Analízis I

09.16

A korábban (középiskolában) tanultakból általánosítunk. $ℝ^{n}$ -ben éltünk eddig, ahol vektor alatt ezt értettük: $v = (v_{1}, v_{2} ... v_{n})$ ahol $v_{j} \in ℝ$ és $v \in ℝ^{n}$ Ezen vektorfogalmat fogjuk általánosítani úgy, hogy a már korábban tanult vektorok némely tulajdonságait kiválasztjuk, s egy halmaz ( $𝕍$ ) elemeit (a, b és c) akkor fogjuk vektoroknak nevezni, ha az alább kiválaszott - és korábban (középiskolában) már tanult - tulajdonságokat (a műveletekkel) teljesítik.

összeadás +
ℝ n -ben azt mondtuk, hogy v + u = ( v 1 , v 2 ... v n ) + ( u 1 , u 2 ... u n ) = ( v 1 + u 1 , v 2 + u 2 ... v n + u n ) , ezek tulajdonságaiból az alábbiakat általánosítjuk:
1. $a + (b + c) = (a + b) + c$ (asszociativitás)
2. $\exists! 0 \in 𝕍 : a + 0 = 0 + a = a$ (egység, semleges elem létezése)
3. $\forall a \in 𝕍 \exists! (- a) \in 𝕍 : a + (- a) = 0$ (inverz elem létezése)
4. $a + b = b + a$ (kommutativitás)
Az első 3 tulajdonságokkal rendelkező struktúrát csoportnak, a 4-ikkel is rendelkezőt Abel-csoportnak, vagy kommutatív csoportnak nevezzük.
skalárral való szorzás ·
Legyen λ,β∈ℝ ! ℝ n -ben azt mondtuk, hogy λ v =λ ( v 1 , v 2 ... v n ) = ( λ v 1 ,λ v 2 ...λ v n ) , ezek tulajdonságaiból az alábbiakat általánosítjuk:
1. $λ (a + b) = λ a + λ b, (λ + μ) a = λ a + μ a$ (disztributivitás)
2. $λ (β a) = (λ β) a$
3. $1 a = a$

Definíció: Ha egy halmazon értelmezve van az összeadás és a skalárral való szorzás a fentiek szerint, akkor azt vektortérnek (avagy lineáris térnek) nevezzük.

Ismert művelet volt $ℝ^{n}$ -ben a skaláris szorzás, ezt értettük alatta: $〈 v, u 〉 = \sum_{j = 1}^{n} v_{j} u_{j}$ . Erre érvényesek az alábbi tulajdonságok:

$〈 a, b + c 〉 = 〈 a, b 〉 + 〈 a, c 〉$
$〈 a, b 〉 = 〈 b, a 〉$
$λ 〈 a, b 〉 = 〈 λ a, b 〉$
$〈 a, a 〉 \geq 0$ és $〈 a, a 〉 = 0 \Leftrightarrow a = 0$

Definíció: Legyen X vektortér, amelynek elemei között értelmezve van a skaláris szorzat (két elem skaláris szorzata egy $ℝ$ -beli szám) a fenti tulajdonságokkal. Ekkor X-t valós euklideszi (eukleidészi) térnek nevezzük.
Jó példa az euklideszi térre a $[0,1]$ intervallumon értelmezett folytonos függvények összessége (röviden $C [0,1]$ ) a szokásos összeadással, számmal való szorzással, ha a skaláris szorzat definíciója: $〈 f, g 〉 : = \int_{0}^{1} f \cdot g$ .

Definíció: Legyen X valós euklideszi tér! Ekkor egy $a \in X$ elem normáját így határozhatjuk meg: $‖ a ‖ : = \sqrt{〈 a, a 〉}$
A norma tulajdonságai:

$‖ a ‖ \geq 0$ és $‖ a ‖ = 0 \Leftrightarrow a = 0$
$‖ λ a ‖ = | λ | \cdot ‖ a ‖$
$‖ a + b ‖ \leq ‖ a ‖ + ‖ b ‖$ (háromszög egyenlőtlenség), mert $〈 a + b, a + b 〉 = 〈 a, a 〉 + 〈 b, a 〉 + 〈 a, b 〉 + 〈 b, b 〉 =$ $= {‖ a ‖}^{2} + {‖ b ‖}^{2} + 2 〈 a, b 〉 \leq {‖ a ‖}^{2} + {‖ b ‖}^{2} + 2 ‖ a ‖ \cdot ‖ b ‖ = {(‖ a ‖ + ‖ b ‖)}^{2}$ . Itt felhasználtuk az ún Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenséget, mely szerint:

Tétel: Legyen X valós euklideszi tér! Ekkor $\forall a, b \in X$ esetén $| 〈 a, b 〉 | \leq ‖ a ‖ \cdot ‖ b ‖$ . (Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség, röviden CS)
Bizonyítás: $0 \leq 〈 a + λ b, a + λ b 〉 = 〈 a, a 〉 + 〈 λ b, a 〉 + 〈 a, λ b 〉 + 〈 λ b, λ b 〉 = 〈 a, a 〉 + 2 λ 〈 a, b 〉 + λ^{2} 〈 b, b 〉$ , ez teljesül minden $λ$ értékre, így $4 {〈 a, b 〉}^{2} - 4 〈 a, a 〉 〈 b, b 〉 \leq 0$ , vagyis ${〈 a, b 〉}^{2} \leq 〈 a, a 〉 〈 b, b 〉 \Rightarrow | 〈 a, b 〉 | \leq \sqrt{〈 a, a 〉} \sqrt{〈 b, b 〉} = ‖ a ‖ \cdot ‖ b ‖$ , és pont ezt akartuk igazolni.

Definíció: legyen X vektortér, amelyen értelmezve van egy norma a fenti tulajdonságokkal, ekkor X-t normált térnek nevezzük.
Példa: $X = C [0,1]$ , a függvény normája pedig $‖ f ‖ : = \sup | f |$ .

Egy normált térben mindig értelmezhető az elemek $ρ$ távolsága, $ρ (a, b) : = ‖ a - b ‖$ . A távolság (metrika) tulajdonságai:

$ρ (a, b) \geq 0$ és $ρ (a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b$
$ρ (a, b) = ρ (b, a)$
$ρ (a, c) \leq ρ (a, b) + ρ (b, c)$ (háromszög egyenlőtlenség)

Definíció: Legyen X valamilyen halmaz és tfh értelmezve van $ρ : X \times X \to ℝ$ függvény (metrika, távolság) a fenti tulajdonságokkal! Ekkor X-t metrikus térnek nevezzük.

Topológiai alapfogalmak a metrikus térben

Legyen X metrikus tér! Egy $a \in X$ pont r sugarú környezete azon pontok összessége, amelyek a-tól r-nél kisebb távolságra vannak: $B_{r} (a) : = {x \in X : ρ (x, a) < r}$

Pont és halmaz viszonya

Legyen $a \in X, M \subset X$ !

Definíció: azt mondjuk, hogy az a pont az M halmaznak belső pontja, ha létezik a-nak olyan r sugarú környezete, hogy $B_{r} (a) \subset M$ . Jele: $a \in int (M)$

Definíció: a pont az M halmaznak külső pontja, ha létezik a-nak olyan r sugarú környezete, hogy $B_{r} (a) \cap M = \emptyset$ . Jele: $a \in ext (M)$

Definíció: az a pont M-nek határpontja, ha a minden r sugarú környezete esetén $B_{r} (a) \cap M \neq \emptyset$ és $B_{r} (a) \cap M^{C} \neq \emptyset$ . Jele: $a \in \partial (M) = front (M)$

Állítás: $\partial (M), ext (M), int (M)$ halmazok diszjunktak, uniójuk kiadja X-et.

Definíció: egy $a \in X$ pontot az M halmaz torlódási pontjának nevezünk, ha az a pont minden környezetében van M-beli, de a-tól különböző pont, formailag: a torlódási pont, ha ${B_{r} (a) \ {a}} \cap M \neq \emptyset$ . Az M halmaz torlódási pontjainak halmazát M'-vel jelöljük.
Megjegyzés: ha az a pont M-nek torlódási pontja, akkor a-nak minden környezete végtelen sok pontot tartalmaz az M halmazból.

Definíció: egy $a \in M$ pontot az M halmaz izolált pontjának nevezünk, ha $\exists B_{r} (a) : B_{r} (a) \cap M = {a}$ és $r \neq 0$ .

Definíció: az M halmaz belső és határpontjainak összességét az M halmaz lezárásának nevezzük, $\bar{M} = int M \cup \partial M$ .
Megjegyzés: $\bar{M}$ pontjait szokás M érintkezési pontjainak is nevezni. Továbbá $a \in \bar{M} \Leftrightarrow \forall B_{r} (a) \cap M \neq \emptyset$ .

Példák:

$X = ℝ, M = (0,1) \Rightarrow M' = [0,1]$ , izolált pontja nincs, $\partial M = {0,1}, int M = (0,1), \bar{M} = [0,1]$
$X = ℝ, M = ℤ \Rightarrow M' = \emptyset$ , minden pontja izolált, $\partial M = ℤ, int M = \emptyset, \bar{M} = ℤ$
$X = ℝ, M = [0,1] \Rightarrow M' = [0,1]$ , nincs izolált pontja, $\partial M = {0,1}, int M = (0,1), \bar{M} = [0,1]$

Nyílt és zárt halmazok

Definíció: egy $M \subset X$ halmazt nyíltnak nevezünk, ha $\forall x \in M$ esetén $x \in int (M) \Leftrightarrow M \subset int (M) \Leftrightarrow M \cap \partial M = \emptyset$ .

Definíció: egy M halmazt zártnak nevezünk, ha tartalmazza az összes határpontját $\Leftrightarrow \partial M \subset M$ .
Példák (legyen $X : = ℝ$ ):

$M = [0,1]$ zárt halmaz
$M = (0,1)$ nyílt halmaz
$M = (0,1]$ se nem nyílt, se nem zárt halmaz
$M = ℤ$ zárt halmaz (minden pontja izolált is)

Állítás: egy $M \subset X$ halmaz zárt $\Leftrightarrow M = \bar{M} \Leftrightarrow M' \subset M$ .

Tétel: tetszőleges M halmaz esetén $int (M)$ és $ext (M)$ nyílt halmaz.
Bizonyítás ( $int (M)$ nyílt halmaz ): legyen $a \in int M$ . Azt kellene megmutatni, hogy $\exists B_{r} (a) \subset int M$ . $a \in int (M) \Rightarrow \exists B_{R} (a) \subset M$ . Legyen $r : = R / 2$ , ekkor $B_{r} (a) \subset int (M)$ , ugyanis ha $b \in B_{r} (a)$ , akkor a háromszög egyenlőtlenség miatt $B_{r} (b) \subset B_{R} (a) \subset M, b \in int (M) \Rightarrow B_{r} (a) \subset int (M)$ .

Állítás: $\partial M, \bar{M}, M'$ zárt halmazok.

Tétel: ha $M \subset X$ nyílt, akkor $M^{C} = X \ M$ zárt halmaz.
Bizonyítás: tfh M nyílt halmaz, ekkor $\partial M \cap M = \emptyset$ , $\partial M = \partial (M^{c})$ , ezért $\partial M^{C} \cap M = \emptyset \Rightarrow \partial M^{C} \subset M^{C}$ , vagyis $M^{C}$ zárt.

Tétel: akárhány nyílt halmaz uniója nyílt halmaz, és véges sok nyílt halmaz metszete is nyílt.
Bizonyítás: legyenek $M_{γ \in I}$ nyílt halmazok (I indexhalmaz)! Belátjuk, hogy $M : = \underset{γ \in I}{\cup} M_{γ}$ nyílt. Legyen $a \in M \Rightarrow \exists γ : a \in M_{γ}$ . Mivel $M_{γ}$ nyílt, ezért $\exists B_{r} (a) \subset M_{γ} \Rightarrow B_{r} (a) \subset M$ .
Legyenek $M_{j \in I}$ nyílt halmazok (I indexhalmaz)! Belátjuk, hogy $M : = \cap_{j = 1}^{p} M_{j}$ nyílt halmaz. Legyen $a \in M \Rightarrow a \in M_{j}, \forall j = 1,2... p$ . Mivel $M_{j}$ nyílt, ezért $\exists r_{j} : B_{r_{j}} (a) \subset M_{j}$ . Legyen $r = \min {r_{1}, r_{2},.., r_{p}} \Rightarrow B_{r} (a) \subset \cap_{j = 1}^{p} M_{j}$ .

Tétel: akárhány zárt halmaz metszete zárt halmaz, és véges sok zárt halmaz uniója is zárt.
Bizonyítás: (belátjuk, hogy metszetük zárt) tfh $M_{γ}$ zárt! Ekkor $M_{γ}^{C}$ nyílt halmaz. Ezért $\underset{γ \in I}{\cap} M_{γ} = {(\underset{γ \in I}{\cup} M_{γ}^{C})}^{C}$ zárt. Az unió esete hasonlóan bizonyítható.
Megjegyzés: végtelen sok nyílt halmaz metszete általában nem nyílt, az alaphalmaz és az üreshalmaz nyílt és zárt egyszerre.

09.18

Sorozatok határértéke a metrikus térben

Definíció: egy $f : ℕ ↣ X$ (X metrikus tér) függvényt X-beli sorozatnak nevezünk. Jelölés: a sorozat k-adik tagja $a_{k} : = f (k)$ -nek, a sorozat ${(a_{k})}_{k \in ℕ} : = f$ $(a_{k}) = f$ .

Definíció: azt mondjuk, hogy az $(a_{k})$ sorozat határértéke (limesze) $a \in X$ , ha az a pont tetszőleges $ε$ sugarú környezetéhez létezik olyan $k_{0} \in ℕ$ küszöbszám, hogy $k > k_{0}, k \in ℕ$ esetén $a_{k} \in B_{ε} (a)$ . Másképp: $\forall ε > 0 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow ρ (a_{k}, a) < ε$ , ezt így jelöljük: $\lim (a_{k}) \equiv \lim_{k \to \infty} a_{k} = a$

A limesz tulajdonságai

ha $a_{k} = a$ (minden k-ra), akkor $\lim (a_{k}) = a$
tfh $\lim (a_{k}) = a$ , akkor $(a_{k})$ minden részsorozatának határértéke létezik és értékük a.
Részsorozat: $(a_{k})$ véges vagy végtelen sok elemét elhagyom úgy, hogy még mindig végtelen sok maradjon, és a sorrenden nem változtatok. Másképpen: $(a_{k})$ részsorozata $(a_{g_{k}})$ , ahol $g : ℕ \to ℕ$ szigorúan monoton növő.
Bizonyítás: $\lim (a_{k}) : = a \Rightarrow \forall ε > 0 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow ρ (a_{k}, a) < ε$ . Mivel $g_{k} \geq k \Rightarrow k > k_{0}$ -ra $ρ (a_{g_{k}}, a) < ε$ , hisz ekkor $g_{k} > k_{0}$ .
a határérték egyértelmű
Bizonyítás: tfh $(a_{k})$ határértékei a és b (X elemei), Belátandó, hogy $a = b$ . $\forall ε > 0 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow ρ (a_{k}, a) < ε$ , másrészt $\forall ε > 0 \exists k_{1} : k > k_{1}, ρ (a_{k}, b) < ε$ $\Rightarrow k > \max {k_{0}, k_{1}}$ esetén $ρ (a_{k}, a) < ε, ρ (a_{k}, b) < ε$ , így a háromszög egyenlőtlenség alapján $ρ (a, b) \leq ρ (a, a_{k}) + ρ (a_{k}, b) < 2 ε, \forall ε > 0 \Rightarrow ρ (a, b) = 0 \Leftrightarrow a = b$
ha $\lim (a_{k}) = a \Rightarrow (a_{k})$ minden átrendezésének a hatáértéke szintén a
Egy $(a_{k})$ átrendezése: veszek egy $g : ℕ \to ℕ$ bijekciót, az átrendezett sorozat: $(a_{g_{k}})$ .
sorozatok összefésülése
$(a_{k}), (b_{k})$ X-beli sorozatok összefésülése olyan $(c_{k})$ X-beli sorozat, melynek elemei $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2} ...$ . Ha $\lim (a_{k}) = a = \lim (b_{k}) \Rightarrow \lim (c_{k}) = a$
Ha egy sorozatnak létezik a limesze, akkor korlátos is. (Korlátos: létezik olyan n dimenziós gömb, mely tartalmazza a sorozat összes elemét.)
Bizonyítás: $\lim (a_{k}) = a \Rightarrow ε = 1 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow ρ (a_{k}, a) < 1$ , így $r : = \max {ρ (a, a_{1}), ρ (a, a_{2}),..., ρ (a, a_{k_{0}})}$ esetén $a_{k} \in B_{r + 1} (a) \forall k$ .

A limesz műveletei tulajdonságai

összeadás

Tétel: legyen X normált tér! Ha $\lim (a_{k}) = a, \lim (b_{k}) = b \Rightarrow \lim (a_{k} + b_{k}) = a + b$ .
Bizonyítás: mivel $\lim (a_{k}) = a$ , ezért $\forall ε > 0 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow ρ (a, a_{k}) = ‖ a_{k} - a ‖ < ε$ és mivel $\lim (b_{k}) = b$ , ezért $\forall ε > 0 \exists k_{1} : k > k_{1} \Rightarrow ρ (b, b_{k}) = ‖ b_{k} - b ‖ < ε$ , így $ρ (a_{k} + b_{k}, a + b) = ‖ (a_{k} + b_{k}) - (a + b) ‖ = ‖ (a_{k} - a) + (b_{k} - b) ‖ \leq ‖ a_{k} - a ‖ + ‖ b_{k} - b ‖ < 2 ε$ , ha $k > \max {k_{0}, k_{1}}$ .

szorzás

Tétel: legyen X normált tér! Tfh $\lim (a_{k}) = a$ , ( $a_{k} \in X$ ) és $\lim (λ_{k}) = λ$ ( $λ_{k} \in ℝ$ ). Ekkor $\lim (λ_{k} a_{k}) = λ a$ .
Bizonyítás: mivel $\lim (a_{k}) = a$ ezért $\forall ε > 0 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow ‖ a_{k} - a ‖ < ε$ . Mivel $\lim (λ_{k}) = k$ ezért $\forall ε > 0 \exists k_{1} : k > k_{1} \Rightarrow | λ_{k} - λ | < ε$ . Tehát $k > \max {k_{0}, k_{1}}$ esetén $‖ λ_{k} a_{k} - λ a ‖ = ‖ (λ_{k} a_{k} - λ a_{k}) + (λ a_{k} - λ a) ‖ \leq ‖ λ_{k} a_{k} - λ a_{k} ‖ + ‖ λ a_{k} - λ a ‖ =$ $= ‖ (λ_{k} - λ) a_{k} ‖ + ‖ λ (a_{k} - a) ‖ = \underset{< ε}{\underset{︸}{| λ_{k} - λ |}} ‖ a_{k} ‖ + \underset{r ö g z .}{\underset{︸}{| λ |}} \underset{< ε}{\underset{︸}{‖ a_{k} - a ‖}}$ . Mivel $(a_{k})$ korlátos, $\exists M > 0 : ‖ a_{k} ‖ < M \forall k \in ℕ$ -re, tehát $k > \max {k_{0}, k_{1}}$ esetén $‖ λ_{k} a_{k} - λ a ‖ < ε M + | λ | ε = (M + | λ |) ε$ .

Tétel: legyen X euklideszi tér! Tfh $\lim (a_{k}) = a$ és $\lim (b_{k}) = b$ , ahol $a_{k}, b_{k} \in X$ . Ekkor $\lim 〈 a_{k}, b_{k} 〉 = 〈 a, b 〉$
Bizonyítás: a Cauchy-Schwarz felhasználásával.

Tétel: legyen X normált tér! Ha $\lim (λ_{k}) = 0$ és $(a_{k})$ korlátos, $\Rightarrow \lim (λ_{k} a_{k}) = 0$
Bizonyítás: hasonló az előzőhöz.

Osztás

Tétel: legyen $(a_{k})$ egy valós vagy komplex sorozat. Ha $a = \lim (a_{k}) \neq 0 \Rightarrow \lim (\frac{1}{a_{k}}) = \frac{1}{a}$ .
Bizonyítás: mivel $\lim (a_{k}) = a \Rightarrow \forall ε > 0 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow | a_{k} - a | < ε$ , így $\exists k_{1} : k > k_{1} \Rightarrow | a_{k} - a | < ε {| a |}^{2} / 2$ . Legyen $ε : = \frac{| a |}{2}$ , ekkor $\exists k_{2} : k > k_{2} \Rightarrow | a_{k} | > \frac{| a |}{2}$ . Legyen $k > \max {k_{1}, k_{2}}$ , ekkor $| \frac{1}{a_{k}} - \frac{1}{a} | = \frac{| a - a_{k} |}{| a_{k} a |} < \frac{ε {| a |}^{2} / 2}{| a_{k} | | a |} = \frac{ε | a | / 2}{| a | / 2} = ε$ , és pont ezt akartuk igazolni.

Zárt halmazok jellemzése sorozatokkal

Emlékeztető: X metrikus térben egy M halmazt zártnak neveztünk, ha $\partial M \subset M \Leftrightarrow \bar{M} \subset M \Leftrightarrow \bar{M} = M$ (ahol $\bar{M} = int (M) \cup \partial M$ ), továbbá $a \in \bar{M} \Leftrightarrow$ ha a bármely környezete tartalmaz M béli pontot is. Ezek szerint M zárt halmaz pontosan akkor, ha minden olyan pont, amelynek bármely környezetében van M beli pont, az M-hez tartozik.

Tétel: egy $M \subset X$ halmaz zárt pontosan akkor, ha tetszőleges konvergens sorozatot nézve, melynek tagjai $a_{k} \in M$ $\lim (a_{k}) \in M$ .
Bizonyítás: az előbbiek szerint M halmaz zárt pontosan akkor, ha minden olyan pont, amelynek bármely környezetében van M beli pont, az M-hez tartozik.
$\Rightarrow$ irányban: tfh M zárt! Ha $a_{k} \in M$ és $\lim (a_{k}) = a$ , akkor $a \in M$ , mert a minden környezetében van M beli pont is (nevezetesen $a_{k}$ ).
$\Leftarrow$ irányban: fordítva is igaz, ha a minden környezete tartalmaz M béli pontot, akkor $\exists (a_{k}) \in M : \lim (a_{k}) = a$ . Vagyis minden olyan pont (a), amelynek minden környezetében van M-beli pont (az $a_{k}$ -k), az M-nek eleme, és a fentiek szerint ebből következik, hogy M zárt.

Korlátos és zárt halmazok, illetve sorozatkompakt halmazok

Tétel: legyen $(a_{k})$ korlátos sorozat $ℝ^{n}$ -ben! Ekkor $(a_{k})$ sorozatnak létezik konvergens részsorozata. (Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel $ℝ^{n}$ -ben)
Bizonyítás: először $n = 1$ esetre, ekkor $(a_{k} \in ℝ)$ korlátos $\Rightarrow \exists [c, d] ∍ a_{k}, \forall k$ . Felezzük $[c, d]$ intervallumot! Ekkor a két zárt fél intervallum közül legalább az egyik végtelen sok tagot tartalmaz a sorozatból. Ez legyen $[c_{1}, d_{1}]$ . Ezt megint felezzük, melyek közül legalább az egyik végtelen sok tagot tartalmaz a sorozatból, ez legyen $[c_{2}, d_{2}]$ …Így $a_{k}$ -ból kiválasztható egy $a_{k_{l}}$ részsorozat úgy, hogy $a_{k_{l}} \in [c_{l}, d_{l}]$ . Belátjuk, hogy $a_{k_{l}}$ részsorozat konvergens.
$[c, d] \supset [c_{1}, d_{1}] \supset [c_{2}, d_{2}] \supset ... \supset [c_{l}, d_{l}]$ , $\lim_{l \to \infty} | c_{l} - d_{l} | = \lim_{l \to \infty} \frac{c - d}{2^{l}} = 0$ . Tudjuk, hogy ${c_{l} : l \in ℕ}$ felülről korlátos $\Rightarrow \exists \sup {c_{l} : l \in ℕ}$ és azt is, hogy ${d_{l} : l \in ℕ}$ alulról korlátos $\Rightarrow \exists \inf {d_{l} : l \in ℕ}$ . Mivel $\lim_{l \to \infty} | c_{l} - d_{l} | = 0 \Rightarrow \sup {c_{l} : l \in ℕ} = \inf {d_{l} : l \in ℕ} : = α$ , továbbá $a_{k_{l}} \in [c_{l}, d_{l}] \Rightarrow \lim (a_{k_{l}}) = α$ („rendőr-elv”).
$n = 2$ esetre, ekkor $a_{k} = (a_{k}^{(1)}, a_{k}^{(2)})$ . Mivel $a_{k}$ korlátos sorozat $ℝ^{2}$ -ben, így $a_{k}^{(1)}, a_{k}^{(2)}$ korlátos sorozatok $ℝ$ -ben. Az előzőek szerint az előbbiből kiválasztható ebből egy konvergens részsorozat, ${(a_{k_{l}}^{(1)})}_{l \in ℕ}$ . Tekintsük az $a_{k}^{(2)}$ ugyanilyen indexű elemekből álló $(a_{k_{l}}^{(2)})$ részsorozatát (mely korlátos $ℝ$ -ben). Az előzőek szerint ennek létezik konvergens részsorozata, ${(a_{k_{l_{m}}}^{(2)})}_{m \in ℕ}$ . ${(a_{k_{l}}^{(1)})}_{l \in ℕ}$ konvergens, így ${(a_{k_{l_{m}}}^{(1)})}_{m \in ℕ}$ is az, így $(a_{k_{l_{m}}}) : = (a_{k_{l_{m}}}^{(1)}, a_{k_{l_{m}}}^{(2)})$ részsorozat konvergens.
$n = 3$ esetén hasonló módon, mint $n = 1$ -ről váltottunk $n = 2$ -re, itt is igazolható (tkp teljes indukció).
Megjegyzés: hasonló jellegű állítások általában nem igazak tetszőleges normált terekben, csak véges dimenzióban!

09.23

Tétel: legyen $M \subset ℝ^{n}$ korlátos és zárt halmaz! Ha ${(a_{k} \in M)}_{k \in ℕ}$ tetszőleges sorozat, akkor létezik olyan $(a_{k_{l}})$ részsorozata, amely konvergens és $\lim (a_{k_{l}}) \in M$
Bizonyítás: mivel M korlátos $\Rightarrow (a_{k})$ korlátos sorozat $ℝ^{n}$ -ben. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel szerint ennek létezik konvergens részsorozata $a_{k_{l}} \in M$ , M zárt $\Rightarrow \lim (a_{k_{l}}) \in M$ .

Definíció: legyen X tetszőleges metrikus tér! Egy $M \subset X$ halmazt sorozatkompaktnak nevezünk, ha tetszőleges M-beli sorozatnak van konvergens részsorozata, és limesze $\in M$ .
Megjegyzés: a fenti tétel szerint $ℝ^{n}$ -ben minden korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.

Állítás: ha X tetszőleges metrikus tér $\Rightarrow \forall$ sorozatkompakt halmaz korlátos és zárt, de ha egy metrikus térben egy halmaz korlátos és zárt, még nem következik, hogy sorozatkompakt is (természetesen $ℝ^{n}$ -ben igaz).
Bizonyítás: legyen $M \subset X$ sorozatkompakt halmaz! Először belátjuk, hogy M korlátos.
Indirekt bizonyítás: M nem korlátos. Legyen $a \in X$ rögzített pont. Ha M nem korlátos $\Rightarrow \exists x_{1} \in M, x_{1} \in B_{1} (a)$ és $\exists x_{2} \in M, x_{2} \in B_{2} (a)$ és… Belátjuk (indirekt), hogy az így nyert $(x_{l})$ sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ha ugyanis $\exists \lim (x_{l_{k}}) = x_{0} \in M \Rightarrow \lim_{k \to \infty} ρ (x_{l_{k}}, a) = ρ (x_{0}, a)$ , ez ellentmond annak, hogy $x_{l_{k}} \notin B_{l_{k}} (a) \Leftrightarrow ρ (x_{l_{k}}, a) > l_{k} \to \infty$ .
Most belátjuk, hogy M zárt. Tekintsük az $(a_{k})$ M-beli elemekből álló konvergens sorozatokat! Mivel M sorozatkompakt, ezért $(a_{k})$ -nak létezik $(a_{k_{l}})$ részsorozata, ami konvergens és $\lim (a_{k_{l}}) \in M$ , de $\lim (a_{k_{l}}) = \lim (a_{k}) \Rightarrow \lim (a_{k}) \in M$ . Mint korábban bizonyítottuk, ez ekvivalens azzal, hogy M zárt.

Cauchy-féle konvergencia-kritérium, teljesség

Tétel: legyen X metrikus tér! Ha $(a_{k})$ konvergens sorozat, $\lim (a_{k}) = a \in X$ , akkor teljesül rá az ún. Cauchy-féle (konvergencia) kritérium: $\forall ε > 0 \exists k_{0} : k, l > k_{0} \Rightarrow ρ (a_{k}, a_{l}) < ε$ .
Bizonyítás: mivel $\lim (a_{k}) = a \Rightarrow \exists k_{0} : \forall k, l > k_{0} \Rightarrow ρ (a_{k}, a) < \frac{ε}{2}, ρ (a_{l}, a) < \frac{ε}{2} \Rightarrow ρ (a_{k}, a_{l}) \leq ρ (a_{k}, a) + ρ (a, a_{l}) < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$ .
Kérdés: fordítva igaz-e? Általában nem.
Példák:

Legyen $X = ℚ$ a szokásos távolsággal! Tfh $a_{k \in ℕ} \in ℝ$ , de $\lim (a_{k}) = \sqrt{2}$ . Ekkor $(a_{k})$ teljesíti a Cauchy-féle konvergencia-kritériumot, de nincs határértéke X-ben.
$X : = (0,1)$ , a szokásos távolsággal. $a_{k} : = \frac{1}{k}$ tagokból álló sorozat. Ez megint teljesíti a Cauchy-féle konvergencia-kritériumot, még sincs határértéke X-ben.

Definíció: egy X metrikus teret teljes metrikus térnek nevezzük, ha minden X-beli Cauchy-sorozatnak (vagyis melyre teljesül a Cauchy-féle konvergencia-kritérium) van limesze X-ben.

Tétel: $ℝ^{n}$ teljes metrikus tér.
Megjegyzés: a tétel azt mondja, hogy ha $(a_{k}) \in ℝ^{n}$ -beli sorozatra teljesül a Cauchy-féle konvergencia-kritérium $\Rightarrow \exists \lim (a_{k}) \in ℝ^{n}$ .
Bizonyítás: legyen $(a_{k}) \in ℝ^{n}$ , melyre teljesül a Cauchy-féle konvergencia-kritérium $\Leftrightarrow \forall ε > 0 \exists k_{0} : k, l > k_{0} \Rightarrow ‖ a_{k} - a_{l} ‖ < ε$ . Először belátjuk, hogy $(a_{k})$ korlátos.
Legyen $ε : = 1$ , ekkor $\exists k_{0} : k, l > k_{0} \Rightarrow ‖ a_{k} - a_{l} ‖ < ε = 1$ . Legyen $l = k_{0} + 1$ rögzített, ekkor láthatjuk, hogy minden $\forall k \geq l : ‖ a_{k} - a_{l} ‖ < 1$ , vagyis $k_{0}$ fölött korlátos a sorozat. Mivel $k_{0}$ véges, ezért $a_{0}, a_{1} ... a_{k_{0}}$ véges sok elem, így korlátos is.
Most belátjuk, hogy konvergens is. Alkalmazzuk a Bolzano-Weierstrass kiválasztási tételt, miszerint minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata $\Rightarrow \exists (a_{k_{l}}) : \lim (a_{k_{l}}) = a \in ℝ^{n}$ . Belátandó még, hogy az $(a_{k})$ sorozat is ehhez tart. Legyen $ε / 2 > 0$ tetszőleges. Mivel $\lim (a_{k_{l}}) = a \Rightarrow \exists l_{0} : l > l_{0} \Rightarrow ‖ a_{k_{l}} - a ‖ < \frac{ε}{2}$ . Másrészt mivel a Cauchy sorozat is, ezért $\exists k_{1} : k, l > k_{1} \Rightarrow ‖ a_{k} - a_{l} ‖ < \frac{ε}{2} \Rightarrow ‖ a_{k} - a_{k_{l}} ‖ < \frac{ε}{2} \Rightarrow ‖ a_{k} - a ‖ \leq ‖ a_{k} - a_{k_{l}} ‖ + ‖ a_{k_{l}} - a ‖ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$ .

Függvények limesze (határértéke)

A továbbiakban legyen X és Y metrikus terek, $f : X ↣ Y$ , $D_{f} \subset X$ és $R_{f} \subset Y$ !

Definíció: legyen $a \in X$ az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja! Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban $b \in Y$ a határértéke (limesze), ha b bármely (kicsi) $B_{ε} (b)$ környezetéhez létezik a-nak olyan $B_{δ} (a)$ környezete, hogy $x \in B_{δ} (a) \cap D_{f}, x \neq a \Rightarrow f (x) \in B_{ε} (b)$ .
Megjegyzés: mivel a pont $D_{f}$ -nek torlódási pontja, ezért bármely $δ > 0$ esetén $\exists x \neq a : x \in B_{δ} (a) \cap D_{f}$ , továbbá a függvény határértéke szempontjából mindegy, hogy f értelmezve van-e a-ban vagy sem és $f (a)$ mivel egyenlő.

Állítás: a limesz egy pontban egyértelmű.

Definíció: legyen $a \in D_{f}$ . Ekkor f függvényt a pontban folytonosnak nevezzük, ha az $f (a) \in Y$ bármely $B_{ε} (f (a))$ környezetéhez található az a-nak olyan $B_{δ} (a)$ környezete, hogy $x \in B_{δ} (a) \cap D_{f} \Rightarrow f (x) \in B_{ε} (f (a))$ .
Megjegyzés:

ha a a $D_{f}$ -nek izolált pontja, akkor abban a függvény folytonos
ha a a $D_{f}$ -nek torlódási pontja, akkor f folytonos a-ban $\Leftrightarrow \lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .
legyen f valós-valós függvény! Ekkor f-nek a-ban baloldali határértékét így értelmezzük: $\lim_{x \to a} {f |}_{(- \infty, a)} (x)$ (ha létezik), és f-nek a-ban jobboldali határértéke $\lim_{x \to a} {f |}_{(a, \infty)} (x)$ (ha létezik)
az $f (x) = \frac{1}{x}$ függvény folytonos, mert mindenhol folytonos, ahol értelmezve van (0-ban nincs értelmezve)

Példa: $f (x) = {\begin{matrix} 0 & ha x \in [0,2] \ {1} \\ 1 & ha x = 1 \end{matrix}$ . Ez a függvény 1-ben nem folytonos, és határértéke 1-ben 0.

Definíció: ha f folytonos $D_{f}$ minden pontjában, akkor f-et folytonosnak nevezzük.

09.30

Átviteli elv

Tétel: legyen $a \in D_{f}'$ ( $D_{f}'$ a torlódási pontok halmaza)! $\lim_{x \to a} f (x) = b \Leftrightarrow \forall (x_{k}) \subset D_{f} \ {a}, \lim (x_{k}) = a$ esetén $\lim_{k \to \infty} f (x_{k}) = b$ .
Bizonyítás $\Rightarrow$ irányban: legyen $\lim_{x \to a} f (x) \equiv \lim_{a} f = b$ . Legyen $(x_{k})$ tetszőleges olyan sorozat, melyre $x_{k} \in D_{f} \ {a}, \lim (x_{k}) = a$ ! Belátandó, hogy $\forall ε > 0 \exists k_{0}, k > k_{0} \Rightarrow f (x_{k}) \in B_{ε} (b)$ . Mivel $\lim_{a} f = b \Rightarrow \forall ε > 0 \exists δ > 0 : x \in {B_{δ} (a) \cap D_{f}} \ {a} \Rightarrow f (x) \in B_{ε} (b)$ , másrészt $\lim (x_{k}) = a, x_{k} \in D_{f} \ {a} \Rightarrow \forall δ > 0 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow x_{k} \in B_{δ} (a)$ , vagyis $k > k_{0}$ esetén $f (x_{k}) \in B_{ε} (b)$ .
Bizonyítás $\Leftarrow$ irányban: tfh $\forall (x_{k}) \subset D_{f} \ {a}, \lim (x_{k}) = a$ esetén $\lim_{k \to \infty} f (x_{k}) = b$ , bizonyítandó: $\Rightarrow \lim_{a} f = b$ , vagyis $\forall ε > 0 \exists δ > 0, \forall x \in {B_{δ} (a) \cap D_{f}} \ {a} \Rightarrow f (x) \in B_{ε} (b)$ . Indirekt bizonyítunk: $\exists ε_{0} > 0 \forall δ > 0, \exists x \in {B_{δ} (a) \cap D_{f}} \ {a} : f (x) \in B_{ε_{0}} (b)$ . Legyen $δ : = \frac{1}{k}, k \in ℕ$ , ehhez $\exists x_{k} \in B_{\frac{1}{k}} (a), x_{k} \in D_{f} \ {a} : f (x_{k}) \in B_{ε_{0}} (b)$ . Ekkor $\lim (x_{k}) = a$ , de $\lim_{k \to \infty} f (x_{k}) \neq b$ , mert $\forall k \in ℕ$ -re $f (x_{k}) \in B_{ε_{0}} (b)$ , ez meg ellentmond a feltevésünknek.
Tétel: legyen $a \in D_{f}$ ! Ekkor az f függvény a-ban folytonos pontosan akkor, ha $\forall (x_{k}) \subset D_{f}, \lim (x_{k}) = a$ esetén $\lim_{k \to \infty} f (x_{k}) = f (a)$ .
Bizonyítás: az előzővel analóg módon

Műveleti szabályok

+ összeadás
Tétel: legyen X metrikus, Y normált tér! Legyenek $f, g : X ↣ Y$ és $a \in (D_{f} \cap D_{g})'$ . Ekkor $\lim_{a} f = b, \lim_{a} g = c \Rightarrow \lim_{a} (f + g) = b + c$ .
Bizonyítás: legyen $(x_{k})$ tetszőleges olyan sorozat, melyre teljesül, hogy $x_{k} \in {D_{f} \cap D_{g}} \ {a}, \lim (x_{k}) = a$ . Azt kell megmutatni, hogy $\lim_{k \to \infty} (f + g) (x_{k}) = b + c$ , ahol $(f + g) (x_{k}) = f (x_{k}) + g (x_{k})$ . Mivel $\lim_{a} f = b, x_{k} \in D_{f} \ {a}, \lim (x_{k}) = a \Rightarrow \lim_{k \to \infty} f (x_{k}) = b$ (átviteli elvből), hasonlóan $\lim_{a} g = c \Rightarrow \lim_{k \to \infty} g (x_{k}) = c$ , így ezekből $\lim_{k \to \infty} (f (x_{k}) + g (x_{k})) = b + c$

szorzás
1. Tétel: legyen X metrikus, Y normált tér, $f : X ↣ Y, λ : X ↣ ℝ$ . Legyen $a \in {D_{f} \cap D_{λ}}'$ ! Ha $\lim_{a} f = b \in Y, \lim_{a} λ = λ_{0} \in ℝ \Rightarrow \lim_{a} (λ f) = λ_{0} b \in Y$
2. Tétel: legyen X metrikus, Y euklideszi tér, $f, g : X ↣ Y, a \in {D_{f} \cap D_{g}}'$ ! Ha $\lim_{a} f = b \in Y, \lim_{a} g = c \in Y \Rightarrow \lim_{a} 〈 f, g 〉 = 〈 b, c 〉$

osztás
Tétel: legyen X metrikus tér, $f : X ↣ ℝ$ . Ha $\lim_{a} f = b \in ℝ \ {0} \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{1}{f (x)} = \frac{1}{b}$ .

Műveleti szabályok folytonosságra

+ összeadás:
Tétel: legyen X metrikus, Y normált tér, $f, g : X ↣ Y$ . Ha f, g folytonos a-ban $\Rightarrow f + g$ is folytonos a-ban.
szorzás
1. Tétel: legyen X metrikus, Y normált tér, $f : X ↣ Y, λ : X ↣ ℝ$ folytonosak a-ban, ekkor $λ \cdot f$ is folytonos a-ban.
2. Tétel: legyen X metrikus, Y euklideszi tér. Ha $f, g : X ↣ Y$ folytonosak a-ban $\Rightarrow 〈 f, g 〉$ is folytonos a-ban.

osztás:
Tétel: legyen X metrikus tér, $f : X ↣ ℝ$ . Ha f folytonos a-ban és $f (a) \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{f}$ is folytonos a-ban.

(Az előző tételek bizonyítása az átviteli elvvel történik.)

A kompozíció függvény

Tétel: legyenek X, Y , Z metrikus terek, $f : X ↣ Y, g : Y ↣ Z$ . Ha f folytonos $a \in X$ -ben, g pedig $b = f (a) \in Y$ -ban, $\Rightarrow g \circ f$ is folytonos a-ban.
Bizonyítás: mivel g folytonos $b = f (a)$ -ban, így g értelmezve van $f (a)$ -ban, ezért $g \circ f$ értelmezve van a-ban, $(g \circ f) (a) = g (f (a))$ . Az átviteli elvvel belátjuk, hogy $g \circ f$ folytonos a-ban. Legyen $(x_{k})$ tetszőleges sorozat, melyre $\lim (x_{k}) = a, x_{k} \neq a, x_{k} \in D_{g \circ f}$ . Az utóbbi azt jelenti, hogy $x_{k} \in D_{f}$ , másrészt $f (x_{k}) \in D_{g}$ , igazolandó tehát, hogy $\lim_{k \to \infty} (g \circ f) (x_{k}) = (g \circ f) (a) = g (f (a))$ .
Mivel f folytonos a-ban, $\lim_{k \to \infty} f (x_{k}) = f (a)$ . Másrészt g folytonos $f (a)$ -ban, így g-re alkalmazva az átviteli elvet, $\lim_{k \to \infty} g (f (x_{k})) = g (f (a))$ .
Kérdés: ha $\lim_{a} f = b, \lim_{b} g = c \Rightarrow \lim_{a} (g \circ f) = c$ ? Általában nem. Példa: legyen $g (y) = {\begin{matrix} 0 ha y = 0 \\ 1 ha y \neq 0 \end{matrix}$ , és f pedig a konstans 0 függvény, azaz $f (x) = 0$ , valamint $a = b = 0$ . Ekkor $\lim_{0} g = 1, (g \circ f) (x) = 0 \forall x \Rightarrow \lim_{0} (g \circ f) (x) = 0$
Tétel: legyenek X, Y , Z metrikus terek, $f : X ↣ Y, g : Y ↣ Z$ . Ha $\lim_{a} f = b$ és g folytonos b-ben, akkor $\lim_{a} (g \circ f) = g (b)$ .

Inverz függvény folytonossága

Egy tetszőleges függvény inverzét akkor tudjuk értelmezni, ha a függvény injektív, azaz $x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ .

Definíció: ha f injektív, akkor inverzét így értelmezhetjük: $f^{- 1} : R_{f} \to D_{f}, y \in R_{f}$ esetén $f^{- 1} (y) = x$ , ahol $x \in D_{f}, f (x) = y$ .

Állítás: ha $f : ℝ ↣ ℝ$ és szigorúan monoton függvény, akkor f injektív.
Kérdés: Ha f folytonos és injektív, akkor inverze is? Általában nem. Pl: $f (x) = {\begin{matrix} x & ha x < 1 \\ x - 1 & ha x \geq 2 \end{matrix}$ .

Állítás: ha $f : ℝ ↣ ℝ$ függvény szigorúan monoton, akkor inverze is.

Tétel: ha $f : I \to ℝ$ szigorúan monoton függvény és $I \subset ℝ$ valamilyen intervallum $\Rightarrow f^{- 1}$ folytonos.
Megjegyzés: az intervallumok az $ℝ$ összefüggő részhalmazai. Egy $A \subset ℝ$ halmazt összefüggőnek nevezünk, ha $\forall x_{1}, x_{2} \in A, x_{1} < x < x_{2} \Rightarrow x \in A$ .
Bizonyítás: legyen $y_{0} \in D_{f^{- 1}} = R_{f}$ . Legyen $x_{0} = f^{- 1} (y_{0})$ . Először tegyük fel, hogy $x_{0} \in int I$ . Azt szeretnénk belátni, hogy $f^{- 1}$ folytonos $y_{0}$ -ban. Legyen $ε > 0, x_{0} \pm ε \in I$ (ilyen $ε$ létezik, mert $x_{0} \in int I$ )! Ekkor $f (x_{0} - ε) < f (x_{0}) < f (x_{0} + ε)$ , mivel f szigorúan monoton (növő). Ha $y \in (f (x_{0} - ε), f (x_{0} + ε))$ , mivel f inverze is szigorúan monoton, ezért $f^{- 1} (f (x_{0} - ε)) < f^{- 1} (y) < f^{- 1} (f (x_{0} + ε)) \Leftrightarrow f^{- 1} (y_{0}) - ε < f^{- 1} (y) < f^{- 1} (y_{0}) + ε$ , vagyis $f^{- 1}$ folytonos $y_{0}$ -ban. Az $x_{0} \in \partial I$ eset tárgyalása hasonló.

10.06

Példák:

$f : ℝ ↣ ℝ, x \in ℝ, x \geq 0, f (x) = x^{n}, n \in ℕ$ , ekkor f szigorúan monton nő, $D_{f} = [0, \infty)$ , $f^{- 1}$ folytonos az $y \in R_{f}$ pontokban és $f^{- 1} (y) = \sqrt[n]{y}$ . (Később látjuk a Bolzano-tétellel, hogy $R_{f} = [0, \infty)$ .)
$f : ℝ ↣ ℝ, x \in ℝ, f (x) = e^{x}$ , ekkor f szigorúan monoton nő, $D_{f} = ℝ$ , $f^{- 1}$ folytonos. (Később látjuk a Bolzano-tétellel, hogy $D_{f^{- 1}} = R_{f} = (0, \infty)$ .)

Tétel: legyenek X, Y metrikus terek, $f : X ↣ Y, f \in C (D_{f})$ , $D_{f}$ sorozatkompakt, f injektív $\Rightarrow f^{- 1} \in C (R_{f})$ .
Bizonyítás: legyen $y_{0} \in D_{f^{- 1}} = R_{f}$ . Belátjuk, hogy $f^{- 1} \in C [y_{0}]$ . Alkalmazzuk az átviteli elvet! Legyen $y_{k} \in D_{f^{- 1}} = R_{f}$ olyan, amelyre $\lim (y_{k}) = y_{0}$ . Belátandó: ${(f^{- 1} (y_{k}))}_{k \in ℕ} \to f^{- 1} (y_{0})$ . $x_{k} : = f^{- 1} (y_{k}), x_{0} : = f^{- 1} (y_{0}) \Rightarrow y_{k} = f (x_{k}), y_{0} = f (x_{0})$ , vagyis belátandó: $\lim (x_{k}) \to x_{0}$ . Indirekt bizonyítunk: ha ez nem lenne igaz, akkor $\exists ε_{0} > 0, x_{k_{l}} : ρ (x_{k_{l}}, x_{0}) \geq ε_{0}$ . Tekintsük az $(x_{k_{l}})$ sorozatot, amelyre $x_{k_{l}} \in D_{f}$ . Tudjuk, hogy $D_{f}$ sorozatkompakt, ekkor $\exists (x_{k_{l_{j}}}) : \lim (x_{k_{l_{j}}}) = x * \in D_{f}$ , de mivel $f \in C [x *] \Rightarrow \lim_{j \to \infty} f (x_{k_{l_{j}}}) = f (x *)$ és mivel $\lim_{j \to \infty} f (x_{k_{l_{j}}}) = \lim (y_{k_{l_{j}}}) = y_{0} = f (x_{0}) \Rightarrow f (x_{0}) = f (x *)$ . De hát f injektív, vagyis $x_{0} = x *$ , ami meg ellentmondás, mert $\lim (x_{k_{l_{j}}}) = x * = x_{0}$ esetén $\exists j \in ℕ : ρ (x_{k_{l_{j}}}, x_{0}) < ε_{0}$ , de ez ellentmond $ρ (x_{k_{l}}, x_{0}) \geq ε_{0}$ -nak.

A folytonos függvények alaptulajdonságai

Tétel: legyen X, Y metrikus terek, $f : X \to Y, f \in C (D_{f})$ , $D_{f}$ sorozatkompakt $\Rightarrow R_{f}$ is sorozatkompakt. (Weierstrass tétele).
Bizonyítás: legyen $(y_{k}) \subset R_{f}$ tetszőleges sorozat! Azt kell megmutatni, hogy $\exists (y_{k_{l}})$ részsorozata, mely konvergens és $\lim (y_{k_{l}}) \in R_{f}$ . Mivel $y_{k} \in R_{f} \Rightarrow \exists x_{k} \in D_{f} : f (x_{k}) = y_{k}$ . Mivel $D_{f}$ sorozatkompakt és $x_{k} \in D_{f} \Rightarrow \exists (x_{k_{l}}) : \lim (x_{k_{l}}) = x_{0} \in D_{f}$ . Mivel $f \in C [x_{0}] \Rightarrow \lim_{l \to \infty} f (x_{k_{l}}) = f (x_{0}) = y_{0} \in R_{f}$ , node $f (x_{k_{l}}) = y_{k_{l}}$ , ezért $\lim (y_{k_{l}}) = y_{0} \in R_{f}$ , és pont ezt akartuk belátni.

Következmények:

$D_{f}$ sorozatkompakt $\Rightarrow R_{f}$ korlátos és zárt (minden sorozatkompakt halmaz korlátos és zárt)
ha $Y = ℝ$ akkor is, ha $D_{f}$ sorozatkompakt $\Rightarrow R_{f} \subset ℝ$ korlátos és zárt. A korlátosság következménye: $\sup R_{f}, \inf R_{f}$ véges, és mivel az $R_{f}$ értékkészlet zárt $\Rightarrow \exists x_{1}, x_{2} \in D_{f} : f (x_{1}) = \inf f, f (x_{2}) = \sup f$

Példák arra, hogy miért szükséges feltenni, hogy $D_{f}$ sorozatkompakt ( $D_{f}, R_{f}$ sorozatkompaktsága $ℝ$ -ben azt jelenti, hogy a halmazok korlátosak és zártak)

$D_{f} = [0, \infty)$ zárt, de nem korlátos, $f (x) = x$ , ekkor $R_{f} = [0, \infty)$ nem korlátos
$D_{f} = (0,1], f (x) = \frac{1}{x}$ , ekkor $D_{f}$ korlátos, de nem zárt, $R_{f}$ pedig nem korlátos.

Megjegyzés: az a tény, hogy egy $f : X ↣ Y, f \in C [x_{0}] \Rightarrow \forall ε > 0 \exists δ > 0 : x \in B_{δ} (x_{0}) \cap D_{f} \Rightarrow f (x) \in B_{ε} (f (x_{0}))$ , ahol $δ$ függhet $ε$ -tól és $x_{0}$ -tól is.

Definíció: azt mondjuk, hogy X, Y metrikus terek esetén egy $f : X ↣ Y$ függvény egyenletesen folytonos, ha $\forall ε > 0 \exists δ > 0 : x_{1}, x_{2} \in D_{f}, ρ (x_{1}, x_{2}) < δ \Rightarrow ρ (f (x_{1}), f (x_{2})) < ε$ . Tehát ekkor $δ$ csak $ε$ -tól függ.

Tétel: ha f folytonos és $D_{f}$ sorozatkompakt $\Rightarrow f$ egyenletesen folytonos. (Heine tétele.)
Bizonyítás: tfh f folytonos, $D_{f}$ sorozatkompakt. Indirekt bizonyítunk: $\exists ε > 0 \forall δ > 0 : \exists x_{1}, x_{2} \in D_{f}, ρ (x_{1}, x_{2}) < δ$ , de $ρ (f (x_{1}), f (x_{2})) \geq ε$ . Legyen $δ : = \frac{1}{k}, k \in ℕ$ , ekkor tehát $\exists x_{k}, \tilde{x_{k}} \in D_{f} : ρ (x_{k}, \tilde{x_{k}}) < \frac{1}{k}$ de $ρ (f (x_{k}), f (\tilde{x_{k}})) \geq ε$ . Tudjuk, hogy $D_{f}$ sorozatkompakt, így $\exists (x_{k_{l}}) \subset D_{f} : \lim (x_{k_{l}}) = x_{0} \in D_{f}$ . Mivel $ρ (x_{k_{l}}, \tilde{x_{k_{l}}}) < \frac{1}{k}, \lim (\frac{1}{k}) = 0 \Rightarrow \lim (\tilde{x_{k_{l}}}) = \lim (x_{k_{l}}) = x_{0} \in D_{f}$ . Mivel $f \in C [x_{0}]$ , az átviteli elv alapján $\Rightarrow \lim_{l \to \infty} f (x_{k_{l}}) = f (x_{0}), \lim_{l \to \infty} f (\tilde{x_{k_{l}}}) = f (x_{0})$ , de ez meg ellentmondás a feltevésünkkel, miszerint $ρ (f (x_{k}), f (\tilde{x_{k}})) \geq ε$ .
Példák:

$D_{f} = [0, \infty)$ ez zárt, de nem korlátos, $f (x) : = x^{2}$ nem egyenletesen folytonos
$D_{f} = (0,1]$ ez korlátos, de nem zárt, $f (x) : = \frac{1}{x}$ nem egyenletesen folytonos.

Tétel: legyen $f : [a, b] \to ℝ, f \in C [a, b], f (a) \neq f (b)$ , ekkor tetszőleges $η \in (f (a), f (b))$ számhoz $\exists ξ \in (a, b) : f (ξ) = η$ . (Bolzano tétel)
Bizonyítás: tekintsük a következő halmazt: $M : = {x \in [a, b] : f (x) < η} \subset [a, b] \Rightarrow M \neq \emptyset$ mivel $a \in M$ , továbbá M korlátos. Legyen $ξ : = \sup M$ . Belátjuk, hogy $f (ξ) = η$ . Indirekt bizonyítunk: $f (ξ) < η$ vagy $f (ξ) > η$ nem lehetséges.
Első eset: ha $f (ξ) < η$ lenne, akkor $f (b) > η \Rightarrow ξ \neq b$ , ezért $ξ$ -nek megadható olyan jobboldali környezete, ahol a függvényértékek $η$ -nál kisebbek, mert $f \in C [ξ]$ , vagyis $\exists δ > 0 : x \in [ξ, ξ + δ] \Rightarrow f (x) < η$ , ez pedig ellentmond annak, hogy $ξ = \sup M$ .
Második eset: ha $f (ξ) > η$ lenne, akkor $f (a) < η \Rightarrow ξ \neq a$ és $f \in C [a, b] \Rightarrow \exists δ > 0 : x \in [ξ - δ, ξ] \Rightarrow f (x) > η$ . Ez is ellentmond annak, hogy $ξ = \sup M = \sup {x \in [a, b] : f (x < η)}$ . Tehát mivel $f (ξ) > η, f (ξ) < η \Rightarrow f (ξ) = η$ .

Következmények: legyen $I \subset ℝ$ valamilyen intervallum (véges vagy végtelen, nyílt vagy zárt), és tfh $f : I \to ℝ, f \in C (I)$ . Ekkor $\forall x_{1}, x_{2} \in I, y \in (f (x_{1}), f (x_{2}))$ esetén $\exists x_{0} \in (x_{1}, x_{2}) : f (x_{0}) = y$ .
Megjegyzés: az ilyen tulajdonságú függvényeket Darboux tulajdonságúaknak nevezzük. A Bolzano-tétel kimondja, hogy ha $f : I \to ℝ, f \in C (I) \Rightarrow$ f Darboux tulajdonságú.
Példa: $f (x) = {\begin{matrix} \sin \frac{1}{x} & ha 0 < x \leq 1 \\ 0 & ha x = 0 \end{matrix}$ . Ez a függvény Darboux tulajdonságú, de nem folytonos 0-ban.

Állítás: egy $A \subset ℝ$ halmaz intervallum $\Leftrightarrow \forall x_{1}, x_{2} \in A, \forall x \in (x_{1}, x_{2})$ esetén $x \in A$ .
Ezen állítás segítségével a Bolzano tétel így is megfogalmazható:

Tétel: ha I intervallum, és $f : I \to ℝ, f \in C (I) \Rightarrow R_{f}$ is intervallum.

Alkalmazás:

$I : = [0, \infty), f (x) = x^{n}, n \in ℕ$ ! Ekkor a tétel szerint mivel f folytonos, $R_{f}$ valamilyen intervallum, f szigorúan monoton nő, $f (0) = 0, \lim_{x \to \infty} f (x) = \infty \Rightarrow R_{f} = [0, \infty) \Rightarrow D_{f^{- 1}} = [0, \infty)$
$I = ℝ, f : I \to ℝ, f (x) = e^{x} \Rightarrow f (x) \in C (I), \lim_{x \to - \infty} f (x) = 0, \lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ , f szigorúan monoton nő, $R_{f} = (0, \infty) \Rightarrow D_{f^{- 1}} \equiv D_{\ln} = (0, \infty)$ .

10.13

Bolzano-tétel metrikus terekben

Definíció: Legyen X metrikus tér, $[α, β] \subset ℝ, φ : [α, β] \to X, φ \in C [α, β]$ . Ekkor azt mondjuk, hogy $φ$ folytonos ívet, görbét határoz meg az X-ben. $R_{φ} = {φ (t) : t \in [α, β]} \subset X$ . Ekkor $φ (α)$ és $φ (β)$ -t a görbe végpontjainak nevezzük. (Megj: van, amikor $φ$ -t nevezzük görbének, nem pedig a „képét”.)

Definíció: azt mondjuk, hogy az $A \subset X$ halmaz ívszerűen összefüggő, ha az A halmaz bármely két pontja összeköthető az A-ban haladó folytonos görbével, ívvel, vagyis $\forall a, b \in A \exists φ : [α, β] \to X, φ \in C [α, β]$ , hogy $φ (α) = a, φ (β) = b, t \in (α, β) \Rightarrow φ (t) \in A$

Tétel: legyenek X, Y metrikus terek, $f : X ↣ Y, f \in C (D_{f})$ ! Ha $D_{f}$ ívszerűen összefüggő, akkor $R_{f}$ is.
Bizonyítás: legyenek $y_{1}, y_{2} \in R_{f}$ . Belátjuk, hogy $y_{1}, y_{2}$ összeköthető $R_{f}$ -ben haladó folytonos ívvel. Mivel $y_{1}, y_{2} \in R_{f} \Rightarrow \exists x_{1}, x_{2} \in D_{f} : f (x_{1}) = y_{1}, f (x_{2}) = y_{2}$ . Mivel $D_{f}$ ívszerűen összefüggő $\Rightarrow \exists φ : [α, β] \to X, φ \in C [α, β]$ , hogy $φ (α) = x, φ (β) = x_{2}, t \in (α, β) \Rightarrow φ (t) \in D_{f}$ . Legyen $ψ : [α, β] \to Y, ψ : = f \circ φ$ ekkor $ψ$ folytonos (kompozíció függvény tulajdonságából), továbbá $t \in (α, β) \Rightarrow ψ (t) = f (φ (t)) \in R_{f}$ , sőt, $ψ (α) = f (φ (α)) = f (x_{1}) = y_{1}, ψ (β) = f (φ (β)) = f (x_{2}) = y_{2}$ .

Definíció: azt mondjuk, hogy az $A \subset X$ összefüggő (topológiai értelemben), ha nem adható meg $G_{1}$ és $G_{2}$ diszjunkt nyílt halmaz úgy, hogy $G_{1} \cup G_{2} \supset A, A \cap G_{1} \neq \emptyset, A \cap G_{2} \neq \emptyset$ .
Megjegyzés: belátható, hogy ha A ívszerűen összefüggő, akkor összefüggő.

Tétel: legyenek X, Y metrikus terek, $f : X ↣ Y, f \in C (D_{f})$ ! Ha $D_{f}$ összefüggő $\Rightarrow R_{f}$ is. (Bolzano-tétel metrikus térben.)

Függvénysorok és sorozatok egyenletes konvergenciája

Definíció: legyenek X, Y metrikus terek, $M \subset X$ , és $\forall j \in ℕ$ -re $f_{j} : M \to Y$ . Azt mondjuk, hogy $f_{j}$ függvények függvénysorozatot alkotnak, jelölése ${(f_{j})}_{j \in ℕ}$ .

Definíció: azt mondjuk, hogy az $f_{j} : M \to Y$ függvényekből álló sorozat pontonként tart egy $f : M \to Y$ függvényhez, ha $\forall x \in M, \lim_{j \to \infty} f_{j} (x) = f (x)$ .
Kérdés: feltéve, hogy $f_{j} \in C (M)$ minden j-re, $\Rightarrow f \in C (M)$ ? Általában nem. Pl: $f_{j} (x) = x^{j},0 \leq x \leq 1, j \in ℕ$ , ekkor $\forall f_{j} \in C (M)$ , de $\lim_{j \to \infty} f_{j} (x) = {\begin{matrix} 0 & ha 0 \leq x < 1 \\ 1 & ha x = 1 \end{matrix}$ .

Definíció: azt mondjuk, hogy az $f_{j} : M \to Y$ függvényekből álló sorozat egyenletesen tart az $f : M \to Y$ függvényhez, ha $\forall ε > 0 \exists j_{0} \in ℕ : j > j_{0} \Rightarrow ρ (f_{j} (x), f (x)) < ε, \forall x \in M$ .
Megjegyzés: $j_{0}$ csak $ε$ -tól függ, és nem függ x-től. (Pontonkénti konvergencia esetén függhet x-től.)

Példa: $f_{j} (t) : = t^{j},0 < a < 1,0 \leq t \leq a$ , ekkor $f_{j}$ egyenletesen tart 0-hoz a $[0, a]$ -n. Ugyanis legyen $ε > 0$ tetszőleges, $0 \leq t^{j} < ε$ esetén $0 \leq t^{j} < ε$ mikor teljesül? Válasszuk meg $j_{0}$ számot úgy, hogy $j > j_{0}$ esetén $a^{j} < ε$ . Ezt mindig megtehetjük, ugyanis $0 < a < 1$ , így $0 \leq t \leq a$ esetén $t^{j} \leq a^{j} \leq ε$ .

Tétel: legyen $f_{j} : M \to Y, M \subset X, f_{j} \in C (D_{f})$ . Ha $(f_{j})$ függvénysorozat egyenletesen tart egy $f : M \to Y$ függvényhez, akkor f folytonos.
Bizonyítás: legyen $x_{0} \in M$ . Belátjuk, hogy $f \in C [x_{0}]$ . Tetszőleges $x \in M$ esetén $ρ (f (x), f (x_{0})) \leq ρ (f (x), f_{j} (x)) + ρ (f_{j} (x), f_{j} (x_{0})) + ρ (f_{j} (x_{0}), f (x_{0}))$ . Legyen $\frac{ε}{3} > 0$ tetszőleges, ezért mivel $(f_{j})$ egyenletesen tart f-hez, $\exists j_{0} : j > j_{0} \Rightarrow ρ (f (x), f_{j} (x)) < \frac{ε}{3}, ρ (f (x_{0}), f_{j} (x_{0})) < \frac{ε}{3}$ . Választhatunk egy rögzített $j > j_{0}$ -t, mondjuk $j = j_{0} + 1$ . Továbbá tudjuk, hogy $f_{j} \in C [x_{0}] \Rightarrow \exists δ > 0 : x \in M, ρ (x, x_{0}) < δ \Rightarrow ρ (f_{j} (x), f_{j} (x_{0})) < \frac{ε}{3}$ , tehát $ρ (f (x), f (x_{0})) \leq \underset{< ε / 3 mivel j > j_{0}}{\underset{︸}{ρ (f (x), f_{j} (x))}} + \underset{< ε / 3 ha x \in B_{δ} (x_{0})}{\underset{︸}{ρ (f_{j} (x), f_{j} (x_{0}))}} + \underset{< ε / 3 mivel j > j_{0}}{\underset{︸}{ρ (f_{j} (x_{0}), f (x_{0}))}} < ε$ .
Megjegyzés: $f_{j} (t) : = t^{j},0 \leq t \leq 1$ függvények esetén $(f_{j})$ függvénysorozat nem tart egyenletesen az f függvényhez.

Definíció: legyen X metrikus tér, $Y = ℝ, M \subset X, g_{k} : M \to ℝ$ ( $ℝ$ helyett lehetne $ℂ$ is). Ekkor tekintsük a következő függvénysorozatot: $f_{j} : = \sum_{k = 1}^{j} g_{k}$ . Az ilyen módon értelmezett $(f_{j})$ sorozatot a $g_{k}$ tagokból álló függvénysornak nevezzük.

Definíció: azt mondjuk, hogy a $g_{k}$ tagokból álló sor pontonként konvergens és összege $f : M \to ℝ$ függvény, ha $\forall x \in M$ esetén $g_{k} (x)$ tagokból álló számsor konvergens $ℝ$ -ben, és a sor összege $f (x)$ , és ezt így jelöljük: $\sum_{k = 1}^{\infty} g_{k} (x) = f (x)$ jelöljük.
Megjegyzés: $\sum_{k = 1}^{\infty} g_{k} (x) \equiv \lim_{j \to \infty} f_{j} (x) = \lim_{j \to \infty} \sum_{k = 1}^{j} g_{j} (x)$ .

Definíció: azt mondjuk, hogy a $(g_{k})$ tagokból álló függvénysor egyenletesen konvergál egy $f : M \to ℝ$ függvényhez, ha $f_{j} = \sum_{k = 1}^{j} g_{k}$ esetén $(f_{j})$ függvénysorozat egyenletesen tart f-hez.

Tétel: tfh $g_{k} : M \to ℝ$ folytonos és a $g_{k}$ tagokból álló sor egyenletesen konvergál egy $f : M \to ℝ$ függvényhez $\Rightarrow f \in C (D_{f})$ .
Bizonyítás: $f_{j} = \sum_{k = 1}^{j} g_{k}$ folytonos, $\lim (f_{j}) = f$ -hez egyenletesen konvergál $\Rightarrow f \in C (D_{f})$ .

Tétel: tfh $g_{k} : M \to ℝ$ függvényekre teljesül, hogy $| g_{k} | \leq a_{k}, a_{k} \in ℝ$ és $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} < \infty$ . Ekkor a $(g_{k})$ tagokból álló függvénysor egyenletesen konvergens.
Bizonyítás: legyen $x \in M$ tetszőleges, rögzített pont. Először belátjuk, hogy $\sum_{k = 1}^{\infty} | g_{k} (x) | < \infty$ . Legyen $f_{j} (x) : = \sum_{k = 1}^{j} g_{k} (x)$ , ekkor $\exists j_{0} : j > l > j_{0} \Rightarrow | f_{j} (x) - f_{l} (x) | = | \sum_{k = l + 1}^{j} g_{k} (x) | \leq \sum_{k = l + 1}^{j} | g_{k} (x) | \leq \sum_{k = l + 1}^{j} a_{k} < ε$ , mivel $\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} < \infty$ , vagyis ${(f_{j} (x))}_{j \in ℕ}$ számsorozatra teljesül a Cauchy-kritérium. Mivel $ℝ$ teljes tér $\Rightarrow \exists f (x) \in ℝ : \lim_{j \to \infty} f_{j} (x) = f (x)$ , vagyis a $| g_{k} (x) |$ és a $g_{k} (x)$ tagokból álló függvénysor konvergens.
Belátjuk, hogy a sor, illetve a vele ekvivalens $(f_{j})$ függvénysorozat egyenletesen konvergál f-hez. Legyen $ε > 0$ tetszőleges, a fentiek szerint, $j \to \infty$ határátmenetben a fenti egyenlőtlenségből kapjuk, hogy $| f (x) - f_{l} (x) | \leq \sum_{k = l + 1}^{\infty} a_{k} < ε, \forall x \in M$ , ha $l > j_{0}$ . De hisz ez pont az jelenti, hogy $f_{k}$ egyenletesen tart f-hez.

Hatványsorok

Definíció: egy $c_{j} x^{j}, x \in ℝ, c_{j} \in ℝ, j = 0,1,2...$ tagokból álló függvénysort hatványsornak nevezünk.
Megjegyzés: a hatványsor tagjai folytonos függvények.
Kérdés: a hatványsor mely x-ekre konvergens, illetve egyeneltesen konvergens?

Definíció: legyen $a_{k} \in ℝ, k \in ℝ$ . Az ${(a_{k})}_{k \in ℕ}$ valós számsorozat limesz szuperiorját illetve limesz inferiorját így értelmezzük: $limsup {(a_{k})}_{k \in ℕ} = \underset{k \to \infty}{limsup} a_{k}$ jelenti azt a legnagyobb valós számot (vagy végtelent), amelyhez az $(a_{k})$ egy alkalmas részsorozata konvergál. Ezzel analóg a $liminf (a_{k})$ .
Megjegyzés:

mindig létezik limesz inferior és limesz szuperior
ha $\exists \lim (a_{k}) \Rightarrow \lim (a_{k}) = limsup (a_{k}) = liminf (a_{k})$
$limsup (a_{k}) = \lim_{k \to \infty} [\sup {a_{k}, a_{k + 1},...}]$

Tétel: legyen $R : = \frac{1}{limsup \sqrt[k]{| c_{k} |}}$ . Ha a nevező nulla lenne, akkor $R : = \infty$ , ha végtelen, akkor $R : = 0$ . Ekkor $| x | < R$ esetén a hatványsor konvergens, $| x | > R$ esetén pedig divergens.
Bizonyítás: a gyökkritérium alapján…

Tétel: legyen $0 < R_{0} < R$ , ekkor a hatványsor egyenletesen konvergens az $R_{0}$ sugarú intervallumban (vagy körben).
Bizonyítás: Weierstrass kritériummal bizonyítjuk. Legyen $g_{j} (x) = c_{j} x^{j}, j = 0,1,...$ , ekkor $| g_{j} (x) | = | c_{j} x^{j} | = | c_{j} | | x^{j} | \leq | c_{j} | R_{0}^{j}$ . Azt kellene belátni, hogy $| c_{j} | R_{0}^{j}$ tagokból álló sor konvergens. Alkalmazzuk erre a gyökkritériumot! $\sqrt[j]{| c_{j} | R_{0}^{j}} = R_{0} \sqrt[j]{| c_{j} |}, \underset{j \to \infty}{limsup} \sqrt[j]{| c_{j} | R_{0}^{j}} = R_{0} \underset{j \to \infty}{limsup} \sqrt[j]{| c_{j} |} = \frac{R_{0}}{R} < 1 \Rightarrow \sum_{j = 1}^{\infty} | c_{j} | R_{0}^{j}$ konvergens (ez a gyökkritérium).

Következmény: a hatványsor összege folytonos a konvergenciakör belsejében. Például $e^{x} = \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{x^{j}}{j!}$ , ennek a konvergencia-sugara végtelen, mert $R = \frac{1}{limsup \sqrt[n]{1 / n!}} = limsup \sqrt[n]{n!} = \infty$ .

10.20

Differenciálhatóság

Definíció: egy $f : ℝ ↣ ℝ$ vagy $ℂ ↣ ℂ$ függvényt az $x_{0}$ pontban differenciálhatónak nevezünk, ha $x_{0} \in int D_{f}$ és $\exists \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ és véges $\Leftrightarrow \exists \lim_{ε \to 0} \frac{f (x_{0} + ε) - f (x_{0})}{ε}$ és véges.
Megjegyzés: Hogy egy ilyen definíciót továbbvihessünk "többváltozós" függvényekre, szükségünk van a lineáris leképezések vizsgálatára.

Lineáris leképezések

Definíció: legyen X vektortér, azt mondjuk, hogy az $M \subset X$ halmaz elemei lineárisan függetlenek, ha bármely M -beli véges sok elemre $\sum_{i} α_{i} x_{i} = 0 \Leftrightarrow α_{i} = 0$ . Gyakran M-et nevezzük lineárisan függetlennek, nem pedig az elemeit.

Állítás: egy vektortér lineárisan független elemeinek maximális száma egyértelmű.

Definíció: az X vektortér dimenziójának nevezzük az X-beli lineárisan független elemek maximális számát (véges vagy végtelen is lehet).

Definíció: legyenek X és Y vektorterek, $M \subset X$ ! Egy $A : M \to Y$ leképezést lineárisnak nevezünk, ha

$x_{1}, x_{2} \in M \Rightarrow x_{1} + x_{2} \in M$ , és $x \in M, λ \in ℝ \Rightarrow λ x \in M$
$A (x_{1} + x_{2}) = A (x_{1}) + A (x_{2})$ (additivitás)
$A (λ x_{1}) = λ A (x_{1})$ (homogenitás)

Megjegyzés: az első feltétel M-től megköveteli, hogy lineáris altér legyen, azonban gyakran A-t egy X-ről Y-ba képező függvényként definiáljuk, így M-re nincs is szükség.

Példák: $X : = ℝ^{n}, Y : = ℝ^{m}, A : ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ lineáris leképezés. Ekkor egyértelműen létezik egy olyan $𝒜$ mátrix, hogy $𝒜 x = A x$ , és $𝒜$ ilyen alakú: $𝒜 : = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$

Definíció: jelölje a $lin (X, Y) = L (X, Y)$ az összes $X \to Y$ lineáris leképezések halmazát!

Definíció: legyen X, Y vektorterek, $A \in lin (X, Y), B \in lin (X, Y)$ , ekkor $A + B$ -t így értelmezzük: $(A + B) (x) = \underset{\in Y}{\underset{︸}{A x + B x}}, \forall x$ -re.

Állítás: $(A + B) \in lin (X, Y)$

Definíció: az $A \in lin (X, Y)$ -nek $λ \in ℝ$ számmal való szorzatát így értelmezzük: $(λ A) (x) = λ (A x)$ .
Megjegyzés: a homogenitás miatt a zárójelet elhagyhatjuk, a művelet egyértelmű marad.

Állítás: $λ A \in lin (X, Y)$

Tétel: $lin (X, Y)$ vektorteret alkot az előbbi két művelettel (vagyis az $A + B$ között értelmezett összeadással és $λ A$ -val értelmezett szorzással).

Definíció: legyenek $Y = X$ vektorterek! Egy $A \in lin (X, X), B \in lin (X, X)$ szorzatát így értelmezzük: $(A B) (x) = A (B (x))$ , vagyis mint kompozíció, tehát $A B \equiv A \circ B$ .

Állítás: $A B \in lin (X, X)$ .

Definíció: legyen

$I : X \to X, I x = x \forall x \in X$ és
$0 : X \to X, 0 x = 0 \in X \forall x \in X$

Ekkor $I \in lin (X, X)$ és $0 \in lin (X, X)$ . Így igaz a következő

Tétel: $lin (X, X)$ -ben érvényesek a következők:

$(A + B) C = A C + B C$
$C (A + B) = C A + C B$
$λ_{\in ℝ} (A B) = (λ A) B$
$\exists! 0 \in lin (X, X) : 0 A = A 0 = 0 \forall A$
$\exists! I \in lin (X, X) : I A = A I = A \forall A$

Definíció: egy $A \in lin (X, X)$ hatványait így értelmezzük: $A^{0} = I$ , $A^{1} = A$ , $A^{2} = A A$ … $A^{n} = \underset{n db}{\underset{︸}{A A ... A}} = A A^{n - 1} = A^{n - 1} A$ .

Állítás: legyen $X : = ℝ^{n}$ és $A, B \in lin (ℝ^{n}, ℝ^{n})$ . Ha $𝒜 \Leftrightarrow A, ℬ \Leftrightarrow B$ , akkor $𝒜 ℬ \Leftrightarrow A B$ . (Itt $𝒜 \Leftrightarrow A$ azt jelenti, hogy $A x = 𝒜 x$ ; $𝒜 ℬ$ mátrixszorzást jelent).

Definíció: legyen X vektortér, $A \in lin (X, X)$ ! Azt mondjuk, hogy $λ \in ℝ$ szám az A leképezés sajátértéke és $x \in X, x \neq 0$ pedig a sajátvektora, ha $A x = λ x$ .

Definíció: a $ψ$ sajátérték rangjának (vagy geometriai multiplicitásának) a $ψ$ -hoz tartozó lineárisan független sajátelemek (sajátvektorok) maximálás számát nevezzük.
Megjegyzés: a $ψ$ -hoz tartozó sajátvektorok alteret alkotnak.
Speciális eset: $X : = ℝ^{n}, A \Leftrightarrow 𝒜, I \Leftrightarrow ℰ = (\begin{matrix} 1 & 0 & ⋱ \\ 0 & ⋱ & 0 \\ ⋱ & 0 & 1 \end{matrix})$ : $\det (𝒜 - λ ℰ) = 0$ egyenlet megoldásai adják a $ψ$ sajátértékeket.

Lineáris leképezések inverze

Legyen X vektortér! Egy $A \in lin (X, X)$ leképezésnek mikor van inverze? (Tudjuk, hogy az inverz csak akkor értelmezhető, ha a függvény injektív).

Tétel: egy $A \in lin (X, X)$ leképezésnek pontosan akkor van inverze, ha $A x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ , vagyis ha $\ker A = {0}$ .
Bizonyítás: belátjuk, hogy A injektív, ha $\ker A = 0$ , illetve $\ker A = 0$ ha A injektív. Első része: legyen $x_{1}, x_{2} \in X$ és $A x_{1} = A x_{2} \Rightarrow A (x_{1} - x_{2}) = 0$ , mivel $\ker A = 0$ , ezért $\Rightarrow x_{1} - x_{2} = 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2}$ , tehát A injektív, ha $\ker A = 0$ .
Most belátjuk, hogy $\ker A = 0$ ha A injektív, vagyis $A x = 0 \Rightarrow x = 0$ . $A 0 = 0$ és A injektív $\Rightarrow x = 0$ .

Állítás: $A \in lin (X, X)$ injektív $\Rightarrow A^{- 1} \in lin (X, X)$

Állítás: legyen $A \in lin (X, X)$ olyan, hogy $\exists B \in lin (X, X) : A B = B A = I$ , ekkor $\exists A^{- 1}$ és $A^{- 1} = B$ .

Lineáris és folytonos operátorok

Legyen a továbbiakban X, Y normált tér, $A \in lin (X, Y)$ .
Kérdés: következik-e ebből, hogy A folytonos is? Általában nem.

Állítás: legyen $A \in lin (ℝ^{n}, ℝ^{m})$ , ekkor A folyonos.
Bizonyítás: legyen $𝒜$ mátrix, melyre $𝒜 x = A x$ . Becsüljük meg ~~amink van~~ $| A x |$ -t! ${| A x |}^{2} = {| 𝒜 x |}^{2} = \sum_{j = 1}^{m} y_{j}^{2} \leq \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} a_{j k}^{2} \sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2} = {| x |}^{2} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n} a_{j k}^{2}$ (lásd a megjegyzést), vagyis ${| A x |}^{2} \leq c^{2} {| x |}^{2} \Rightarrow | A x | \leq c | x |$ , így $| A x - A x_{0} | \leq c | x - x_{0} |$ . Legyen $ε > 0$ tetszőleges, $δ : = \frac{ε}{c} > 0$ . Ha $| x - x_{0} | < δ = \frac{ε}{c} \Rightarrow | A x - A x_{0} | < c \frac{ε}{c} = ε$ .
Megjegyzés: az első számítás során felhasználtuk, hogy $y_{j} = {(𝒜 x)}_{j} = \sum_{k = 1}^{m} a_{j k} x_{k} \Rightarrow y_{j}^{2} \leq (\sum_{k = 1}^{m} a_{j k}^{2}) (\sum_{k = 1}^{m} x_{k}^{2})$ . (Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség).

Definíció: legyen X, Y normált tér, $A \in lin (X, Y)$ ! Az A leképezést korlátosnak nevezzük, ha $\exists c \geq 0, c \in ℝ : ‖ A x ‖ \leq c ‖ x ‖, \forall x \in X$ -re.

Tétel: legyen $A \in lin (X, Y)$ . Ekkor A folytonos $\Leftrightarrow A$ korlátos.
Bizonyítás: $\Leftarrow$ irányban: tfh A korlátos, vagyis $\exists c \geq 0 : ‖ A x ‖ \leq c ‖ x ‖$ . Legyen $x_{0} \in X$ . Azt szeretnénk belátni, hogy $\forall ε > 0 \exists δ > 0 : ‖ x - x_{0} ‖ < δ \Rightarrow ‖ A x - A x_{0} ‖ < ε$ . Tudjuk, hogy $‖ A x - A x_{0} ‖ = ‖ A (x - x_{0}) ‖ \leq c ‖ x - x_{0} ‖$ , ezért legyen $δ : = \frac{ε}{c} > 0$ , így $‖ A x - A x_{0} ‖ < c \frac{ε}{c} = ε$ .
$\Rightarrow$ irányban indirekt: tfh A nem korlátos, de folytonos, vagyis a nem korlátosságból adódóan $\forall c > 0 \exists x : ‖ A x ‖ > c ‖ x ‖$ . Ekkor $\forall n \in ℕ$ számhoz $\exists x_{n} \in X : ‖ A x_{n} ‖ > n ‖ x_{n} ‖, c : = n$ . Legyen $\tilde{x_{n}} : = \frac{x_{n}}{n ‖ x_{n} ‖}$ , ekkor $‖ \tilde{x_{n}} ‖ = \frac{1}{n} \frac{‖ x_{n} ‖}{‖ x_{n} ‖} = \frac{1}{n}$ , vagyis $\lim (\tilde{x_{n}}) = 0$ . Mivel A folytonos, így az átviteli elv segítségével $\lim ‖ A \tilde{x_{n}} ‖ = 0$ , de tudjuk, hogy $‖ A \tilde{x_{n}} ‖ = ‖ A \frac{x_{n}}{n ‖ x_{n} ‖} ‖ > \frac{n ‖ x_{n} ‖}{n ‖ x_{n} ‖} = 1$ , tehát azt kaptuk, hogy $‖ A \tilde{x_{n}} ‖ > 1 \forall n$ -re, de ez meg ellentmond annak, hogy $\lim ‖ A \tilde{x_{n}} ‖ = 0$

Definíció: egy f függvényt akkor nevezünk folytonosan differenciálhatónak egy $[α, β]$ -n, ha folytonos az $[α, β]$ -n, differenciálható a $(α, β)$ -n és a deriváltjának létezik folytonos kiterjesztése az $[α, β]$ -ra. Ezt a tényt így jelöljük: $f \in C^{1} [0,1]$ .
Példa lineáris, nem korlátos operátorra: $X : = C [0,1]$ , művelet a szokásos összeadás és skalárral való szorzás, a norma $‖ f ‖ = \sup | f |$ . Legyen $f \in D_{A} = C^{1} [0,1] \subset X$ , ahol A a differenciáloperátor, vagyis $A f : = f' \in X$ . Vegyük észre, hogy $A \in lin (X, X)$ , de nem folytonos. Ugyanis: az $f_{j} (t) = \frac{1}{j} e^{- j t}, j \in ℕ, t \in [0,1]$ függvények folytonosan differenciálhatóak, normájuk $‖ f_{j} (t) ‖ = \frac{1}{j} \Rightarrow \lim_{j} ‖ f_{j} ‖ = 0$ . Továbbá $f_{j}' (t) = - e^{- j t} \Rightarrow ‖ f_{j}' (t) ‖ = 1 \Rightarrow \lim_{j} ‖ f_{j}' ‖ = \lim_{j} ‖ A f_{j} ‖ = 1$ . Eszerint az $A f = f'$ , f folytonosan differenciálható, $C [0,1] ↣ C [0,1]$ operátor nem folytonos, de lineáris (az A operátor a $[0,1]$ intervallumon folytonos függvények halmazából képez a $[0,1]$ intervallumon folytonos függvények halmazába).

11.04

Adott vektortérhez többféleképp is értelmezhető norma. Folytonos függvényekre (amik vektorteret alkotnak) egy lehetséges norma a következő: ${‖ f ‖}_{1} = \int_{0}^{1} | f |$ vagy akár a következő: ${‖ f ‖}_{\infty} = \sup {| f | : t \in [0,1]}$ . Ez utóbbira lássuk be a norma tulajdonságait!

$‖ f ‖ = 0 \Leftrightarrow f = 0$ láthatóan teljesül
$‖ λ f ‖ = \sup {| λ f (t) | : t \in [0,1]} = \sup {| λ | | f (t) | : t \in [0,1]} = | λ | \sup {| f (t) | : t \in [0,1]} = | λ | \cdot ‖ f ‖$
$‖ f + g ‖ = \sup {| f + g | (t) : t \in [0,1]} \leq \sup {| f (t) | + | g (t) | : t \in [0,1]} \leq$ $\leq \sup {| f (t) | : t \in [0,1]} + \sup {| g (t) | : t \in [0,1]}$

Definíció: legyen X, Y normált tér, $A \in lin (X, Y)$ és korlátos. Értelmezzük az A operátor normáját! $‖ A ‖ : = \sup {‖ A x ‖ : ‖ x ‖ = 1}$ . Belátandó, hogy a norma tulajdonságai teljesülnek. Mivel A korlátos, $\exists c \in ℝ : ‖ A x ‖ \leq c ‖ x ‖ = c$ , ha $‖ x ‖ = 1$ .

Nyilván $‖ A ‖ \geq 0$ és $A = 0 \Rightarrow ‖ A ‖ = 0$ . Fordítva: $‖ A ‖ = 0 \Rightarrow ‖ A x ‖ = 0 \forall x \in X, ‖ x ‖ = 1$ . Bizonyítandó, hogy ekkor $A = 0 \Leftrightarrow A z = 0 \forall z \in X$ . Ekkor $A z = A (\frac{z}{‖ z ‖} ‖ z ‖) = ‖ z ‖ A \underset{normája 1}{\underset{︸}{(\frac{z}{‖ z ‖})}} = ‖ z ‖ 0 = 0, \forall z \in X \Leftrightarrow A = 0$ .
$‖ λ A ‖ = \sup {‖ (λ A) x ‖ | ‖ x ‖ = 1} = \sup {| λ | ‖ A x ‖ | ‖ x ‖ = 1} = | λ | \sup {‖ A x ‖ | ‖ x ‖ = 1} = λ ‖ A ‖$ .
$‖ A + B ‖ = \sup {‖ (A + B) x ‖ : ‖ x ‖ = 1} \leq \sup {‖ A x ‖ + ‖ B x ‖ : ‖ x ‖ = 1} \leq$ $\leq \sup {‖ A x ‖ : ‖ x ‖ = 1} + \sup {‖ B x ‖ : ‖ x ‖ = 1} = ‖ A ‖ + ‖ B ‖$ .

Tétel: legyen X, Y normált tér! Tekintsük a korlátos, $lin (X, Y)$ -beli operátorokat az összeadással és számmal való szorzással és az előbb értelmezett normával. Ez normált teret alkot és $L (X, Y)$ -nak jelöljük.
Megjegyzés: az X-en értelmezett Y-ba képező korlátos lineáris operátorok a szokásos műveletekkel vektorteret alkotnak, mert 2 korlátos, folytonos operátor összege is folytonos, korlátos és skalár szorosa is korlátos (utóbbi ekvivalens a folytonossággal, mint bizonyítottuk).

Állítás: legyen $A \in L (X, Y)$ ! Ekkor $‖ A ‖ = \min {c \geq 0 : ‖ A x ‖ \leq c ‖ x ‖, \forall x \in X}$ .
Bizonyítás: $α : = \inf {c \geq 0 : ‖ A x ‖ \leq c ‖ x ‖ \forall x \in X}$ . Mivel $‖ A ‖ = \sup {‖ A x ‖ | ‖ x ‖ = 1} \Rightarrow \forall z \in X \ {0}$ elemet véve $z = \frac{z}{‖ z ‖} ‖ z ‖$ . Ekkor $‖ A z ‖ = ‖ A \frac{z}{‖ z ‖} ‖ z ‖ ‖ = ‖ z ‖ \cdot (A (\frac{z}{‖ z ‖})) \leq$ $\leq ‖ z ‖ \cdot ‖ A ‖ \Rightarrow ‖ A ‖ \in {c \geq 0 : ‖ A x ‖ \leq c ‖ x ‖, \forall x \in X} \Rightarrow α \leq ‖ A ‖$ . Belátjuk, hogy $α < ‖ A ‖$ nem lehet, ha ugyanis $α < ‖ A ‖$ lenne, akkor $\exists c : 0 \leq c < ‖ A ‖, ‖ A x ‖ \leq c ‖ x ‖$ , de ekkor $‖ A ‖ = \sup {‖ A x ‖ | ‖ x ‖ = 1} \leq \sup {c ‖ x ‖ | ‖ x ‖ = 1} = c$ lenne, ami ellentmond $c < ‖ A ‖$ -nak.

Tétel: legyen X normált, Y teljes normált tér, ekkor $L (X, Y)$ normált tér is teljes.
Bizonyítás: legyen ${(A_{j})}_{j \in ℕ}$ Cauchy-sorozat az $L (X, Y)$ normált térben, vagyis $\forall ε > 0 \exists k_{0} : j, k > k_{0} \Rightarrow ‖ A_{j} - A_{k} ‖ < ε$ . Be kellene látni, hogy $\exists A \in L (X, Y) : \lim_{j} ‖ A_{j} - A ‖ = 0$ . Legyen $x \in X$ tetszőleges rögzített elem! Tekintsük az ${(A_{j} x)}_{j \in ℕ}$ Y-beli sorozatot! Belátjuk, hogy erre teljesül a Cauchy-kritérium.
$‖ A_{j} x - A_{k} x ‖ = ‖ (A_{j} - A_{k}) x ‖ \leq ‖ A_{j} - A_{k} ‖ ‖ x ‖ \leq ε ‖ x ‖$ . Mivel Y tér teljes, $\exists \lim_{j \to \infty} (A_{j} x) = A (x) \in Y$ . $\lim_{j \to \infty} ‖ A_{j} x - A (x) ‖ = 0, \forall x \in X$ rögzített elemre. Nem nehéz belátni, hogy $A \in lin (X, Y)$ . Belátandó, hogy korlátos is. $‖ A_{j} x ‖ \leq ‖ A_{j} ‖ \cdot ‖ x ‖$ . Mivel $(A_{j})$ Cauchy sorozat, $\forall ε > 0 \exists j_{0} : j, k > j_{0} \Rightarrow ‖ A_{j} - A_{k} ‖ < ε$ . Legyen $ε : = 1, k : = j_{0} + 1$ , ekkor $‖ A_{j} - A_{j_{0} + 1} ‖ < 1$ ha $j > j_{0}$ . $A_{1}, A_{2} ... A_{j_{0}}, A_{k}$ véges sok operátor, ezek korlátosak. Ebből következik, hogy $\exists c : ‖ A_{j} ‖ \leq c, \forall j$ , továbbá a $‖ A_{j} x - A_{k} x ‖ \leq ε ‖ x ‖$ egyenlőtlenségből követkeik $k \to \infty$ esetben, hogy $‖ A_{j} x - A x ‖ \leq ε ‖ x ‖$ , tehát $‖ A_{j} x ‖ \to ‖ A x ‖ \leq c ‖ x ‖$ és $\lim_{j} ‖ A_{j} - A ‖ = 0$ .

Emlékeztető kalkulusról: $f : ℝ ↣ ℝ$ függvény differenciálható egy $x_{0}$ pontban, ha $\exists \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} : = f' (x_{0})$ . Legyen $ε (x) = \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} - f' (x_{0}) \Leftrightarrow f (x) - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + ε (x) (x - x_{0})$ , ekkor egy f differenciálható, ha $\lim_{x \to x_{0}} ε (x) = 0$ . Ha $f (x) - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + ε (x) (x - x_{0})$ teljesül úgy, hogy $\lim_{x \to x_{0}} ε (x) = 0 \Rightarrow f$ differenciálható. Módosítás: $η (x) : = ε (x) (x - x_{0})$ , ekkor $f (x) - f (x_{0}) = A (x - x_{0}) + η (x)$ , ahol $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{x - x_{0}} = 0$ . Ezt, az eredetivel ekvivalens meghatározást tovább lehet általánosítani normált terekre.

Definíció: legyenek X, Y normált terek, $f : X ↣ Y$ , $x_{0} \in int D_{f}$ ! Azt mondjuk, hogy f differenciálható az $x_{0} \in D_{f}$ pontban, ha $\exists A \in L (X, Y) : f (x) - f (x_{0}) = A (x - x_{0}) + η (x)$ és $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0 \in Y$ .
Megjegyzés: $X = Y = ℝ$ esetben visszaadja a klasszikus definíciót.

Állítás: ha f differenciálható az $x_{0}$ -ban, akkor A egyértelmű.
Bizonyítás: tfh $A, \tilde{A} \in L (X, Y) : f (x) - f (x_{0}) = A (x - x_{0}) + η (x)$ és $f (x) - f (x_{0}) = \tilde{A} (x - x_{0}) + \tilde{η} (x)$ ahol $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0 = \lim_{x \to x_{0}} \frac{\tilde{η} (x)}{‖ x - x_{0} ‖}$ . Belátjuk, hogy $A - \tilde{A} = 0$ .
Legyen $z \in X$ tetszőleges és $a \in ℝ \ {0}$ . Ekkor $x = x_{0} + a \cdot z$ benne van az $x_{0}$ kis környezetében, ha $| a |$ elég kicsi. Ekkor $0 = (A - \tilde{A}) (a z) + (η - \tilde{η}) (x_{0} + a z)$ . Osszuk mindkét oldalt a-val! $0 = (A - \tilde{A}) z + (η - \tilde{η}) (x_{0} + a z) / a$ , így $‖ \frac{(η - \tilde{η}) (x_{0} + a z)}{a} ‖ = \frac{‖ (η - \tilde{η}) (x_{0} + a z) ‖}{| a |} = \frac{‖ (η - \tilde{η}) (x_{0} + a z) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} ‖ z ‖ = \underset{\to 0 ha x \to x_{0}}{\underset{︸}{\frac{‖ (η - \tilde{η}) x ‖}{‖ x - x_{0} ‖}}} ‖ z ‖ \to 0$ , ezért $(A - \tilde{A}) z = 0, \forall z$

Definíció: ha f differenciálható az $x_{0}$ -ban, akkor az $A \in L (X, Y)$ korlátos lineáris operátort az f függvény $x_{0}$ beli deriváltjának nevezzük, és $f' (x_{0})$ -nak jelöljük.
Megjegyzés: $f' (x_{0}) \in L (X, Y)$ , továbbá erre igaz, hogy $f (x) - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + η (x)$ , ahol $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{x - x_{0}} = 0$ . Speciális eset: $A = f' (x_{0}) \in L (ℝ^{n}, ℝ^{m})$ , ennek megfeleltethető egy $𝒜$ mátrix: $𝒜 x = A x : 𝒜 = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ .

Állítás: ha f differenciálható $x_{0}$ -ban, akkor f folytonos $x_{0}$ -ban.
Bizonyítás: $f (x) - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + η (x)$ . Belátjuk, hogy $\lim_{x \to x_{0}} [f (x) - f (x_{0})] = 0$ . Egyrészt $‖ f' (x_{0}) (x - x_{0}) ‖ \leq ‖ f' (x_{0}) ‖ ‖ x - x_{0} ‖ \to 0 ha x \to x_{0}$ . Másrészt $‖ η (x) ‖ = \frac{‖ η (x) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} ‖ x - x_{0} ‖ \to 0 ha x \to x_{0}$ . Tehát $\lim_{x \to \infty} ‖ f (x) - f (x_{0}) ‖ = \lim_{x \to \infty} ‖ f' (x_{0}) (x - x_{0}) + η (x) ‖ \leq \lim_{x \to \infty} ‖ f' (x) (x - x_{0}) ‖ + \lim_{x \to \infty} ‖ η (x) ‖ = 0$ .

11.18

A deriválás művelete, műveleti szabályok

Tétel: tfh f és g differenciálható $x_{0}$ -ban $\Rightarrow f + g$ is, és $(f' + g') (x_{0}) = f' (x_{0}) + g' (x_{0})$ . Továbbá tetszőleges $λ \in ℝ$ esetén $λ f$ is differenciálható $x_{0}$ -ban és $(λ f)' (x_{0}) = λ (f' (x_{0}))$ .
Bizonyítás: mivel f differenciálható $x_{0}$ -ban $\Rightarrow f$ értelmezve van $B_{r_{1}} (x_{0})$ -n is, ha $r_{1}$ elég kicsi. Legyen $x \in B_{r_{1}} (x_{0})$ ! Ekkor $f (x) - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + η_{1} (x)$ , ahol $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η_{1} (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0$ . Mivel g differenciálható $x_{0}$ -ban $\Rightarrow g$ értelmezve van az $B_{r_{2}} (x_{0})$ -n is, ha $r_{2}$ elég kicsi. Legyen $x \in B_{r_{2}} (x_{0})$ , ekkor $g (x) - g (x_{0}) = g' (x_{0}) (x - x_{0}) + η_{2} (x)$ , ahol $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η_{2} (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0$ . Ezekből következik, hogy $r = \min {r_{1}, r_{2}}$ esetén, $x \in B_{r} (x_{0})$ -re: $[f (x) + g (x)] - [f (x_{0}) + g (x_{0})] = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + g' (x_{0}) (x - x_{0}) + η_{1} (x) + η_{2} (x) =$ $= [f' (x_{0}) + g' (x_{0})] (x - x_{0}) + [η_{1} (x) + η_{2} (x)]$ . Továbbá mivel $\frac{η_{1} (x) + η_{2} (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = \underset{\to 0 ha x \to x_{0}}{\underset{︸}{\frac{η_{1} (x)}{‖ x - x_{0} ‖}}} + \underset{\to 0 ha x \to x_{0}}{\underset{︸}{\frac{η_{2} (x)}{‖ x - x_{0} ‖}}} \to 0 ha x \to x_{0}$ , $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η_{1} (x) + η_{2} (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0$ .

Tétel (a kompozíció függvény deriválási szabálya): tfh $X, Y, Z$ normált terek, $f : X ↣ Y$ , $g : Y ↣ Z$ , ekkor $(g \circ f) : X ↣ Z$ . Tfh f differenciálható $x_{0} \in X$ -ban és g differenciálható $y_{0} \in Y$ -ban úgy, hogy $y_{0} = f (x_{0})$ . Ekkor $g \circ f$ is differenciálható $x_{0}$ -ban és $(g \circ f)' (x_{0}) = g' (f (x_{0})) f' (x_{0}) \in L (X, Z)$ .

Bizonyítás: mivel f differenciálható $x_{0}$ -ban, így f értelmezve van egy $B_{r} (x_{0})$ környezetben. Legyen $x \in B_{r_{1}} (x_{0})$ , ekkor $f (x) - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + η_{1} (x)$ ahol $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η_{1} (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0$ . Mivel g differenciálható $y_{0} = f (x_{0})$ -ban, ezért értelmezve van $y_{0}$ egy $B_{r_{2}} (y_{0})$ környezetében. Legyen $y \in B_{r_{2}} (y_{0})$ , ekkor $g (y) - g (y_{0}) = g' (y_{0}) \cdot (y - y_{0}) + η_{2} (y)$ és $\lim_{y \to y_{0}} \frac{η_{2} (y)}{‖ y - y_{0} ‖} = 0$ . Mivel $f \in C (x_{0}) \Rightarrow B_{r_{2}} (y_{0}) = B_{r_{2}} (f (x_{0}))$ környezethez $\exists B_{\tilde{r_{1}}} (x_{0}) : x \in B_{\tilde{r_{1}}} (x_{0}) \Rightarrow f (x) \in B_{r_{2}} (f (x_{0}))$ . Legyen $r_{1 *} : = \min {r_{1}, \tilde{r_{1}}}$ . $x \in B_{r_{1} *} (x_{0})$ esetén y helyébe $f (x)$ -t írhatunk a g-re vonatkozó egyenletben $\Rightarrow g (f (x)) - g (f (x_{0})) = g' (f (x_{0})) (f (x) - f (x_{0})) + η_{2} (f (x)) \Rightarrow (g \circ f) (x) - (g \circ f) (x_{0}) =$ $= g' (f (x_{0})) [f' (x_{0}) (x - x_{0}) + η_{1} (x)] + η_{2} (f (x)) = g' (f (x_{0})) [f' (x_{0}) (x - x_{0})] + \underset{η (x)}{\underset{︸}{[g' (f (x_{0})) η_{1} (x) + η_{2} (f (x))]}}$ . Azt kellene megmutatni, hogy $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0$ . Tekintsük először $η (x)$ első tagját: $\frac{‖ g' (f (x_{0})) η_{1} (x) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} \leq \frac{‖ g' (f (x_{0})) ‖ ‖ η_{1} (x) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} = ‖ g' (f (x_{0})) ‖ \frac{‖ η_{1} (x) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} \to 0$ , mert az utolsó tag $\to 0$ . Tehát már elegendő csak $\frac{η_{2} (f (x))}{‖ x - x_{0} ‖} \to 0$ állítást belátni. Ehhez használjuk a következő jelölést: $ε (y) : = {\begin{matrix} \frac{‖ η_{2} (y) ‖}{‖ y - y_{0} ‖} & ha y \neq y_{0}, y \in B_{r_{2}} (y_{0}) \\ 0 & ha y = y_{0} \end{matrix}$ . Láthatjuk, hogy ekkor $ε : Y \to ℝ, ε \in C (y_{0})$ . Átrendezve: $‖ η_{2} (y) ‖ = ε (y) ‖ y - y_{0} ‖ \forall y \in B_{r_{2}} (y_{0}) \Rightarrow \frac{‖ η_{2} (f (x)) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} = ε (f (x)) \frac{‖ f (x) - f (x_{0}) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} = \underset{\to 0}{\underset{︸}{ε (f (x))}} \underset{bizbe: korlátos}{\underset{︸}{\frac{‖ f (x) - f (x_{0}) ‖}{‖ x - x_{0} ‖}}}$ , a szorzat $\to 0$ , ha az utolsó tényező korlátos, ugyanis $ε$ definíciójából következik, hogy $\lim_{x \to x_{0}} ε (f (x)) = ε (f (x_{0})) = 0$ , mert $f \in C (x_{0}), ε \in C (y_{0}) \Leftrightarrow ε \in C (f (x_{0}))$ . A második tényező valóban korlátos, ugyanis $f (x) - f (x_{0}) = f' (x_{0}) (x - x_{0}) + η_{1} (x) \Rightarrow ‖ f (x) - f (x_{0}) ‖ \leq ‖ f' (x_{0}) (x - x_{0}) ‖ + ‖ η_{1} (x) ‖ \leq$ $\leq ‖ f' (x_{0}) ‖ \cdot ‖ x - x_{0} ‖ + ‖ η_{1} (x) ‖ \Rightarrow \frac{‖ f (x) - f (x_{0}) ‖}{‖ x - x_{0} ‖} \leq \underset{rögz}{\underset{︸}{‖ f' (x_{0}) ‖}} + \underset{\to 0}{\underset{︸}{\frac{η_{1} (x)}{‖ x - x_{0} ‖}}}$ .

Tétel (a valós függvény inverzének deriválási szabálya): legyen I egy $ℝ$ -beli nyílt intervallum! Legyen $f : I \to R$ szigorúan monoton függvény és $f \in C (D_{f})$ . Ha f differenciálható $a \in D_{f}$ -ban és $f' (a) \neq 0 \Rightarrow f^{- 1}$ differenciálható $f (a)$ -ban és $(f^{- 1})' (b) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (b))}$ .
Bizonyítás: mivel f szigorúan monoton (növő), ezért f injektív, tehát létezik $f^{- 1}$ . Mivel $D_{f} = I$ intervallum, ezért $R_{f} = J$ is intervallum (Bolzano tétel), sőt, nyílt is, mivel f szigorúan monoton. Ekkor $b = f (a)$ -t tekintve $b \in int D_{f^{- 1}} = R_{f}$ . $f^{- 1}$ értelmezve van b egy környezetében, ebből véve egy y pontot $\frac{f^{- 1} (y) - f^{- 1} (b)}{y - b} = \frac{1}{\frac{f (x) - f (a)}{x - a}} = \frac{1}{\frac{f (f^{- 1} (y)) - f (f^{- 1} (b))}{f^{- 1} (y) - f^{- 1} (b)}}$ . $h_{a} (x) : = {\begin{matrix} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} & ha x \neq a \\ f' (a) & ha x = a \end{matrix}$ Ebből láthatjuk, hogy $h_{a} \in C (a)$ . Ekkor $\frac{f^{- 1} (y) - f^{- 1} (b)}{y - b} = \frac{1}{h_{a} (f^{- 1} (y))}$ . $\lim_{y \to b} f^{- 1} (y) = a$ mert $f^{- 1} \in C (R_{f}), f^{- 1} (b) = a$ . Ha $y \neq b \Rightarrow f^{- 1} (y) \neq a$ (mert f szigorúan monoton). Másrészt $h_{a} \in C (a) \Rightarrow \lim_{y \to b} h_{a} (f^{- 1} (y)) = h_{a} (a) = f' (a)$ .

Példák:

$f (x) = e^{x}, x \in ℝ = I$ , f szigorúan monoton nő, mindenhol deriválható, $f' (x) = e^{x}$ , $R_{f} = (0, \infty) = J$ $b > 0, b \in J$ esetén $\ln' (b) = (f^{- 1})' (b) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (b))} = \frac{1}{e^{\ln b}} = \frac{1}{b}$
$f (x) = \sin x$ , $I : = (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , ez szigorúan monoton nő, differenciálható, $f' (x) = \cos x$ . $\arcsin' (x) = (f^{- 1})' (x) = \frac{1}{f' (f^{- 1} (x))} = \frac{1}{\cos (\arcsin (x))} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (\arcsin (x))}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

Differenciálhatóság $ℝ^{n} ↣ ℝ^{m}$ -ben

A továbbiakban legyen $X : = ℝ^{n}, Y : = ℝ^{m}$ . Tegyük fel, hogy $f : ℝ^{n} ↣ ℝ^{m}$ . Mit jelent az, hogy f differenciálható egy $x_{0} \in ℝ^{n}$ pontban?

Definíció szerint $\exists A \in L (ℝ^{n}, ℝ^{m}) : f (x) - f (x_{0}) = A (x - x_{0}) + η (x), \lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0, \forall x \in B_{r} (x_{0})$ . Tudjuk, hogy A-hoz egyértelműen megfeleltethető egy $𝒜 = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ mátrix, melyre $A (x - x_{0}) = 𝒜 (x - x_{0})$ , így $f (x) - f (x_{0}) = 𝒜 (x - x_{0}) + η (x)$ .
Kérdés: mik a mátrixelemek, vagyis $a_{i j} = ?$ Először legyen $m = 1$ , azaz $f : ℝ^{n} ↣ ℝ$ . f differenciálhatósága azt jelenti, hogy $ℝ ∍ f (x) - f (x_{0}) = \sum_{j = 1}^{n} a_{1 j} (x_{j} - x_{0 j}) + η (x)$ ahol $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{‖ x - x_{0} ‖} = 0$ . Legyen speciel $x = (x_{0,1}, x_{0,2} ... x_{0, j - 1}, x_{j}, x_{0, j + 1} ... x_{0, n})$ . Ekkor $f (x) - f (x_{0}) = a_{1 j} (x_{j} - x_{0, j}) + η (x) \Rightarrow$ $\Rightarrow \frac{f (x_{0,1}, x_{0,2} ... x_{0, j - 1}, x_{j}, x_{0, j + 1} ... x_{0, n}) - f (x_{0,1}, x_{0,2} ... x_{0, j - 1}, x_{0, j}, x_{0, j + 1} ... x_{0, n})}{x_{j} - x_{0, j}} = a_{1 j} + \frac{η (x)}{x_{j} - x_{0}}$ , ahol $| \frac{η (x)}{x_{j} - x_{0, j}} | = \frac{| η (x) |}{| x_{j} - x_{0, j} |} = \frac{| η (x) |}{| x - x_{0} |} \to 0$ . Ezért a függvény j-edik változó szerinti parciális deriváltja $x_{0}$ -ban $\partial_{j} f (y_{0}) = \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (x_{0}) = a_{1 j}$ . Tehát $a_{1 j} = \partial_{j} f (x_{0})$ . Ez volt az $m = 1$ eset. Általánosan, $f : ℝ^{n} ↣ ℝ^{m}, f (x) \in ℝ^{m}$ esetre mi lesz? $f (x) = (f_{1} (x), f_{2} (x) ... f_{m} (x))$ . $f_{k}$ -t nevezhetjük a függvény koordináta-függvényének. f differenciálhatósága azt jelenti, hogy $f (x) - f (x_{0}) = 𝒜 (x - x_{0}) + η (x), \lim_{x \to x_{0}} \frac{| η (x) |}{| x - x_{0} |} \to 0, η = (η_{1}, η_{2} ... η_{n})$ . Ugyanez koordinátánként kiírva: $f_{k} (x) - f_{k} (x_{0}) = \sum_{j = 1}^{n} a_{k j} (x_{j} - x_{0, j}) + η_{k} (x)$ , az előbbiek szerint $a_{k j} = \partial_{j} f_{k} (x_{0})$ . Tehát a mátrixot ilyen alakban írhatjuk: $𝒜 = (\begin{matrix} \partial_{1} f_{1} (x_{0}) & \partial_{2} f_{1} (x_{0}) & \dots & \partial_{n} f_{1} (x_{0}) \\ \partial_{1} f_{2} (x_{0}) & \partial_{2} f_{2} (x_{0}) & \dots & \partial_{n} f_{2} (x_{0}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \partial_{1} f_{m} (x_{0}) & \partial_{2} f_{m} (x_{0}) & \dots & \partial_{n} f_{m} (x_{0}) \end{matrix})$ .

Tétel: ha $f = (f_{1}, f_{2} ... f_{n}) : ℝ^{n} ↣ ℝ^{m}$ függvény differenciálható egy $x_{0} \in ℝ^{n}$ pontban, akkor $\forall k$ -ra $f_{k}$ parciálisan differenciálható minden változójában, továbbá $f' (x_{0}) \in L (ℝ^{n}, ℝ^{m})$ a fenti mátrixszal adható meg. Az $𝒜$ mátrixelemei a koordináta függvények első parciális deriváltjai.
Megjegyzés: ha $f : ℝ^{n} ↣ ℝ$ parciálisan differenciálható $x_{0}$ -ban minden változója szerint, abból nem következik, hogy f differenciálható is.

Egyváltozós kitérés

Lokális növekedés, fogyás – lokális szélsőérték

Definíció: legyen $f : ℝ ↣ ℝ$ , $a \in int D_{f}$ ! Azt mondjuk, hogy

f lokálisan nő a-ban, ha $\exists B_{δ} (a) = (a - δ, a + δ)$ környezet, hogy $a - δ < x < a \Rightarrow f (x) \leq f (a)$ és $a < x < a + δ \Rightarrow f (a) \leq f (x)$
f lokálisan szigorúan nő a-ban, ha $\exists B_{δ} (a) = (a - δ, a + δ)$ környezet, hogy $a - δ < x < a \Rightarrow f (x) < f (a)$ és $a < x < a + δ \Rightarrow f (a) < f (x)$ (A különbség a két függvényérték relációjában van.)
f lokálisan csökken a-ban, ha $\exists B_{δ} (a) = (a - δ, a + δ)$ környezet, hogy $a - δ < x < a \Rightarrow f (x) \geq f (a)$ és $a < x < a + δ \Rightarrow f (a) \geq f (x)$
f lokálisan szigorúan csökken a-ban, ha $\exists B_{δ} (a) = (a - δ, a + δ)$ környezet, hogy $a - δ < x < a \Rightarrow f (x) > f (a)$ és $a < x < a + δ \Rightarrow f (a) > f (x)$

Tétel: legyen f differenciálható a pontban! Ha f függvény a-ban lokálisan nő $\Rightarrow f' (a) \geq 0$ , és ha $f' (a) > 0 \Rightarrow f$ a-ban szigorúan lokálisan nő, illetve ha lokálisan fogy $\Rightarrow f' (a) \leq 0$ és ha $f' (a) < 0 \Rightarrow f$ a-ban szigorúan lokálisan fogy.
Bizonyítás: a) tfh f függvény a-ban lokálisan nő és f differenciálható a-ban. $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = f' (a)$ . Mivel f függvény a-ban lokálisan nő $\Rightarrow \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \geq 0$ ha $0 < | x - a | < δ \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} \geq 0$ , azaz $f' (a) \geq 0$ .
b) tfh $f' (a) > 0 \Rightarrow f$ értelmezve a egy környezetében. Mivel $\lim_{x \to a} \frac{f (x) - f (a)}{x - a} = f' (a) > 0$ , ezért $\exists δ > 0 : 0 < | x - a | < δ \Rightarrow \frac{f (x) - f (a)}{x - a} > 0$ tehát f függvény a-ban szigorúan lokálisan nő.
Megjegyzés: fordítva nem igaz, tehát ha f szigorúan lokálisan nő $\Rightarrow f' > 0$ .
Példa: $f (x) = x^{3}$ , ekkor $f' (x) = 3 x^{2}$ . Ez 0-ban szigorúan lokálisan nő, de $f' (0) = 0$ .

Definíció: legyen $f : ℝ ↣ ℝ, a \in int D_{f}$ . Azt mondjuk, hogy f-nek a-ban

lokális minimuma van, ha $\exists B_{δ} (a) = (a - δ, a + δ) : x \in B_{δ} (a) \Rightarrow f (x) \geq f (a)$
szigorú lokális minimuma van, ha $x \in B_{δ} (a) \ {a} \Rightarrow f (x) > f (a)$ .

Tétel: ha f differenciálható a-ban és a-ban lokális szélsőértéke van $\Rightarrow f' (a) = 0$ .
Bizonyítás: indirekt, $f' (a) \neq 0$ . Ha pl $f' (a) > 0 \Rightarrow a$ -ban szigorúan lokálisan nő, vagy ha $f' (a) < 0 \Rightarrow a$ -ban szigorúan lokálisan fogy.
Megjegyzés: $f' (a) = 0 \Rightarrow f$ -nek a-ban lokális szélsőértéke van. Pl $f (x) = x^{3}, a = 0 \Rightarrow f' (0) = 0$ , pedig f 0-ban szigorúan lokálisan nő.

11.25

Monoton növekedés és fogyás

Definíció: azt mondjuk, hogy az $f : ℝ \to ℝ$ egy I intervallumon

monoton nő, ha $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ esetén $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \leq f (x_{2})$
monoton csökken, ha $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ esetén $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) \geq f (x_{2})$
szigorú monoton nő, ha $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ esetén $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) < f (x_{2})$
szigorú monoton csökken, ha $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ esetén $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f (x_{1}) > f (x_{2})$

Rolle Tétel: tfh $f : [a, b] \to ℝ$ folytonos és $(a, b)$ -n differenciálható, $f (a) = f (b)$ . Ekkor $\exists ξ \in (a, b) : f' (ξ) = 0$ .
Bizonyítás: a) ha $f (x) = f (a) = f (b), \forall x$ , akkor $f' (x) = 0 \forall x \in (a, b)$ .
b) ha létezik $x \in (a, b) : f (x) \neq f (a) = f (b)$ , pl $f (x) < f (a)$ , akkor mivel $f \in C [a, b] \Rightarrow [a, b]$ sorozatkompakt halmaz $ℝ$ -ben (ami korlátos és zárt) ezért $R_{f}$ sorozatkompakt $\Rightarrow$ korlátos és zárt. $\exists ξ \in [a, b] : f (ξ) = \inf f = \min f$ . Mivel $\exists f (x) : f (x) < f (a)$ , ezért $ξ \in (a, b)$ . Ezért f-nek $ξ$ -ben lokális minimuma van. f differenciálható $ξ$ -ben, tehát $f' (ξ) = 0$ .

Lagrange-féle középérték Tétel: tfh $f : [a, b] \to ℝ, f \in C (D_{f})$ és f differenciálható $(a, b)$ -n. Ekkor $\exists ξ \in (a, b) : f' (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .
Bizonyítás: visszavezetjük a Rolle tételre. Értelmezzük a g függvényt a következő módon: $g (x) = f (x) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (x - a)$ . Ekkor $g \in C [a, b]$ és g differenciálható $(a, b)$ -n. $g (b) = f (b) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a} (b - a) = f (a)$ , de a definícióból látható, hogy $g (a) = f (a) \Rightarrow g (b) = g (a)$ . Alkalmazzuk Rolle tételét! $\exists ξ : g' (ξ) = 0$ , azaz $0 = g' (ξ) = f' (ξ) - \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

Tétel: legyen $I \subset ℝ$ intervallum! $f : I \to ℝ, f \in C (I)$ , továbbá f differenciálható $int I$ -ben. Ekkor f monoton nő az I-n $\Leftrightarrow f' (x) \geq 0 \forall x \in int I$ .
Bizonyítás: a) ha f monoton nő $\Rightarrow \forall x \in int I$ -re $f' (x) \geq 0$
b) tfh $f' (x) \geq 0 \forall x \in int I$ . Legyen $x_{1}, x_{2} \in I$ , $x_{1} < x_{2}$ ! Azt kellene belátni, hogy $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ . Alkalmazzuk a Lagrange-féle középérték tételt! $[x_{1}, x_{2}] \subset I \Rightarrow \exists ξ \in (x_{1}, x_{2}) \subset I : f' (ξ) = \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$ . A feltétel szerint $f' (ξ) \geq 0, x_{2} - x_{1} > 0 \Rightarrow f (x_{2}) - f (x_{1}) \geq 0 \Rightarrow f (x_{2}) \geq f (x_{1})$ .
Megjegyzés: azt hihetnénk, hogy f szigorúan monoton növekedése $\Leftrightarrow f' (x) > 0 \forall x \in int D_{f}$ , pedig nem.
Példa: $f (x) = x^{3}, x \in ℝ$ . Ekkor f szigorúan monoton nő, de $f' (0) = 0$ .

Tétel: legyen $I \subset ℝ$ intervallum, $f : I \to ℝ, f \in C (I)$ és f differenciálható $int I$ -ben! Ekkor f szigorúan monoton nő I-n $\Leftrightarrow f' (x) \geq 0$ és I-nek nincs olyan J részintervalluma, ahol $f' (x_{j}) = 0, \forall x_{j} \in J$
Bizonyítás: $\Rightarrow$ irányban: tfh f szigorúan monoton nő az I-n $\Rightarrow$ monoton nő $\Rightarrow f' (x) \geq 0 \forall x \in int I$ . Indirekt tfh $\exists (c, d) \subset I : f' (x) = 0 \forall x \in (c, d) \Rightarrow$ Lagrange-féle középérték tétel felhasználásából $\Rightarrow f = állandó$ $(c, d)$ -n. Ez ellentmond annak, hogy f szigorúan monoton nő.
$\Leftarrow$ irányban: tfh $f' (x) \geq 0 \forall x \in int I$ és $\exists J \subset I$ részintervallum, ahol $f' (x_{j}) = 0 \forall x_{j} \in J$ . Mivel $f' (x) \geq 0 \Rightarrow f$ monoton nő. Ha f nem szigorúan monoton növő lenne, akkor $\exists x_{1}, x_{2} \in I, x_{1} < x_{2} : f (x_{1}) = f (x_{2}) \Rightarrow$ (mivel f monoton nő) $f (x_{1}) = f (x) = f (x_{2}) \forall x \in (x_{1}, x_{2}) \Rightarrow f' (x) = 0$ , ha $x \in (x_{1}, x_{2})$ .

Tétel: tfh $f : ℝ^{n} ↣ ℝ$ , és ennek az összes elsőrendű parciális deriváltja létezik $x_{0} \in ℝ^{n}$ valamely teljes környezetében, és ezek folytonosak $x_{0}$ -ban. Ekkor f differenciálható $x_{0}$ -ban.
Bizonyítás: a feltétel szerint egy $x_{0}$ bizonyos környezetében fekvő $x = (x_{1}, x_{2} ... x_{n})$ pontra $f (x) - f (x_{0}) =$ $= [f (x_{1}, x_{2} ... x_{n}) - f (x_{1,0}, x_{2} ... x_{n})] + [f (x_{1,0}, x_{2} ... x_{n}) - f (x_{1,0}, x_{2,0} ... x_{n})] + ... + [f (x_{1,0}, x_{2,0} ... x_{n - 1,0}, x_{n}) - f (x_{1,0} ... x_{n,0})]$ , alkalmasan választott $ξ_{i} \in (x_{i}, x_{i,0})$ segítségével folytatva (Lagrange-féle középértéktétel felhasználásával): $f (x) - f (x_{0}) =$ $= \partial_{1} f (ξ_{1}, x_{2} ... x_{n}) (x_{1} - x_{1,0}) + \partial_{2} f (x_{1,0}, ξ_{2}, x_{3} ... x_{n}) (x_{2} - x_{2,0}) + ... + \partial_{n} f (x_{1,0}, x_{2,0} ... x_{n - 1,0}, ξ_{n}) (x_{n} - x_{n,0}) =$ $= \partial_{1} f (x_{0}) (x_{1} - x_{1,0}) + \partial_{2} f (x_{0}) (x_{2} - x_{2,0}) + ... + \partial_{n} f (x_{0}) (x_{n} - x_{n,0}) + \underset{η_{1} (x)}{\underset{︸}{[\partial_{1} f (ξ_{1}, x_{2} ... x_{n}) - \partial_{1} f (x_{0})] (x_{1} - x_{1,0})}} +$ $+ \underset{η_{2} (x)}{\underset{︸}{[\partial_{2} f (x_{1,0}, ξ_{2}, x_{3} ... x_{n}) - \partial_{2} f (x_{0})] (x_{2} - x_{2,0})}} + ... + \underset{η_{n} (x)}{\underset{︸}{[\partial_{n} f (x_{1,0}, x_{2,0},..., x_{n - 1,0} ξ_{n}) - \partial_{n} f (x_{0})] (x_{n} - x_{n,0})}}$ . Azt kellene belátni, hogy $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{| x - x_{0} |} = 0$ ahol $η (x) = \sum_{i = 1}^{n} η_{i} (x)$ . Hasonló egyenlőség érvényes $η (x)$ minden tagjára, pl. az 1-re: $\frac{| [\partial_{1} f (ξ_{1}, x_{2} ... x_{n}) - \partial_{1} f (x_{0})] (x_{1} - x_{1,0}) |}{| x - x_{0} |} \leq \underset{x \to x_{0} és \partial_{1} f \in C (x_{0}) \Rightarrow ez \to 0}{\underset{︸}{[\partial_{1} f (ξ_{1}, x_{2} ... x_{n}) - \partial_{1} f (x_{0})]}} \underset{\leq 1}{\underset{︸}{\frac{| x_{1} - x_{1,0} |}{| x - x_{0} |}}}$
Megjegyzés: a tétel feltétele elegendő, de nem szükséges f differenciálhatóságához.

Tétel: legyen $f : ℝ^{n} ↣ ℝ^{m} (m > 1)$ . $f = (f_{1}, f_{2} ... f_{n})$ . Az, hogy f differenciálható $x_{0}$ -ben $\Leftrightarrow \forall j$ -re $f_{j}$ differenciálható $x_{0}$ -ban, $f_{j} : ℝ^{n} ↣ ℝ$ . Következmény: ha $\partial_{k} f_{j}$ létezik $x_{0}$ egy környezetében és folytonos $x_{0}$ -ban $\forall j, k$ -ra, akkor f differenciálható $x_{0}$ -ban.
Bizonyítás: f differenciálható $x_{0}$ -ban $\Rightarrow f (x) - f (x_{0}) = 𝒜 (x - x_{0}) + η (x)$ ahol $\lim_{x \to x_{0}} \frac{η (x)}{| x - x_{0} |} = 0, η = (η_{1}, η_{2}, η_{3} ... η_{n})$ . „Koordinátás” alakban így is írhattuk volna: $f_{j} (x) - f_{j} (x_{0}) = 𝒜_{j} (x - x_{0}) + η_{j} (x)$ $\forall j$ -re, ahol $𝒜 = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})$ illetve $𝒜_{k} = (a_{k 1}, a_{k 2} ... a_{k n})$ . Ez pontosan azt jelenti, hogy $f_{j}$ koordinátafüggvény differenciálható $x_{0}$ -ban.

Definíció: legyen X, Y normált terek, $f : X ↣ Y, Ω \subset X$ tartomány (vagyis nyílt és összefüggő). Ha az f az $Ω$ minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható $Ω$ -n.

Definíció: legyen $f : ℝ^{n} ↣ ℝ, Ω \subset ℝ$ ! Ha $\forall j$ -re $\exists \partial_{j} f (x), \forall x \in Ω$ , akkor f egyszer parciálisan differenciálható $Ω$ -ban. Ha $\partial_{j} f$ folytonos is $Ω$ minden pontjában $\forall j$ -re, akkor f egyszer folytonosan differenciálható $Ω$ -n, $f' \in C (Ω)$ .

Magasabbrendű differenciálhatóság

Definíció: legyenek X, Y normált terek, $f : X ↣ Y$ . Tekintsük az összes $x \in X$ pontot, melyben f differenciálható! Azt a függvényt, amely az ilyen $x \in X$ ponthoz az $f' (x) \in L (X, Y)$ deriváltat rendeli, f (első) derivált függvényének nevezzük, jele $f'$ .

Definíció: legyenek X, Y normált terek, $f : X ↣ Y$ . Ha $f'$ differenciálható $x_{0}$ -ban (tehát értelmezve is van $x_{0}$ egy környezetében), akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható $x_{0}$ -ban és definíció szerint $f'' (x_{0}) : = (f')' (x_{0})$ .
Megjegyzés: $f'' (x_{0}) : X ↣ L (X, Y)$ , $f'' (x_{0})$ lineáris folytonos operátor, így $f'' (x_{0}) \in L (X, L (X, Y))$ .

Definíció: ha $f'$ függvény értelmezve van és folytonos valamely $Ω \subset X$ tartományon, akkor azt mondjuk, hogy f egyszer folytonosan differenciálható $Ω$ -n.
Megjegyzés: ez a definíció $X = ℝ^{n}, Y = ℝ$ esetén ekvivalens a korábbi definícióval.

Definíció: ha f' függvény értelmezve van és folytonos valamely $Ω \subset X$ tartományon, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer folytonosan differenciálható $Ω$ -n.

Definíció: legyen $f : ℝ^{n} ↣ ℝ$ képező függvény! Ha valamely j-re a $\partial_{j} f$ függvény a k-adik változója szerint parciálisan differenciálható egy $x_{0} \in ℝ^{n}$ pontjában, akkor $\partial_{k} \partial_{j} f (x_{0}) : = [\partial_{k} (\partial_{j} f)] x_{0}$ . Hasonlóan értelmezhető f függvény magasabb rendű parciális deriváltjaira.
Kérdés: igaz-e, hogy $\partial_{j} \partial_{k} f = \partial_{k} \partial_{j} f$ , $\forall j, k$ -ra? Általában nem (de azért a fizikában előforduló példákra általában igaz, mint ahogy látni is fogjuk).
Pl: $f (x, y) : = {\begin{matrix} \frac{x y^{3}}{(x^{2} + y^{2})} & ha (x, y) \neq (0,0) \\ 0 & ha (x, y) = (0,0) \end{matrix}$ . Ekkor $\partial_{1} \partial_{2} f (0,0) = 0$ de $\partial_{2} \partial_{1} f (0,0) = 1$ . Az eredmények nem triviálisak, segítségképp: $\partial_{1} f = {\begin{matrix} \frac{y^{5} - x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} & ha (x, y) \neq (0,0) \\ 0 & ha (x, y) = (0,0) \end{matrix}$ illetve $\partial_{2} f = {\begin{matrix} \frac{3 x^{3} y^{2} + x y^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} & ha (x, y) \neq (0,0) \\ 0 & ha (x, y) = (0,0) \end{matrix}$ .

Young Tétel $ℝ^{2}$ -ből $ℝ$ -be képező függvényekre: legyen $f : ℝ^{2} ↣ ℝ$ , melyre $(x_{0}, y_{0}) \in D_{f} \subset ℝ^{2}$ pont környezetében létezik $\partial_{1} \partial_{2} f$ és $\partial_{2} \partial_{1} f$ is és folytonosak $(x_{0}, y_{0})$ pontban. Ekkor $\partial_{1} \partial_{2} f (x_{0}, y_{0}) = \partial_{2} \partial_{1} f (x_{0}, y_{0})$ .
Bizonyítás: $\begin{array}{l} F (x) : = f (x, y) - f (x, y_{0}) \\ G (y) : = f (x, y) - f (x_{0}, y) \end{array}} \Rightarrow F (x) - F (x_{0}) = G (y) - G (y_{0})$ . Alkalmazzuk először a Lagrange középérték-tételt F és G függvényekre! $\exists ξ$ az $x, x_{0}$ között, hogy $F (x) - F (x_{0}) = F' (ξ) (x - x_{0}) = [\partial_{1} f (ξ, y) - \partial_{1} f (ξ, y_{0})] (x - x_{0})$ és $\exists η$ az $y, y_{0}$ között, hogy $G (y) - G (y_{0}) = G' (η) (y - y_{0}) = [\partial_{2} f (x, η) - \partial_{2} f (x_{0}, η)] (y - y_{0})$ , ezért a fenti egyenlőség miatt $[\partial_{1} f (ξ, y) - \partial_{1} f (ξ, y_{0})] (x - x_{0}) = [\partial_{2} f (x, η) - \partial_{2} f (x_{0}, η)] (y - y_{0})$ . Még 2x alkalmazzuk a Lagrange-féle középérték tételt: $y \mapsto \partial_{1} f (ξ, y)$ függvényre és $x \mapsto \partial_{2} f (x, η)$ függvényre. $\exists \tilde{ξ}, \tilde{η} : \partial_{2} (\partial_{1} f) (ξ, \tilde{η}) (y - y_{0}) (x - x_{0}) = \partial_{1} (\partial_{2} f) (\tilde{ξ}, η) (x - x_{0}) (y - y_{0})$ , ahol $\tilde{ξ}$ egy $x, x_{0}$ között, $\tilde{η}$ pedig egy $y, y_{0}$ között van. $\partial_{2} (\partial_{1} f) (ξ, \tilde{η}) = \partial_{1} (\partial_{2} f) (\tilde{ξ}, η)$ . $(x, y) \to (x_{0}, y_{0})$ esetén, mivel $\partial_{1} \partial_{2} f$ és $\partial_{2} \partial_{1} f$ folytonosak $(x_{0}, y_{0})$ -ban, $\Rightarrow \partial_{2} (\partial_{1} f) (x_{0}, y_{0}) = \partial_{1} (\partial_{2} f) (x_{0}, y_{0})$ .

Következmény: ha $f : ℝ^{n} \to ℝ$ -be képez és az f-nek az összes második parciális deriváltja létezik $x_{0}$ egy környezetében és folytonos $x_{0}$ -ban $\Rightarrow \partial_{j} \partial_{k} f (x_{0}) = \partial_{k} \partial_{j} f (x_{0})$ .

12.02

Definíció: azt mondjuk, hogy egy $f : ℝ^{n} \to ℝ$ függvény k-szor ( $k \geq 1$ ) folytonosan differenciálható $Ω$ -n, ha minden legfeljebb k-ad rendű parciális derivált létezik és folytonos az $Ω \subset ℝ^{n}$ tartományon.

Tétel: ha $f : Ω \to ℝ$ függvény k-szor folytonosan differenciálható, akkor f minden legfeljebb k-adrendű parciális deriváltjában a deriválások sorrendje tetszőlegesen felcserélhető.
Jelölés: feltéve, hogy f függvény k-szor folytonosan differenciálható, a továbbiakban használandó a következő jelölés a legfeljebb k-adrendű parciális deriváltakra: $α = (α_{1}, α_{2} ... α_{n}), α_{j} \geq 0, α_{j} \in ℕ$ esetén $\partial^{α} f : = \partial_{1}^{α_{1}} \partial_{2}^{α_{2}} ... \partial_{n}^{α_{n}} f$ . A deriválás rendje $| α | = \sum_{j = 1}^{n} α_{j} \leq k$ .
Megjegyzés: ha $f : ℝ^{n} ↣ ℝ$ függvény k-szor folytonosan differenciálható $Ω -n \Rightarrow f$ minden legfeljebb $(k - 1)$ -edrendű parciális deriváltja differenciálható.

Bilineáris operátorok

Azért kellenek, mert $f'' (x_{0}) \in L (X, L (X, Y))$ , és ezt összefüggésbe akarjuk hozni az X×X-ből Y-ba képező operátorokkal.

Definíció: legyenek X, Y vektorterek, ekkor $X \times Y : {(x, y) | x \in X, y \in Y}$ és X×Y-n értelmezzük az összeadást és a valós számmal való szorzást: $(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ , $λ \in ℝ$ esetén $λ (x_{1}, y_{1}) = (λ x_{1}, λ y_{1})$ .

Állítás: az X×Y a fenti tulajdonságokkal vektorteret alkot.

Definíció: legyenek X, Y normált terek. Ekkor az X, Y vektortérben vezessük be a következő normát: $‖ (x, y) ‖ : = \sqrt{{‖ x ‖}^{2} + {‖ y ‖}^{2}}$ !
(Megj: más normát is lehetne definiálni, pl $‖ x, y ‖ : = ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ ).

Állítás: X×Y a fenti normával normált tér.

Definíció: legyenek X, Y, Z normált terek, tekintsük az X×Y vektorteret! Egy $\tilde{A} : X \times Y \to Z$ operátort bilineárisnak nevezünk, ha minden rögzített $\forall x \in X$ esetén $y \mapsto \tilde{A} (x, y)$ , $y \in Y$ lineáris és minden rögzített $y \in Y$ esetén $x \mapsto \tilde{A} (x, y)$ , $x \in X$ lineáris.
Megjegyzés: az X×Y-ből Z-be képező bilineáris operátorok vektorteret alkotnak a következő művelettel: $\underset{\in L (X \times Y, Z)}{\underset{︸}{(\tilde{A} + \tilde{B})}} \underset{\in X \times Y}{\underset{︸}{(x, y)}} = \underset{\in Z}{\underset{︸}{\tilde{A} (x, y)}} + \underset{\in Z}{\underset{︸}{\tilde{B} (x, y)}}$ és $λ \in ℝ$ esetén $(λ \tilde{A}) (x, y) = λ \cdot \tilde{A} (x, y) \in Z$ .
Kérdés: legyenek X, Y, Z normált terek (tehát vektorterek is). Továbbá legyen $\tilde{A} : X \times Y \to Z$ bilineáris operátor. Következik-e ebből, hogy $\tilde{A}$ folytonos? Általában nem.

Tétel: az $\tilde{A} : X \times Y ↣ Z$ bilineáris operátor folytonos $\Leftrightarrow \exists c \geq 0 : ‖ \tilde{A} (x, y) ‖ \leq c ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖$ , $\forall x \in X, \forall y \in Y$ -ra.
Megjegyzés: ha az utóbbi teljesül, akkor $\tilde{A}$ bilineáris operátort korlátosnak nevezzük.
Bizonyítás $\Leftarrow$ irányban: tfh $\tilde{A}$ korlátos. Belátjuk, hogy $\tilde{A}$ folytonos $(x_{0}, y_{0}) \in X \times Y$ rögzített elemnél. $‖ \tilde{A} (x, y) - \tilde{A} (x_{0}, y_{0}) ‖ = ‖ [\tilde{A} (x, y) - \tilde{A} (x_{0}, y)] + [\tilde{A} (x_{0}, y) - \tilde{A} (x_{0}, y_{0})] ‖ \leq$ $\leq ‖ [\tilde{A} (x, y) - \tilde{A} (x_{0}, y)] + [\tilde{A} (x_{0}, y) - \tilde{A} (x_{0}, y_{0})] ‖ \leq ‖ \tilde{A} (x - x_{0}, y) ‖ + ‖ \tilde{A} (x_{0}, y - y_{0}) ‖ \leq c ‖ x - x_{0} ‖ ‖ y ‖ + c ‖ x_{0} ‖ ‖ y - y_{0} ‖$ ezért nyílván $\forall ε > 0 \exists δ > 0 : ‖ (x, y) - (x_{0}, y_{0}) ‖ = \sqrt{{‖ x - x_{0} ‖}^{2} + {‖ y - y_{0} ‖}^{2}} < δ \Rightarrow c ‖ x - x_{0} ‖ \cdot ‖ y ‖ + c ‖ x_{0} ‖ \cdot ‖ y - y_{0} ‖ < ε$
$\Rightarrow$ irányban: tfh folytonos, de nem korlátos (indirekt): $\forall n \in ℕ \exists x_{n} \in X, y_{n} \in Y : ‖ \tilde{A} (x_{n}, y_{n}) ‖ > n^{2} ‖ x_{n} ‖ \cdot ‖ y_{n} ‖$ . Legyen $\tilde{x_{n}} : = \frac{x_{n}}{n \cdot ‖ x_{n} ‖} \to 0$ és $\tilde{y_{n}} : = \frac{y_{n}}{n \cdot ‖ y_{n} ‖} \to 0$ . Ebből már látszik az állítás.

Definíció: legyenek X, Y, Z normált terek, $\tilde{A} : X \times Y ↣ Z$ korlátos, folytonos bilineáris operátor. Ekkor $\tilde{A}$ normáját így értelmezzük: $‖ \tilde{A} ‖ : = \sup {‖ \tilde{A} (x, y) ‖ : ‖ x ‖ = 1, ‖ y ‖ = 1}$ .

Állítás: $‖ \tilde{A} ‖ = \min {c ‖ \tilde{A} (x, y) ‖ \leq c ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖, \forall (x, y) \in X \times Y}$ . (A bizonyítása hasonló lineáris korlátos operátorok esetéhez.)

Tétel: tekintsük az $X \times Y \to Z$ képező korlátos bilineáris operátorokat az előbb bevezetett összeadással és skalárral való szorzással, és vegyük hozzá a fenti normát. Ekkor egy normált teret kapunk.
Észrevétel: legyenek X, Y, Z normált terek, $A \in L (X, L (Y, Z))$ . Értelmezzük az $\tilde{A} : X \times Y \to Z$ operátort: $\tilde{A} (x, y) : = \underset{\in Z}{\underset{︸}{(A x) y}}$ . Ekkor $\tilde{A} : X \times Y \to Z$ korlátos bilineáris operátor.
Bizonyítás: a) a fentiek szerint $\tilde{A} : X \times Y \to Z$
b) belátjuk először, hogy $\tilde{A}$ bilineáris operátor $\tilde{A} (λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2}, y) = [A (λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2})] y = (λ_{1} A x_{1} + λ_{2} A x_{2}) y = λ_{1} [(A x_{1}) y] + λ_{2} [(A x_{2}) y] = λ_{1} \tilde{A} (x_{1}, y) + λ_{2} \tilde{A} (x_{2}, y)$ $\tilde{A} (x, λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2}) = (A x) (λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2}) = λ_{1} (A x) y_{1} + λ_{2} (A x) y_{2} = λ_{1} \tilde{A} (x, y_{1}) + λ_{2} \tilde{A} (x, y_{2})$ .
c) belátjuk, hogy $\tilde{A}$ korlátos: $‖ \tilde{A} (x, y) ‖ = ‖ (A x) y ‖ \leq ‖ A x ‖ \cdot ‖ y ‖ \leq ‖ A ‖ \cdot ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖ \Rightarrow \tilde{A}$ korlátos, továbbá $‖ \tilde{A} ‖ \leq ‖ A ‖$ .

Tétel: legyenek X, Y, Z normált terek, $A \in L (X, L (Y, Z))$ . Ekkor az $\tilde{A} (x, y) : = (A x) y, x \in X, y \in Y$ képlettel értelmezett $\tilde{A} : X \times Y \to Z$ bilineáris operátor. Fordítva: minden $\tilde{A} : X \times Y \to Z$ bilineáris operátort ilyen alakú: $\exists! A : L (X, L (Y, Z)) : \tilde{A} (x, y) = (A x) y$ .
Bizonyítás: az első állítást beláttuk. Fordítva: tfh $\tilde{A} : X \times Y \to Z$ korlátos bilineáris operátor. Tekintsük tetszőleges, rögzített $x \in X$ esetén a következő $A (x)$ operátort: $y \mapsto \tilde{A} (x, y)$ . Ez egyrészt lineáris, másrészt korlátos, hiszen a feltétel szerint $\tilde{A}$ korlátos: $‖ [A (x)] (y) ‖ = ‖ \tilde{A} (x, y) ‖ = ‖ ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖ \cdot \tilde{A} (\frac{x}{‖ x ‖}, \frac{y}{‖ y ‖}) ‖ \leq ‖ \tilde{A} ‖ \cdot ‖ x ‖ \cdot ‖ y ‖ = (‖ \tilde{A} ‖ \cdot ‖ x ‖) ‖ y ‖ \Rightarrow$ a fenti operátor korlátos operátor és normája $\leq ‖ \tilde{A} ‖ \cdot ‖ x ‖$ . Jelölje $A (x)$ ezt az $L (Y, Z)$ -beli operátort $\Rightarrow \tilde{A} (x, y) = (A (x)) y$ . Nem nehéz belátni, hogy $A (x)$ x-től lineárisan függ. A korlátos is, hisz $‖ A (x) ‖ \leq ‖ \tilde{A} ‖ \cdot ‖ x ‖, \forall x \in X \Rightarrow A$ korlátos is, sőt $‖ A ‖ \leq ‖ \tilde{A} ‖ \Rightarrow ‖ \tilde{A} ‖ = ‖ A ‖$ . (lásd az előbbi tételt)
Megjegyzés: $\tilde{A} (x, y) = (A x) y$ képlet lineáris normatartó leképezést definiál a bilineáris operátorok és $L (X, L (Y, Z))$ között.

Multilineáris leképezések

Definíció: legyenek $X_{1}, X_{2} ... X_{n}, Z$ vektorterek. Egy $X_{1} \times X_{2} \times ... \times X_{n} \to Z$ leképezést multilineárisnak nevezünk, ha minden koordinátájában lineáris (midőn a többit rögzítjük).

Definíció: legyenek $X_{1}, X_{2} ... X_{n}, Z$ normált terek! Egy $\tilde{A} : X_{1} \times X_{2} \times ... \times X_{n} \to Z$ multilineáris leképezés korlátos $\exists c \geq 0 : ‖ \tilde{A} (x_{1}, x_{2},..., x_{n}) ‖ \leq c \cdot ‖ x_{1} ‖ \cdot ‖ x_{2} ‖ \cdot ... \cdot ‖ x_{n} ‖ \forall x_{j} \in X_{j}$ .

Tétel: $\tilde{A}$ folytonos $\Leftrightarrow \tilde{A}$ korlátos.

Tétel: egy $\tilde{A}$ multilineáris folytonos operátor általános alakja $\tilde{A} (x_{1}, x_{2}, x_{3} ... x_{n}) = (((A x_{1}) x_{2}) x_{3} ... x_{n}), A \in L (X_{1}, L (X_{2} ... L (X_{n}, Z)))$ .

Alkalmazás a magasabbrendű deriváltak értelmezésére

Legyenek X, Y normált terek, $f : X ↣ Y$ . Ha f differenciálható $x_{0} \in X$ -ben, akkor $f' (x_{0}) \in L (X, Y)$ . $f'$ függvény X-ből $L (X, Y)$ -ba képező függvény. Ezért $f'' (x_{0}) = (f')' (x_{0}) \in L (X, L (X, Y))$ . Az $f'' (x_{0}) \in L (X, L (X, Y))$ -beli operátornak a fentiek szerint egyértelmű módon megfelel egy $X \times X \to Y$ bilineáris folytonos operátor: $A : = f'' (a) \in L (X, L (X, Y)), \tilde{A} (x_{1}, x_{2}) : = (A x_{1}) x_{2} = ((f'' (a)) x_{1}) x_{2}$ , $(x_{1}, x_{2}) \in X \times X$ .

Speciális eset: $X : = ℝ^{n}, Y : = ℝ$ . Ekkor $f : ℝ^{n} \to ℝ$ , $L (ℝ^{n}, ℝ) ∍ f' (a) \leftrightarrow (\partial_{1} f (a), \partial_{2} f (a),..., \partial_{n} f (a)) \in ℝ^{n}$ (a $\leftrightarrow$ jel a megfeleltethetőséget jelenti). $f' : ℝ^{n} \to L (ℝ^{n}, ℝ)$ . Ez úgy is felfogható, hogy $f' : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ . $f'' (a) \in L (ℝ^{n}, L (ℝ^{n}, ℝ))$ tekinthető $ℝ^{n} \times ℝ^{n} \to ℝ$ bilineáris operátornak, de tekinthető $L (ℝ^{n}, ℝ^{n})$ -beli operátornak is, ennek megfelel egy n×n-es mátrix. $f' = (\partial_{1} f, \partial_{2} f,..., \partial_{n} f)$ , $f'' (a) \Leftrightarrow (\begin{matrix} \partial_{1}^{2} f (a) & \partial_{2} \partial_{1} f (a) & \dots & \partial_{n} \partial_{1} f (a) \\ \partial_{1} \partial_{2} f (a) & \partial_{2}^{2} f (a) & \dots & \partial_{n} \partial_{2} f (a) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \partial_{1} \partial_{n} f (a) & \partial_{2} \partial_{n} f (a) & \dots & \partial_{n}^{2} f (a) \end{matrix}) = 𝒜$ . $[f'' (a)] (x_{1}, x_{2}) = 〈 𝒜 x_{1}, x_{2} 〉 = \sum_{j = 1}^{n} [\sum_{k = 1}^{n} \partial_{j} \partial_{k} f (a) x_{1 k}] x_{2 j}$ .

Speciális eset: $X : = ℝ$ , Y tetszőleges normált tér, $f : X \to Y$ , $L (ℝ, Y) ∍ f' (a) \leftrightarrow y \in Y$ (a nyíl a megfeleltethetőséget jelenti) a következő képlettel: $ℝ ∍ t \mapsto y t \in Y$ , $ℝ$ -ből Y-ba képező lineáris operátor. Ekkor $f' (a)$ azonosítható $y \in Y$ elemmel.
Magyarázat: ebben az esetben az $Y ∍ f' (a) \leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h}$ , $f'' (a) \Leftrightarrow b \in Y$ , ugyanis f’ is tekinthető $ℝ \to Y$ függvénynek, $x_{1}, x_{2} \in ℝ, [f'' (a)] (x_{1}, x_{2}) = [f'' (a) x_{1}] x_{2} = (b x_{1}) x_{2}$ .

A Lagrange középértéktétel többváltozós függvényekre

Legyen X normált tér,

Y : = ℝ

.

Tétel: legyen $a, b \in X, L (a, b) : = {a + t (b - a) : t \in [0,1]}$ . Tfh $f : X \to ℝ$ folytonos $L (a, b)$ -n és differenciálható $int (L (a, b))$ . Ekkor $\exists ξ \in int (L (a, b)) : \underset{\in Y}{\underset{︸}{f (b)}} - \underset{\in Y}{\underset{︸}{f (a)}} = \overset{\in Y}{\overset{︷}{\underset{\in L (X, Y)}{\underset{︸}{f' (ξ)}} \underset{\in X}{\underset{︸}{(b - a)}}}}$ .
Bizonyítás: visszavezetjük az $ℝ \to ℝ$ függvényekre. $ϕ (t) : = a + t (b - a), t \in [0,1]$ . Ekkor $ϕ : [0,1] \to X$ , $ϕ \in C (0,1)$ és itt differenciálható is. $ϕ' (t) = (b - a) \in X$ , $g (t) = f (ϕ (t)) = (f \circ ϕ) (t), t \in [0,1]$ , ekkor $g : [0,1] \to ℝ$ . Mivel $f \in C (L (a, b)) \Rightarrow f \circ ϕ \in C [0,1]$ , továbbá $f \circ ϕ$ differenciálható $(0,1)$ -n, $g' (t) = (f \circ ϕ)' (t) = f' (ϕ (t)) ϕ' (t) \in L (ℝ, ℝ)$ , g függvényre alkalmazzuk a Lagrange-féle középérték-tételt: $\exists τ \in (0,1) : g (1) - g (0) = g' (τ) (1 - 0)$ , $g (1) = f (ϕ (1)) = f (b)$ , $g (0) = f (a)$ , $g' (τ) = f' (ϕ (τ)) ϕ' (τ) = f' (ϕ (τ)) (b - a)$ . $ξ : = ϕ (τ) = a + τ (b - a)$ .
Kérdés: mi a helyzet akkor, ha $Y \neq ℝ$ . Egyszerű példa: $X : = ℝ$ , $Y : = ℝ^{2}$ . Ebben az esetben a fenti állítás általában nem igaz. $f = (f_{1}, f_{2}) : ℝ ↣ ℝ^{2}, f_{1} (t) : = \sin t$ , $t \in [0,2 π]$ , $f_{2} (t) : = \cos t$ . Ekkor $f (0) = f (2 π) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$ , $f' (τ) = (\begin{matrix} \cos τ \\ - \sin τ \end{matrix})$ , $(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = f (2 π) - f (0) = f' (τ) 2 π \neq 0$ ( $0 = a$ , $2 π = b$ ).

Tétel: legyenek X, Y normált terek, $f : X ↣ Y$ , $a, b \in X$ , $f \in C [L (a, b)]$ és f differenciálható $int (L (a, b))$ . Ekkor $‖ f (b) f (a) ‖ \leq \sup_{ξ \in L (a, b)} ‖ f' (ξ) (b - a) ‖$ . Ez a Lagrange egyenlőtlenség.

12.09

Alkalmazás

Állítás: legyenek X, Y normált terek, $Ω \subset X$ tartomány (azaz nyílt és összefüggő) $\Leftrightarrow Ω$ nyílt és bármely két pontja összeköthető egy $Ω$ -ban haladó törött vonallal. Tfh $f : Ω \to Y$ és f differenciálható $Ω$ minden pontjában és $f' (x) = 0, \forall x \in Ω \Rightarrow f$ állandó.
Bizonyítás: legyen $x_{1} \in Ω, x_{2} \in Ω$ tetszőleges. Belátjuk, hogy $f (x_{1}) = f (x_{2}) \in Y$ . Kössük össze az $x_{1}$ és $x_{2}$ pontokat egy $Ω$ -ban haladó törött vonallal! A töréspontok legyenek $x_{1}, ξ_{1}, ξ_{2},..., ξ_{k}, x_{2}$ . Először alkalmazzuk a Lagrange-egyenlőtlenséget $L (x_{1}, ξ_{1})$ -re! $‖ f (ξ_{1}) - f (x_{1}) ‖ \leq \sup_{η_{1} \in L (x_{1}, ξ_{1})} ‖ f' (η_{1}) (ξ_{1} - x_{1}) ‖ = 0 \Rightarrow f (ξ_{1}) = f (x_{1})$ . Alkalmazva $L (ξ_{1}, ξ_{2})$ -re, $L (ξ_{2}, ξ_{3})$ -ra,…, $L (ξ_{k}, x_{2})$ -re, kapjuk, hogy $f (ξ_{1}) = f (ξ_{2}), f (ξ_{2}) = f (ξ_{3}),..., f (ξ_{k}) = f (x_{2}) \Rightarrow f (x_{1}) = f (x_{2})$ .

Függvénysorok és sorozatok integrálása és deriválása

Legyenek $f_{k} : [a, b] \to ℝ$ , egyszerűség kedvéért folytonos függvények, $k \in ℕ$ . Tfh $\forall x \in [a, b]$ esetén $\lim_{k \to \infty} f_{k} (x) = f (x)$ . Ekkor mondtuk, hogy $(f_{k})$ függvény sorozat pontonként tart egy f függvényhez.
Kérdés: ebből következik-e, hogy $\lim_{k \to \infty} \int_{a}^{b} f_{k} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ ? Általában nem. Pl.: $f_{k} (x) : = {\begin{matrix} x / (1 / 2 k) ha 0 \leq x \leq 1 / 2 k \\ - x / (1 / 2 k) + 2 k ha 1 / 2 k < x \leq 1 / k \\ 0 egyébként \end{matrix}$

Tétel: egy $f_{k} : [a, b] \to ℝ, f_{k} \in C [a, b]$ és $(f_{k}) \to f$ egyenletesen ( $\Rightarrow f \in C [a, b]$ ). Ekkor $\lim_{k \to \infty} \int_{a}^{b} f_{k} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .
Bizonyítás: $\lim_{k \to \infty} | \int_{a}^{b} f_{k} (x) d x - \int_{a}^{b} f (x) d x | = 0$ ezt kellene belátni. $| \int_{a}^{b} f_{k} (x) d x - \int_{a}^{b} f (x) d x | = | \int_{a}^{b} [f_{k} (x) - f (x)] d x | \leq \int_{a}^{b} | f_{k} (x) - f (x) | d x$ . Mivel $(f_{k}) \to f$ egyenletesen $\Rightarrow \forall ε > 0 \exists k_{0} : k > k_{0} \Rightarrow | f_{k} (x) - f (x) | < ε, \forall x \in [a, b]$ . Így $\int_{a}^{b} | f_{k} (x) - f (x) | d x < ε \cdot (b - a)$ , ebből következik a tétel állítása.

Tétel: legyen $g_{j} : [a, b] \to ℝ, g_{j} \in C [a, b]$ , $\sum_{j = 1}^{\infty} g_{j} = f$ sor egyenletesen konvergens (vagyis ha a részletösszegek sorozata egyenletesen konvergál f-hez, ekkor amúgy f folytonos) $\Rightarrow \sum_{j = 1}^{\infty} \int_{a}^{b} g_{j} (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Tétel: tfh $f_{k} : (a, b) \to ℝ$ függvény folytonosan differenciálható, továbbá $(f_{k}') \to g$ egyenletesen $(a, b)$ -n, továbbá egy alkalmas $c \in (a, b)$ helyre $\lim_{k \to \infty} f_{k} (c) = α$ véges. Ebből következik, hogy $(f_{k}) \to f$ egyenletesen $(a, b)$ -n, f folytonosan differenciálható és $f' (x) = \lim_{k \to \infty} [f_{k}' (x)]$ .
Bizonyítás: alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát az $f_{k}$ folytonosan differenciálható függvényekre, $x \in (a, b)$ rögzített. $f_{k} (x) - f_{k} (c) = \int_{c}^{x} f_{k}' (t) d t \Rightarrow f_{k} (x) = \int_{c}^{x} f_{k}' (t) d t + f_{k} (c) \to \int_{c}^{x} g (t) d t + α$ , mert $f_{k}' (t) \to g (t)$ egyenletesen, $t \in [x, c]$ vagy $t \in [c, x]$ . Továbbá $f_{k}$ egyenletesen tart $\underset{f (x)}{\underset{︸}{[\int_{c}^{x} g (t) d t + α]}}$ -hoz, ugyanis $| f_{k} (x) - f (x) | = | [\int_{c}^{x} f_{k}' (t) d t + f_{k} (c)] - [\int_{c}^{x} g (t) d t + α] | \leq | \int_{c}^{x} (f_{k}' (t) - g (t)) d t | + \underset{< ε ha k > k_{0}}{\underset{︸}{| f_{k} (c) - α |}} \leq$ $\leq | x - c | \cdot \underset{< ε ha k > k_{1}}{\underset{︸}{\sup (| f_{k}' (t) - g (t) |)}} + ε \leq (b - a) ε + ε$ és $k \geq \max {k_{0}, k_{1}} \Rightarrow (f_{k}) \to f$ egyenletesen $(a, b)$ -n. Kellett, hogy $(b - a)$ véges legyen! $f (x) = \int_{c}^{x} g (t) d t + α \Rightarrow f' (x) = g (x), \forall x \in (a, b)$ .

Tétel: tfh $ϕ_{j} : (a, b) \to ℝ$ folytonosan differenciálható. $\sum_{j = 1}^{\infty} ϕ_{j}' = g$ egyenletesen konvergens $(a, b)$ -n, továbbá $\exists c \in (a, b) : \sum_{j = 1}^{\infty} ϕ_{j} (c) = α$ véges. Ekkor $\sum_{j = 1}^{\infty} ϕ_{j}$ egyenletesen konvergens $(a, b)$ -n, $f : = \sum_{j = 1}^{\infty} ϕ_{j}$ függvény differenciálható $(a, b)$ -n és $f' (x) = \sum_{j = 1}^{\infty} ϕ_{j}' (x), \forall x \in (a, b)$ .
Bizonyítás: $f_{k} = \sum_{j = 1}^{k} ϕ_{j}$ …

Cauchy-féle középérték Tétel: tfh $f, g : [a, b] \to ℝ$ , folytonosak, $(a, b)$ -n differenciálhatóak és $g' (x) \neq 0, \forall x \in (a, b)$ . Ekkor $\exists ξ \in (a, b) : \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f' (ξ)}{g' (ξ)}$ . (Ha $g (x) = x$ , akkor ez a Lagrange középérték tétel)
Bizonyítás: $g (b) - g (a) \neq 0$ , ugyanis ha $g (b) - g (a) = 0$ lenne, akkor a Rolle tétel szerint g függvényre $\exists η \in (a, b) : g' (η) = 0$ . Legyen $F (x) : = f (x) - \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} [g (x) - g (a)]$ . Ekkor F folytonos $[a, b]$ -n és differenciálható $(a, b)$ -n, $F (a) = f (a)$ , $F (b) = f (b) - \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} [g (b) - g (a)] = f (a)$ . $F (a) = F (b) \Rightarrow$ Rolle tétel segítségével $\exists ξ \in (a, b) : F' (ξ) = 0$ , azaz $0 = F' (ξ) = f' (ξ) - \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} g' (ξ)$ .

L’ Hôpital szabály
Tétel (alapeset): tfh f, g értelmezve van és differenciálható $a \in ℝ$ egy környezetében (a-ban nem is kell), továbbá $\lim_{x \to a} f (x) \equiv \lim_{a} f = 0$ és $\lim_{b} g = 0$ . Ekkor $\lim_{a} \frac{f}{g} = \lim_{a} \frac{f'}{g'}$ , ha létezik ez utóbbi.
Bizonyítás: értelmezzük az f és g függvényt a-ban! $f (a) : = 0$ , $g (a) : = 0$ . Ezért f, g folytonosak a egy környezetében és deriválhatók is x kivételével, $g' (x) \neq 0$ . Alkalmazzuk a Cauchy-féle középérték-tételt: a környezetében levő x pont és a által meghatározott intervallumra $\exists ξ \in (a, b) : \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f (x) - f (a)}{g (x) - g (a)} = \frac{f' (ξ)}{g' (ξ)} \Rightarrow x \to a$ esetén $ξ \to a \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f (x)}{g (x)} = \lim_{ξ \to a} \frac{f' (ξ)}{g' (ξ)}$ , ha ez utóbbi létezik.

Általánosítások: a) $a : = \pm \infty$ és $\lim_{a} f = 0, \lim_{a} g = 0$ , ekkor is igaz, hogy $\lim_{a} \frac{f}{g} = \lim_{a} \frac{f'}{g'}$ , ha ez utóbbi létezik
b) $\lim_{a} f = \pm \infty$ és $\lim_{a} g = \pm \infty$ esetén hasonló állítás.

Hatványsorok integrálása és deriválása

$\sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} {(x - a)}^{k}$ , $a, x \in ℝ$ ezt nevezzük x-nek a körüli hatványsornak. Ez egy speciális függvénysor. Legyen ennek a konvergencia sugara R! Tudjuk, hogy $| x - a | < R$ esetén a hatványsor konvergens x-ben. Azt is tudjuk, hogy $\forall δ > 0$ esetén a hatványsor egyenletesen konvergens $[a - R + δ, a + R - δ]$ intervallumon.

Tétel: legyen a hatványsor konvergencia sugara $R > 0$ és $R \leq \infty$ . Ekkor egyrészt tetszőleges $[c, d] \subset (a - R, a + R)$ esetén a hatványsor tagonként integrálható, vagyis $\int_{c}^{d} \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} {(x - a)}^{k} d x = \sum_{k = 0}^{\infty} \int_{c}^{d} c_{k} {(x - a)}^{k} d x$ .

Tétel: legyen a hatványsor konvergencia sugara $R > 0$ és $R \leq \infty$ . Ekkor $| x - a | < R$ esetén a hatványsor x-ben tagonként deriválható: $(\sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} {(x - a)}^{k})' = \sum_{k = 0}^{\infty} (c_{n} {(x - a)}^{k})'$ .
Bizonyítás: alkalmazzuk a függvénysorok tagonkénti deriválásáról szóló tételt! Világos, hogy a hatványsor tagjai folytonosak, akárhányszor differenciálhatóak. Kérdés: mi a tagok deriváltjaiból alkotott hatványsor konvergencia sugara? Látható, hogy ugyanaz. A derivált sor k-adik tagja: $c_{k} k {(x - a)}^{k - 1}$ , erre ugyanaz a konvergencia sugár adódik. Tehát a deriváltakból álló sor egyenletesen konvergens $[c, d]$ -n ha $[c, d] \subset (a - R, a + R)$ , $| x - a | < R$ , $[c, d]$ -t megválaszthatjuk úgy, hogy $x \in [c, d]$ .

Taylor formula

tfh egy hatványsor konvergencia sugara > 0, $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} {(x - a)}^{k}$ , $| x - a | < R > 0$ . (Definíció szerint itt $0^{0} = 1$ .)
Az előbbiek szerint $| x - a | < R$ esetén
$\begin{array}{l} f' (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} k {(x - a)}^{k - 1} \\ f'' (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} k (k - 1) {(x - a)}^{k - 2} \\ ⋮ \\ f^{(j)} (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} k (k - 1) (k - 2) ... (k - j + 1) {(x - a)}^{k - j} \end{array}$
Ekkor $f^{(j)} (a) = c_{j} \cdot j (j - 1) (j - 2) ...2 \cdot 1 = c_{j} j! \Rightarrow c_{j} = \frac{f^{(j)} (a)}{j!}$ .

Állítás: ha $f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} {(x - a)}^{k}, | x - a | < R > 0 \Rightarrow c_{k} = \frac{f^{(k)} (a)}{k!}$ . Speciális eset, ha f polinom, azaz $f = P_{N}$ (N-edfokú polinom), vagyis $f = \sum_{k = 0}^{N} c_{k} {(x - a)}^{k}$ , ekkor $c_{k} = \frac{P^{(k)} (a)}{k!}$ , más szóval $P (x) = \sum_{k = 0}^{N} \frac{P^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k}$ .

Taylor formula Lagrange- féle maradéktaggal

Tétel: tfh f függvény N+1-szer differenciálható a egy környezetében. Ebben a környezetben fekvő tetszőleges x pontjára $f (x) = \sum_{k = 0}^{N} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k} + \frac{f^{(N + 1)} (ξ)}{(N + 1)!} {(x - a)}^{N + 1}$ , alkalmasan választott $ξ \in (x, a)$ elemre.
Megjegyzés: $N = 0$ esetén megkapjuk a Lagrange-féle középértéktételt.
Bizonyítás: jelölje $g (x) : = f (x) - \sum_{k = 0}^{N} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k} = f (x) - P (x)$ . Ekkor $g (a) = f (a) - P (a)$ , de $P (a) = f (a)$ , így $g (a) = 0$ . Továbbá $g' (a) = f' (a) - P' (a)$ , node $f' (a) = P' (a)$ , így $g' (a) = 0$ … $g^{(n)} (a) = f^{(n)} (a) - P^{(n)} (a) = 0$ . Tekintsük: $\frac{g (x)}{{(x - a)}^{N + 1}} = \frac{g (x) - g (a)}{{(x - a)}^{N + 1} - {(a - a)}^{N + 1}} = \frac{g' (ξ)}{(n + 1) {(ξ_{1} - a)}^{N}}$ , felhasználva a Cauchy-féle középérték tételt. További alkalmazása segítségével $\frac{g (x)}{{(x - a)}^{N + 1}} = \frac{g' (ξ_{1}) - g' (a)}{(N + 1) {(ξ_{1} - a)}^{N} - (N + 1) {(a - a)}^{N}} = \frac{g'' (ξ_{2})}{(N + 1) N (ξ_{2} - a)} = ... = \frac{f^{(N + 1)} (ξ_{N + 1})}{(N + 1)!} \Rightarrow \frac{g (x)}{{(x - 1)}^{N + 1}} = \frac{f^{(N + 1)} (ξ_{N + 1})}{(N + 1)!}$
Következmény: ha f akárhányszor differenciálható a egy környezetében, akkor (ha tudom, hogy $ξ \in (a, x) : \lim_{N \to \infty} \frac{f^{(N + 1)} (ξ)}{(N + 1)!} {(x - a)}^{N + 1} = 0$ $ξ$ -ben egyenletesen) $\Rightarrow f (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k}$ , ez f Taylor sorfejtése. Egyszerű, elegendő (de nem szükséges) feltétel, ha $ξ \in (a, x)$ , $| f^{(n + 1)} (ξ) |$ egyenletesen korlátos, ugyanis $\lim_{n \to \infty} \frac{{(x - a)}^{n + 1}}{(n + 1)!} = 0$ .

Definíció: tfh egy f függvény a egy környezetében akárhányszor differenciálható! Ekkor $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k}$ hatványsort az f függvény Taylor sorának nevezünk.
Megjegyzés: lehetséges, hogy f akárhányszor differenciálható, de a Taylor sora az a pont kivételével nem állítja elő a függvényt. pl: $f (x) = {\begin{matrix} 0 & ha x = 0 \\ e^{- \frac{1}{x^{2}}} & egyébként \end{matrix}$ . Ennek $\lim_{x \to 0} f (x) = 0, \lim_{x \to 0} f' (x) = 0... \lim_{x \to 0} f^{(k)} (x) = 0, \forall k \Rightarrow f$ akárhányszor deriválható az $a = 0$ helyen. $\lim_{h \to 0} \frac{f (h) - f (0)}{h - 0} = 0$ , tehát $f' (0) = 0, f'' (0) = 0... \Rightarrow f$ Taylor sora 0, pedig $f (x) > 0$ ha $x \neq 0$ .

Analízis I

Simon László előadása alapján

ELTE, 2009. január

Topológiai alapfogalmak a metrikus térben

Pont és halmaz viszonya

Nyílt és zárt halmazok

Sorozatok határértéke a metrikus térben

A limesz tulajdonságai

A limesz műveletei tulajdonságai

Zárt halmazok jellemzése sorozatokkal

Függvények limesze (határértéke)

Átviteli elv

Műveleti szabályok

Műveleti szabályok folytonosságra

A folytonos függvények alaptulajdonságai

Bolzano-tétel metrikus terekben

Függvénysorok és sorozatok egyenletes konvergenciája

Hatványsorok

Differenciálhatóság

Lineáris leképezések

Lineáris és folytonos operátorok

A deriválás művelete, műveleti szabályok

Differenciálhatóság $ℝ^{n} ↣ ℝ^{m}$ -ben

Egyváltozós kitérés

Lokális növekedés, fogyás – lokális szélsőérték

Monoton növekedés és fogyás

Magasabbrendű differenciálhatóság

Bilineáris operátorok

Multilineáris leképezések

Alkalmazás a magasabbrendű deriváltak értelmezésére

Alkalmazás

Függvénysorok és sorozatok integrálása és deriválása

Hatványsorok integrálása és deriválása

Taylor formula

Analízis I

Simon László előadása alapján

ELTE, 2009. január

Topológiai alapfogalmak a metrikus térben

Pont és halmaz viszonya

Nyílt és zárt halmazok

Sorozatok határértéke a metrikus térben

A limesz tulajdonságai

A limesz műveletei tulajdonságai

Zárt halmazok jellemzése sorozatokkal

Függvények limesze (határértéke)

Átviteli elv

Műveleti szabályok

Műveleti szabályok folytonosságra

A folytonos függvények alaptulajdonságai

Bolzano-tétel metrikus terekben

Függvénysorok és sorozatok egyenletes konvergenciája

Hatványsorok

Differenciálhatóság

Lineáris leképezések

Lineáris és folytonos operátorok

A deriválás művelete, műveleti szabályok

Differenciálhatóság ℝ n ↣ ℝ m -ben

Egyváltozós kitérés

Lokális növekedés, fogyás – lokális szélsőérték

Monoton növekedés és fogyás

Magasabbrendű differenciálhatóság

Bilineáris operátorok

Multilineáris leképezések

Alkalmazás a magasabbrendű deriváltak értelmezésére

Alkalmazás

Függvénysorok és sorozatok integrálása és deriválása

Hatványsorok integrálása és deriválása

Taylor formula

Differenciálhatóság $ℝ^{n} ↣ ℝ^{m}$ -ben