuk a bizonyítást, első részben g j C 1 .
Ez azt jelenti, hogy h j k : lim k ( h j k ) = g j majdnem mindenütt, ahol h j k lépcsős függvények, monoton nőnek, továbbá g j = lim k h j k . Mivel g j 0 , ezért feltehető, hogy h j k 0 , ugyanis h j k helyett választhatnánk a h j k + függvényeket is. 5let: jelöljük H k := j=1 k h j k , ekkor H k is lépcsős függvény és ( H k ) monoton növő sorozat, ugyanis H k+1 = j=1 k+1 h j k+1 j=1 k h j k+1 j=1 k h j k = H k , továbbá h j k g j , mert ( h j k ) k monoton növőleg tart g j -hez. H k = j=1 k h j k G k := j=1 k g j H k G k = j=1 k g j = j=1 k g j j=1 g j < . Alkalmazzuk a B lemmát a ( H k ) sorozatra. Eszerint H:lim ( H k ) =HH C 1 majdnem mindenütt, és H =lim H k . Legyen m>k , ekkor H m = j=1 m h j m j=1 k h j m . Ha most m , akkor H m H, h j m g j majdnem mindenütt, így H j=1 k g j = G k . Tehát H k G k H . Ha most k , akkor H k H , így G k H . lim k j=1 k g j ( x ) =H ( x ) =:f ( x ) , vagyis j=1 g j ( x ) =f ( x ) . H C 1 f C 1 . H k G k H H k G k H , ahol H k H , így G k H = f . j=1 k g j = j=1 k g j f .

Most a második része a bizonyításnak: általános estben vizsgálódunk, mikor g j C 2 . Észrevétel: ε>0ϕ C 2 ϕ 1 , ϕ 2 C 1 :ϕ= ϕ 1 ϕ 2 , ϕ 2 0, ϕ 2 ε . Ugyanis tetszőleges ϕ C 2 esetén ϕ előállítható ϕ= ϕ 1 ϕ 2 formában, ahol ϕ 1 , ϕ 2 C 1 . Mivel ϕ 2 C 1 , ezért ( ψ k ) monoton növő lépcsős függvény sorozat, amelyre lim ( ψ k ) = ϕ 2 majdnem mindenütt , lim ( ψ k ) = ϕ 2 . ϕ 2 ψ k ϕ 2 ψ k 0,k . ε>0 k 0 : ( ϕ 2 ψ k 0 ) ε . Így ϕ= ( ϕ 1 ψ k 0 ) C 1 ( ϕ 2 ψ k 0 ) 0, C 1 , ( ϕ 2 ψ k 0 ) ε .

Alkalmazzuk tehát az észrevételt g j C 2 függvényekre: g j = g j,1 g j,2 , ahol g j,1 , g j,2 C 1 és g j,2 0 , g j,2 1 2 j . Tehát g j,2 0 , g j,2 C 1 , j=1 g j,2 j=1 1 2 j < . A g j,2 tagokból álló sorra alkalmazható a bizonyítás első része, így j=1 g j,2 ( x ) := g 2 * ( x ) konvergens majdnem minden x-re, g 2 * C 1 , g 2 * = j=1 g j,2 . Másrészt g j,1 = g j + g j,2 0 , g j,1 C 1 . g j,1 = g j + g j,2 , így j=1 g j,1 = j=1 g j + j=1 g j,2 , ezért a g j,1 tagokból álló sorra is alkalmazható a bizonyítás első része j=1 g j,1 ( x ):= g 1 * ( x ) konvergens majdnem minden x-re, g 1 * C 1 , g 1 * = j=1 g j,1 , így j=1 g j = j=1 ( g j,1 g j,2 )= g 1 * g 2 * =:f konvergens majdnem minden x-re és f C 2 , mert g 1 * C 1 és g 2 * C 1 ; továbbá f = j=1 g j .

Következmények (a vizsgán a tételek következményei legalább oly fontosak, mint a bizonyítások):

  1. tfh f j C 2 , ( f j ) monoton nő, lim ( f j ) =f majdnem mindenütt, ahol f C 2 , ekkor f =lim f j . Ugyanis a feltevésekből következik, hogy f j f f j f , így a Beppo-Levi tétel miatt f =lim f j .
  2. tfh g j C 2 , g j 0 , j=1 g j =f majdnem mindenütt, vagyis konvergens, ahol f C 2 . Ekkor f = j=1 g j . (A részletösszegekre alkalmazzuk az 1-t.)
  3. ha g j C 2 , de nem teszem fel róluk, hogy nemnegatívak, de j=1 | g j | < majdnem minden x-re j=1 g j ( x ) =f ( x ) , vagyis a sor majdnem mindenütt konvergens, ahol f C 2 , f = j=1 g j .
    Bizonyítás: | g j | g j g j g j + | g j | g j + | g j | , j=1 g j + < . g j | g j | ( g j ) | g j | j=1 ( g j ) j=1 | g j | < . A Beppo Levi tétel alkalmazható g j + , illetve a ( g j ) tagokból álló sorra. Tehát lim k j=1 k ( g j ) := f és lim k j=1 k g j + := f + , így g j = g j + + g j j=1 g j = j=1 ( g j + + g j ) = j=1 g j + + j=1 g j = f + + f :=f , valamint f = ( f + f + ) = ( j=1 g j + j=1 g j + ) = j=1 g j + j=1 g j + .
  4. ha f C 2 , f0 , f =0f=0 majdnem mindenütt.
    Bizonyítás: alkalmazzuk a Beppo Levi tételt g j :=f j -re: g j 0 , g j C 2 , g j = f =0 j=1 g j =0 j=1 g j ( x ) f ( x ) konvergens majdnem minden x-re f ( x ) =0 majdnem minden x-re.

Lebesgue tétel

Kérdés: ha f j C 2 , lim ( f j ) =f majdnem mindenütt, akkor igaz-e, hogy f C 2 , f =lim f j .
Válasz: általában nem, de más megszorítást alkalmazva már igen.

Példák:

  1. f j ( t ) = ( j+1 ) t j ,t [ 0,1 ] ,j . Ekkor lim j f j ( t ) = { 0 ha  t [ 0,1 ) ha  t=1 , vagyis lim f j =0 majdnem mindenütt a [ 0,1 ] intervallumon. lim j 0 1 f j ( t ) = [ t j+1 ] 0 1 =1 0 1 lim j f j ( t ) =0 .
  2. f j ( t ) = ( j+1 ) 2 t j ,t [ 0,1 ] ,j , ekkor megint lim f j =0 majdnem mindenütt, de 0 1 f j ( t ) = ( j+1 ) .

Tétel (Lebesgue tétel): tfh f j C 2 , lim f j =f majdnem mindenütt, g C 2 : | f j ( x ) | g ( x ) majdnem minden x-re, j . Ekkor f C 2 és f =lim f j .

Bizonyítás: jelöljük: h j ( x ) :=sup { f j ( x ) , f j+1 ( x ) ,... } = k=j f k ( x ) . Mivel lim j f j ( x ) =f ( x ) majdnem mindenütt, ezért lim j h j ( x ) =f ( x ) majdnem minden x-re, ( h j ) monoton csökkenő sorozat. Belátandó először, hogy h j C 2 ,j . Pl.: h 1 ( x ) =sup { f 1 ( x ) , f 2 ( x ) ,... } , h 1,k :=sup { f 1 ( x ) , f 2 ( x ) ,, f k ( x ) } = j=1 k f j . h 1,k C 2 , ( h 1,k ) növő, h 1,k g lim k h 1,k véges majdnem mindenütt (Beppo Levi monoton (növő) sorozatokra), így h 1 = lim k h 1,k h 1 C 2 . ( h j ) C 2 , monoton csökkenő sorozat, h j g lim h j =f integrálható (Beppo Levi monoton (csökkenő) sorozatokra), továbbá f =lim h j . Észrevétel: f j h j f j h j . Most fordítva: ϕ j ( x ) :=inf { f j ( x ) , f j+1 ( x ) ,... } . Ekkor lim ϕ j =f majdnem mindenütt, ( ϕ j ) monoton növő. Ekkor az előbbiekhez hasonló módon belátható, hogy ϕ j C 2 ,j . ϕ j f j g ϕ j g . Ekkor a Beppo Levi tételét alkalmazva monoton (növő) sorozatokra, lim ( ϕ j ) =f integrálható, f =lim ϕ j , ϕ j f j h j ϕ j f j h j lim f j =f .

Spec eset: (kis Lebesgue tétel) tfh ( f j ) f majdnem mindenütt, a>0: | x | >a esetén f j ( x ) =0 és K>0: | x | a esetén | f j ( x ) | K , j . Ekkor f C 2 és f =lim f j .

Bizonyítás: a g ( x ) := { K ha  | x k | a,k 0 egyébként függvényt bevezetve az állítást visszavezettük az előző tételre.

Tétel (Fatou lemma): tfh f j C 2 , lim ( f j ) =f majdnem mindenütt, továbbá 0 f j majdnem mindenütt, f j viszont felülről korlátos. Ekkor f C 2 , f liminf f j . (Bizonyítás lehetséges a Lebesgue tétel bizonyításának gondolatmenetével.)

Tétel: tfh f j C 2 , lim ( f j ) =f majdnem mindenütt és g C 2 : | f | <g . Ekkor f C 2 .

Bizonyítás: visszavezetjük a Lebesgue tételre. Legyen g j ( x ) := { f j ( x ) ha  | f j ( x ) | g ( x ) g ( x ) ha  f j ( x ) >g ( x ) g ( x ) ha  f j ( x ) <g ( x ) . Ekkor | g j | g C 2 . Mivel | f | g és lim ( f j ) =f majdnem mindenütt lim ( g j ) =f majdnem mindenütt a definícióból következően. Alkalmazzuk a ( g j ) sorozatra a Lebesgue tételt, melyből következik, hogy f C 2 .

Mérhető függvények

Definíció: egy f: n függvényt (Lebesgue szerint) mérhetőnek nevezünk, ha előállítható lépcsős függvények konvergens sorozatának határértékeként majdnem mindenütt.

Állítás: ha f C 2 f mérhető. Ezt láttuk korábbról már. ( C 2 osztály tárgyalása során.)

Állítás: ha f mérhető és g C 2 : | f | gf C 2 . Ez következik az előző tételből.

Példa: mérhető, de nem integrálható függvényre: f ( x ) =1,x n , f j ( x ) = { 1 ha  | x k | j,k=1,2,...,n 0 egyébként . Ekkor f j C 2 lépcsős függvény, lim f j ( x ) =f ( x ) ,xf mérhető, de f j , vagyis f nem integrálható, ugyanis ( f j ) monoton nő, ezért ha f integrálható lenne, akkor Beppo Levi miatt f =lim f j = lenne.

Állítás: ha f, g mérhetőek, akkor

  1. f+g is mérhető,
  2. fg is mérhető,
  3. f g is mérhető, ha g0 majdnem mindenütt.

Bizonyítás:

  1. f=lim ( f j ) majdnem mindenütt, f j lépcsős függvény, g=lim ( g j ) majdnem mindenütt, g j lépcsős függvény, f+g=lim ( f j + g j ) majdnem mindenütt, f j + g j is lépcsős függvény.
  2. 1 g -re látjuk be, mellyel a 3. állítás 2-ból igazolható: g=lim ( g j ) majdnem mindenütt, h j := { 1 g ( x ) ha  g j ( x ) 0 0 ha  g j ( x ) =0 , melyből következik, hogy lim ( h j ) = 1 g majdnem mindenütt.
05.14

Tétel: tfh f j mérhető, lim ( f j ) =f majdnem mindenütt f mérhető.

Bizonyítás: legyen g: n olyan függvény, hogy g ( x ) >0,x és g C 2 . Értelmezzük a h j függvényeket az alábbiak szerint: h j := f j g | f j | +g , h j mérhető és | h j | g h j C 2 . lim ( h j ) = fg | f | +g :=h majdnem mindenütt. Alkalmazzuk a Lebesgue tételt a ( h j ) sorozatra! h= fg | f | +g C 2 , így a fenti összefüggés szerint fg | f | +g =hfg | f | h=ghfgf | h | =gh mert sgnh=sgnf , így f= gh g | h | , ez pedig mérhető, mert a számláló mérhető, ugyanis g és h is mérhetők, és mert a nevező is mérhető, továbbá g | h | >0 , ugyanis | h | = | f | g | f | +g <g .

Tétel: tfh f 1 , f 2 ,..., f r : n mérhető, g: r folytonos! Ekkor h:=g ( f 1 , f 2 ,..., f r ) : n mérhető.

Bizonyítás: f k mérhető ( ϕ k,j ) j lépcsős függvénysorozat, hogy ( ϕ k,j ) j f k majdnem mindenütt. h j :=g ( ϕ 1,j , ϕ 2,j ,..., ϕ r,j ) véges sok intervallumon állandó. g ( 0,0,...,0 ) 0 esetén h j helyett vesszük a h j ( x ) = { h j ( x ) ha  | x | j 0 ha  | x | >j függvényt. Mivel h j ( x ) h ( x ) minden x-re h j ( x ) h ( x ) majdnem minden x-re, h j * lépcsős függvény.

Mérhető halmazok, mérték

Definíció: legyen A n halmaz. Az A halmaz karakterisztikus függvényének nevezzük: χ A ( x ) := { 1 xA 0 x n \A . Látható, hogy ekkor χ A ( x ) 0 .

Definíció: Egy A n halmazt mérhetőnek nevezünk, ha χ A ( x ) mérhető függvény. Ekkor az A halmaz mértékét így értelmezzük: λ ( A ) := { n χ A χ A C 2 χ A C 2 (korábban lehagytuk, hogy milyen halmazon integrálunk, mert egyértelmű volt). Láthatjuk, hogy λ ( A ) 0 .

Állítás: két mérhető halmaz különbsége, véges és megszámlálhatóan végtelen sok mérhető halmaz uniója és metszete is mérhető.

Bizonyítás: χ A\B = χ A χ A χ B mérhető függvény. χ j=1 k A j = j=1 k χ A j , ahol χ A j mérhető függvények (felső burkoló). χ j=1 A j = lim k j=1 k χ A j

Állítás: egy A n nullmértékű λ ( A ) =0 , azaz n χ A =0 .

Bizonyítás: irányba: ha A nullmértékű, λ ( A ) = n χ A =0 mert χ A =0 majdnem mindenütt, ha A nullmértékű.
irányba: ha λ ( A ) = n χ A =0 , χ A 0 χ A =0 majdnem mindenütt A nullmértékű.

Tétel: ha A= j=1 k A j és A j mérhetők, páronként diszjunktak λ ( A ) =λ ( j=1 k A j ) = j=1 k λ ( A j ) . Ezt úgy mondjuk, hogy a mérték additív halmazfüggvény.

Bizonyítás: ugyanis ha a fentiek teljesülnek, akkor χ A = χ j=1 k A j = j=1 k χ A j n χ A λ ( A ) = j=1 k n χ A j λ ( A j ) .

Tétel: ha A= j=1 A j , A j mérhetők, páronként diszjunktak λ ( A ) =λ ( j=1 k A j ) = j=1 λ ( A j ) . Ezt úgy mondjuk, hogy a mérték σ additív.

Bizonyítás: csak vázolva: χ j=1 A j = j=1 χ A j , most pedig a Beppo Levi tételt alkalmazzuk.

Integrálás mérhető halmazokon

Eddig f: n függvények (Lebesgue) integrálját értelmeztük.

Definíció: legyen A n mérhető halmaz, f:A függvény. Legyen f ˜ ( x ) := { f ( x ) xA 0 x n \A . Ha f ˜ : n függvény integrálható, akkor azt mondjuk, hogy az f:A függvény integrálható és A f = n f ˜ .

Megjegyzés:

A Lebesgue és Riemann integrál kapcsolata

Legyen f: [ a,b ] korlátos függvény.

Tétel: ha f egy Lebesgue szerint nullmértékű halmaz kivételével folytonos, akkor f függvény Riemann és Lebesgue szerint is integrálható, és a kétféle integrál egyenlő.

Bizonyítás: először belátjuk, hogy az f Lebesgue integrálható (sőt, f C 1 ).
ϕ 1 := { inf { f ( x ) :ax a+b 2 } ha  x [ a, a+b 2 ] inf { f ( x ) : a+b 2 xb } ha  x ( a+b 2 ,b ] ϕ 2 := { inf { f ( x ) :ax d 1 } ha  x [ a, d 1 ] inf { f ( x ) : d 1 <x c 1 } ha  x ( d 1 , c 1 ] inf { f ( x ) : d 2 <xb } ha  x ( d 2 ,b ]
... és így tovább (vagyis az egyes intervallumokat mindig felezzük), valamint ϕ k ( x ) :=0 ha x [ a,b ] ,k . Ekkor ϕ k -k lépcsős függvények, ( ϕ k ) monoton növő. Mivel f folytonos egy nullmértékű halmaz kivételével, ezért ϕ k ( x ) f ( x ) majdnem mindenütt (ahol f folytonos). L ϕ k ( ba ) M , ahol M olyan szám, amelyre | f ( x ) | M , ezért f C 1 , L f =lim L ϕ k (Lebesgue integrál).

Az f függvény egy Riemann féle felső összege L ψ k , ahol
ψ 1 ( x ):={ sup{ f( x ):ax a+b 2 } ha x[ a, a+b 2 ] sup{ f( x ): a+b 2 <xb } ha x( a+b 2 ,b ]
ψ k -k lépcsős függvények, monoton csökkenők, ( ψ k ) f majdnem mindenütt. R ψ k ( ba ) Mf C 1 , L f =lim R ψ k (ahol előbbi a Lebesgue integrál, utóbbi a Riemann féle integrál felső összege), lim L ϕ k = L f , lim R ψ k = R f f Reimann és Lebesgue integrálható, és az integrálok értéke megegyezik.

Tétel: ha f: [ a,b ] korlátos függvény Riemann szerint integrálható f folytonos majdnem mindenütt. (bizonyítás nélkül)

Megjegyzés: ha egy f függvény Riemann szerint improprius integrálja konvergens f MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaWaaqIaaeaacqGHshI3aaGaamOzaaaa@55CD@ Lebesgue integrálható.

Példa: a [ 0, ) intervallumon értelmezzük az f függvényt: f ( x ) := ( 1 ) j 1 j ha j1x<j , j . 0 f ( x ) dx improprius integrálja konvergens, mert j=1 ( 1 ) j 1 j konvergens. 0 | f ( x ) | dx divergál, mert j=1 1 j divergál. Ha f Lebesgue szerint integrálható | f | is integrálható Lebesgue szerint. Tehát a fenti f függvény improprius integrálja konvergens, de nem Lebesgue-integrálható.

Másik példa: f ( x ) := { 1 x\ 0 x . Ekkor f Lebesgue szerint integrálható ( egy nullmértékű halmaz), de Riemann szerint nem integrálható.

Tétel (Fubini tétel) (bizonyítás nélkül): tfh f: 2 képező, integrálható függvény. Ekkor majdnem minden x esetén yf ( x,y ) integrálható -en, továbbá x f ( x,y ) dy is integrálható -en és 2 f = [ f ( x,y ) dy ] dx = [ f ( x,y ) dx ] dy . Ha f nemnegatív és mérhető, akkor a Fubini tétel mindig érvényes (ilyenkor az integrál is lehet).

Az L 2 ( M ) függvénytér

Jelöljük: legyen M n -beli mérhető halmaz, ekkor L 2 ( M ) jelölje az f:M olyan mérhető függvények összességét, melyekre a függvénynek az abszolútérték négyzete integrálható (ez a témakör nagyon fontos a fizikában is)..

Állítás: ez az L 2 ( M ) vektortér a szokásos műveletekkel.

Bizonyítás: tfh f,g L 2 ( M ) f,g mérhető

Állítás: f,g L 2 ( M ) MathType@MTEF@5@5@+=feaaguart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbdfgBPjMCPbqefqvATv2CG4uz3bIuV1wyUbqedmvETj2BSbqeduuDJXwAKbYu51MyVXgaruWqH1MyYLwyG0uy0HgatuuDJXwAK1uy0HMmaeHbfv3ySLgzG0uy0HgiuD3Bamrr1ngBPrwtHrhAXaqehuuDJXwAKbstHrhAG8KBLbqee0evGueE0jxyaibaieYhf9irVeeu0dXdh9vqqrFDW7rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaGaaeGadiWaaqaafeqbayaahaacaaGcbaGaamOzaiaacYcacaWGNbGaeyicI4SaamitamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakmaabmaabaGaamytaaGaayjkaiaawMcaaaaa@5A85@ integrálható.

Bizonyítás: fg mérhető (mérhető függvények szorzata mérhető, korábbról láttuk), | fg | = | f | | g | 1 2 ( | f | 2 + | g | 2 ) integrálható .

Definíció: legyen f,g L 2 ( M ) ! Értelmezzük a két függvényen az alábbi művelet: f,g := M fg .

Állítás L 2 ( M ) a fenti művelettel valós euklideszi tér, ahol a skalárszorzat a fent jelölt művelet.

Bizonyítás: L 2 ( M ) valós vektortér, a fent jelölt szorzás művelet skalárszorzás, ugyanis teljesíti:

Az L 2 ( M ) térben a norma: f = f,f = M | f | 2 .

Megjegyzés: itt is igaz a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség, vagyis | M fg | = | f,g | f g = M | f 2 | M | g 2 | .

Definíció: Hilbert térnek a teljes euklideszi teret nevezzük.

Riesz-Fischer tétel (bizonyítás nélkül): az L 2 ( M ) tér teljes, vagyis L 2 ( M ) tér Hilbert tér.

Az L p ( M ) függvénytér

Jelölés: legyen 1p< , M n mérhető halmaz. Jelölje L p ( M ) az olyan f:M mérhető függvények összességét, amelyekre | f | p integrálható M-n.

Állítás: az L p ( M ) vektortér a szokásos műveletekkel.

Bizonyítás: f,g L p ( M ) f+g is mérhető, az abszolút érték p-dik hatványa is mérhető (a folytonos p-edik hatványfüggvény és mérhető függvény kompozíciója). | f+g | p ( | f | + | g | ) p 2 p1 ( | f | p + | g | p ) integrálható, tehát f+g L p ( M ) . Ha f L p ( M )λf L p ( M ) nyilvánvaló.

Definíció: vezessük be az L p ( M ) vektortérben a következő normát: f := { M | f | p } 1/p .

Állítás: az L p ( M ) tér a fenti művelettel, mint normával, normált tér.

Bizonyítás:

Állítás (Young): legyen 1<p< , 1 p + 1 q =1 ( q= p p1 ). Ekkor a,b0 számokra: ab a p p + b q q .

Bizonyítás: a bizonyítandó egyenlőtlenség ekvivalens: a b 1q a p b q p + 1 q , feltéve, hogy b0 . (A b=0 eset triviális.) c:=a b 1q jelöléssel c p = a p b ( 1q ) p = a p b q . Vagyis az állítás: c c p p + 1 q . g ( c ) := c p p c+ 1 q , g ( 1 ) =0 , g' ( c ) = c p1 1 . Ez kisebb 0-nál, ha c<1 , és nagyobb nullánál, ha c>1 (tehát c=1 -ben minimuma van), tehát g ( c ) 0 .

Tétel (Hölder-egyenlőtlenség): tfh f L p ( M ) ,g L q ( M ) , 1<p< , 1<q< , 1 p + 1 q =1fg integrálható, és | M fg | M | f | | g | f L p ( M ) g L q ( M ) .

Bizonyítás: alkalmazzuk a Young egyenlőséget: a:= | f ( x ) | f , b:= | g ( x ) | g . | f ( x ) | f L p ( M ) | g ( x ) | g L q ( M ) 1 p | f ( x ) | p f p + 1 q | g ( x ) | q g q . Integrálva mindekét oldalt M-re: M | f | | g | f g 1 p 1+ 1 q 1=1 .

Tétel (Minkowski-egyenlőtlenség): ha f,g L p ( M ) f+g L p ( M ) f L p ( M ) + g L p ( M ) .

Bizonyítás: p=1 esetére triviális. p>1 esetén: f+g p = M | f+g | p = M | f+g | p1 | f+g | M | f+g | p1 | f | + M | f+g | p1 | g | (Hölder) { M | f+g | ( p1 ) q } 1/q { M | f | p } 1/p + { M | f+g | ( p1 ) q } 1/q { M | g | p } 1/p = ( f+g L p ( M ) ) p/q [ f L p ( M ) + g L p ( M ) ] , p p q =p ( 1 1 q ) =p 1 p =1 . Így az előbbi egyenlőtlenségből f+g L p ( M ) = f+g L p ( M ) pp/ q f L p ( M ) + g L p ( M ) . Tehát L p ( M ) tér normáltságának utolsó feltételét is igazoltuk, azaz f+g f + g , tehát L p ( M ) normált tér.

Tétel (bizonyítás nélkül): L p ( M ) teljes normált tér, azaz Banach ( 1p< ).