Analízis I

Simon László előadása alapján

ELTE, 2009. január

Ajánlott irodalom:

Előadó e-mail címe: simonl a ludens.elte.hu-nál

Ez a jegyzet nem szakirodalom s nem garantált, hogy az órai anyagot teljesen lefedi, az előadásokra bejárni ajánlott.

Ha a jegyzetben helyesírási, tartalmi vagy formai hibát találsz, kérlek jelezd az előadónak vagy a tuzesdaniel@gmail.com e-mail címen! Ha a jegyzet nem jelenik meg helyesen, olvasd el az útmutatót, vagy egyszerűen használd a Firefox legújabb böngészőjét!

09.16

A korábban (középiskolában) tanultakból általánosítunk. n -ben éltünk eddig, ahol vektor alatt ezt értettük: v = ( v 1 , v 2 ... v n ) ahol v j és v n Ezen vektorfogalmat fogjuk általánosítani úgy, hogy a már korábban tanult vektorok némely tulajdonságait kiválasztjuk, s egy halmaz ( 𝕍 ) elemeit (a, b és c) akkor fogjuk vektoroknak nevezni, ha az alább kiválaszott - és korábban (középiskolában) már tanult - tulajdonságokat (a műveletekkel) teljesítik.

Definíció: Ha egy halmazon értelmezve van az összeadás és a skalárral való szorzás a fentiek szerint, akkor azt vektortérnek (avagy lineáris térnek) nevezzük.

Ismert művelet volt n -ben a skaláris szorzás, ezt értettük alatta: v , u = j=1 n v j u j . Erre érvényesek az alábbi tulajdonságok:

Definíció: Legyen X vektortér, amelynek elemei között értelmezve van a skaláris szorzat (két elem skaláris szorzata egy -beli szám) a fenti tulajdonságokkal. Ekkor X-t valós euklideszi (eukleidészi) térnek nevezzük.
példa az euklideszi térre a [ 0,1 ] intervallumon értelmezett folytonos függvények összessége (röviden C [ 0,1 ] ) a szokásos összeadással, számmal való szorzással, ha a skaláris szorzat definíciója: f,g := 0 1 fg .

Definíció: Legyen X valós euklideszi tér! Ekkor egy aX elem normáját így határozhatjuk meg: a := a,a
A norma tulajdonságai:

  1. a 0 és a =0a=0
  2. λa = | λ | a
  3. a+b a + b (háromszög egyenlőtlenség), mert a+b,a+b = a,a + b,a + a,b + b,b = = a 2 + b 2 +2 a,b a 2 + b 2 +2 a b = ( a + b ) 2 . Itt felhasználtuk az ún Cauchy-Schwarz-egyenlőtlenséget, mely szerint:

Tétel: Legyen X valós euklideszi tér! Ekkor a , b X esetén | a,b | a b . (Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség, röviden CS)
Bizonyítás: 0 a+λb,a+λb = a,a + λb,a + a,λb + λb,λb = a,a +2λ a,b + λ 2 b,b , ez teljesül minden λ értékre, így 4 a , b 2 4 a , a b , b 0 , vagyis a,b 2 a,a b,b | a,b | a,a b,b = a b , és pont ezt akartuk igazolni.

Definíció: legyen X vektortér, amelyen értelmezve van egy norma a fenti tulajdonságokkal, ekkor X-t normált térnek nevezzük.
Példa: X=C [ 0,1 ] , a függvény normája pedig f :=sup | f | .

Egy normált térben mindig értelmezhető az elemek ρ távolsága, ρ ( a,b ) := ab . A távolság (metrika) tulajdonságai:

  1. ρ ( a,b ) 0 és ρ ( a,b ) =0a=b
  2. ρ ( a,b ) =ρ ( b,a )
  3. ρ ( a,c ) ρ ( a,b ) +ρ ( b,c ) (háromszög egyenlőtlenség)

Definíció: Legyen X valamilyen halmaz és tfh értelmezve van ρ : X × X függvény (metrika, távolság) a fenti tulajdonságokkal! Ekkor X-t metrikus térnek nevezzük.

Topológiai alapfogalmak a metrikus térben

Pont és halmaz viszonya

Legyen a X , M X !

Definíció: azt mondjuk, hogy az a pont az M halmaznak belső pontja, ha létezik a-nak olyan r sugarú környezete, hogy B r ( a ) M . Jele: a int ( M )

Definíció: a pont az M halmaznak külső pontja, ha létezik a-nak olyan r sugarú környezete, hogy B r ( a ) M = . Jele: a ext ( M )

Definíció: az a pont M-nek határpontja, ha a minden r sugarú környezete esetén B r ( a ) M és B r ( a ) M C . Jele: a ( M ) = front ( M )

Állítás: ( M ) ,ext ( M ) ,int ( M ) halmazok diszjunktak, uniójuk kiadja X-et.

Definíció: egy a X pontot az M halmaz torlódási pontjának nevezünk, ha az a pont minden környezetében van M-beli, de a-tól különböző pont, formailag: a torlódási pont, ha { B r ( a ) \ { a } } M . Az M halmaz torlódási pontjainak halmazát M'-vel jelöljük.
Megjegyzés: ha az a pont M-nek torlódási pontja, akkor a-nak minden környezete végtelen sok pontot tartalmaz az M halmazból.

Definíció: egy a M pontot az M halmaz izolált pontjának nevezünk, ha B r ( a ) : B r ( a ) M = { a } és r0 .

Definíció: az M halmaz belső és határpontjainak összességét az M halmaz lezárásának nevezzük, M ¯ =intMM .
Megjegyzés: M ¯ pontjait szokás M érintkezési pontjainak is nevezni. Továbbá a M ¯ B r ( a ) M .

Példák:

Nyílt és zárt halmazok

Definíció: egy M X halmazt nyíltnak nevezünk, ha xM esetén xint ( M ) Mint ( M ) MM= .

Definíció: egy M halmazt zártnak nevezünk, ha tartalmazza az összes határpontját M M .
Példák (legyen X : = ):

Állítás: egy M X halmaz zárt M = M ¯ M ' M .

Tétel: tetszőleges M halmaz esetén int ( M ) és ext ( M ) nyílt halmaz.
Bizonyítás ( int ( M ) nyílt halmaz ): legyen a int M . Azt kellene megmutatni, hogy B r ( a ) int M . a int ( M ) B R ( a ) M . Legyen r : = R / 2 , ekkor B r ( a ) int ( M ) , ugyanis ha b B r ( a ) , akkor a háromszög egyenlőtlenség miatt B r ( b ) B R ( a ) M,bint ( M ) B r ( a ) int ( M ) .

Állítás: M , M ¯ , M ' zárt halmazok.

Tétel: ha MX nyílt, akkor M C =X \ M zárt halmaz.
Bizonyítás: tfh M nyílt halmaz, ekkor MM= , M= ( M c ) , ezért M C M= M C M C , vagyis M C zárt.

Tétel: akárhány nyílt halmaz uniója nyílt halmaz, és véges sok nyílt halmaz metszete is nyílt.
Bizonyítás: legyenek M γ I nyílt halmazok (I indexhalmaz)! Belátjuk, hogy M : = γ I M γ nyílt. Legyen a M γ : a M γ . Mivel M γ nyílt, ezért B r ( a ) M γ B r ( a ) M .
Legyenek M jI nyílt halmazok (I indexhalmaz)! Belátjuk, hogy M:= j=1 p M j nyílt halmaz. Legyen aMa M j ,j=1,2...p . Mivel M j nyílt, ezért r j : B r j ( a ) M j . Legyen r=min { r 1 , r 2 ,.., r p } B r ( a ) j=1 p M j .

Tétel: akárhány zárt halmaz metszete zárt halmaz, és véges sok zárt halmaz uniója is zárt.
Bizonyítás: (belátjuk, hogy metszetük zárt) tfh M γ zárt! Ekkor M γ C nyílt halmaz. Ezért γI M γ = ( γI M γ C ) C zárt. Az unió esete hasonlóan bizonyítható.
Megjegyzés: végtelen sok nyílt halmaz metszete általában nem nyílt, az alaphalmaz és az üreshalmaz nyílt és zárt egyszerre.

09.18

Sorozatok határértéke a metrikus térben

Definíció: egy f:X (X metrikus tér) függvényt X-beli sorozatnak nevezünk. Jelölés: a sorozat k-adik tagja a k :=f ( k ) -nek, a sorozat ( a k ) k :=f ( a k ) =f .

Definíció: azt mondjuk, hogy az ( a k ) sorozat határértéke (limesze) aX , ha az a pont tetszőleges ε sugarú környezetéhez létezik olyan k 0 küszöbszám, hogy k> k 0 ,k esetén a k B ε ( a ) . Másképp: ε>0 k 0 :k> k 0 ρ ( a k ,a ) <ε , ezt így jelöljük: lim ( a k ) lim k a k =a

A limesz tulajdonságai

  1. ha a k =a (minden k-ra), akkor lim ( a k ) =a
  2. tfh lim ( a k ) =a , akkor ( a k ) minden részsorozatának határértéke létezik és értékük a.
    Részsorozat: ( a k ) véges vagy végtelen sok elemét elhagyom úgy, hogy még mindig végtelen sok maradjon, és a sorrenden nem változtatok. Másképpen: ( a k ) részsorozata ( a g k ) , ahol g: szigorúan monoton növő.
    Bizonyítás: lim ( a k ) :=aε>0 k 0 :k> k 0 ρ ( a k ,a ) <ε . Mivel g k kk> k 0 -ra ρ ( a g k ,a ) <ε , hisz ekkor g k > k 0 .
  3. a határérték egyértelmű
    Bizonyítás: tfh ( a k ) határértékei a és b (X elemei), Belátandó, hogy a=b . ε>0 k 0 :k> k 0 ρ ( a k ,a ) <ε , másrészt ε>0 k 1 :k> k 1 ,ρ ( a k ,b ) <ε k>max { k 0 , k 1 } esetén ρ ( a k ,a ) <ε,ρ ( a k ,b ) <ε , így a háromszög egyenlőtlenség alapján ρ ( a,b ) ρ ( a, a k ) +ρ ( a k ,b ) <2ε,ε>0ρ ( a,b ) =0a=b
  4. ha lim ( a k ) =a ( a k ) minden átrendezésének a hatáértéke szintén a
    Egy ( a k ) átrendezése: veszek egy g: bijekciót, az átrendezett sorozat: ( a g k ) .
  5. sorozatok összefésülése
    ( a k ) , ( b k ) X-beli sorozatok összefésülése olyan ( c k ) X-beli sorozat, melynek elemei a 1 , b 1 , a 2 , b 2 ... . Ha lim ( a k ) =a=lim ( b k ) lim ( c k ) =a
  6. Ha egy sorozatnak létezik a limesze, akkor korlátos is. (Korlátos: létezik olyan n dimenziós gömb, mely tartalmazza a sorozat összes elemét.)
    Bizonyítás: lim ( a k ) =aε=1 k 0 :k> k 0 ρ ( a k ,a ) <1 , így r:=max { ρ ( a, a 1 ) ,ρ ( a, a 2 ) ,...,ρ ( a, a k 0 ) } esetén a k B r+1 ( a ) k .

A limesz műveletei tulajdonságai

Tétel: legyen X normált tér! Ha lim ( a k ) = a , lim ( b k ) = b lim ( a k + b k ) = a + b .
Bizonyítás: mivel lim ( a k ) = a , ezért ε>0 k 0 :k> k 0 ρ ( a, a k ) = a k a <ε és mivel lim ( b k ) = b , ezért ε>0 k 1 :k> k 1 ρ ( b, b k ) = b k b <ε , így ρ ( a k + b k , a + b ) = ( a k + b k ) ( a + b ) = ( a k a ) + ( b k b ) a k a + b k b < 2 ε , ha k > max { k 0 , k 1 } .

Tétel: legyen X normált tér! Tfh lim ( a k ) =a , ( a k X ) és lim ( λ k ) =λ ( λ k ). Ekkor lim ( λ k a k ) =λa .
Bizonyítás: mivel lim ( a k ) =a ezért ε>0 k 0 :k> k 0 a k a <ε . Mivel lim ( λ k ) =k ezért ε>0 k 1 :k> k 1 | λ k λ | <ε . Tehát k>max { k 0 , k 1 } esetén λ k a k λa = ( λ k a k λ a k ) + ( λ a k λa ) λ k a k λ a k + λ a k λa = = ( λ k λ ) a k + λ ( a k a ) = | λ k λ | <ε a k + | λ | rögz. a k a <ε . Mivel ( a k ) korlátos, M>0: a k <Mk -re, tehát k>max { k 0 , k 1 } esetén λ k a k λa <εM+ | λ | ε= ( M+ | λ | ) ε .

Tétel: legyen X euklideszi tér! Tfh lim ( a k ) =a és lim ( b k ) =b , ahol a k , b k X . Ekkor lim a k , b k = a,b
Bizonyítás: a Cauchy-Schwarz felhasználásával.

Tétel: legyen X normált tér! Ha lim ( λ k ) =0 és ( a k ) korlátos, lim ( λ k a k ) =0
Bizonyítás: hasonló az előzőhöz.

Tétel: legyen ( a k ) egy valós vagy komplex sorozat. Ha a=lim ( a k ) 0lim ( 1 a k ) = 1 a .
Bizonyítás: mivel lim ( a k ) =aε>0 k 0 :k> k 0 | a k a | <ε , így k 1 :k> k 1 | a k a | <ε | a | 2 /2 . Legyen ε:= | a | 2 , ekkor k 2 :k> k 2 | a k | > | a | 2 . Legyen k>max { k 1 , k 2 } , ekkor | 1 a k 1 a | = | a a k | | a k a | < ε | a | 2 /2 | a k | | a | = ε | a | /2 | a | /2 =ε , és pont ezt akartuk igazolni.

Zárt halmazok jellemzése sorozatokkal

Emlékeztető: X metrikus térben egy M halmazt zártnak neveztünk, ha MM M ¯ M M ¯ =M (ahol M ¯ =int ( M ) M ), továbbá a M ¯ ha a bármely környezete tartalmaz M béli pontot is. Ezek szerint M zárt halmaz pontosan akkor, ha minden olyan pont, amelynek bármely környezetében van M beli pont, az M-hez tartozik.

Tétel: egy MX halmaz zárt pontosan akkor, ha tetszőleges konvergens sorozatot nézve, melynek tagjai a k M lim ( a k ) M .
Bizonyítás: az előbbiek szerint M halmaz zárt pontosan akkor, ha minden olyan pont, amelynek bármely környezetében van M beli pont, az M-hez tartozik.
irányban: tfh M zárt! Ha a k M és lim ( a k ) =a , akkor aM , mert a minden környezetében van M beli pont is (nevezetesen a k ).
irányban: fordítva is igaz, ha a minden környezete tartalmaz M béli pontot, akkor ( a k ) M:lim ( a k ) =a . Vagyis minden olyan pont (a), amelynek minden környezetében van M-beli pont (az a k -k), az M-nek eleme, és a fentiek szerint ebből következik, hogy M zárt.

Korlátos és zárt halmazok, illetve sorozatkompakt halmazok

Tétel: legyen ( a k ) korlátos sorozat n -ben! Ekkor ( a k ) sorozatnak létezik konvergens részsorozata. (Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel n -ben)
Bizonyítás: először n=1 esetre, ekkor ( a k ) korlátos [ c,d ] a k ,k . Felezzük [ c,d ] intervallumot! Ekkor a két zárt fél intervallum közül legalább az egyik végtelen sok tagot tartalmaz a sorozatból. Ez legyen [ c 1 , d 1 ] . Ezt megint felezzük, melyek közül legalább az egyik végtelen sok tagot tartalmaz a sorozatból, ez legyen [ c 2 , d 2 ] …Így a k -ból kiválasztható egy a k l részsorozat úgy, hogy a k l [ c l , d l ] . Belátjuk, hogy a k l részsorozat konvergens.
[ c,d ] [ c 1 , d 1 ] [ c 2 , d 2 ] ... [ c l , d l ] , lim l | c l d l | = lim l cd 2 l =0 . Tudjuk, hogy { c l :l } felülről korlátos sup { c l :l } és azt is, hogy { d l :l } alulról korlátos inf { d l :l } . Mivel lim l | c l d l | =0sup { c l :l } =inf { d l :l } :=α , továbbá a k l [ c l , d l ] lim ( a k l ) =α („rendőr-elv”).
n=2 esetre, ekkor a k = ( a k ( 1 ) , a k ( 2 ) ) . Mivel a k korlátos sorozat 2 -ben, így a k ( 1 ) , a k ( 2 ) korlátos sorozatok -ben. Az előzőek szerint az előbbiből kiválasztható ebből egy konvergens részsorozat, ( a k l ( 1 ) ) l . Tekintsük az a k ( 2 ) ugyanilyen indexű elemekből álló ( a k l ( 2 ) ) részsorozatát (mely korlátos -ben). Az előzőek szerint ennek létezik konvergens részsorozata, ( a k l m ( 2 ) ) m . ( a k l ( 1 ) ) l konvergens, így ( a k l m ( 1 ) ) m is az, így ( a k l m ) := ( a k l m ( 1 ) , a k l m ( 2 ) ) részsorozat konvergens.
n=3 esetén hasonló módon, mint n=1 -ről váltottunk n=2 -re, itt is igazolható (tkp teljes indukció).
Megjegyzés: hasonló jellegű állítások általában nem igazak tetszőleges normált terekben, csak véges dimenzióban!

09.23

Tétel: legyen M n korlátos és zárt halmaz! Ha ( a k M ) k tetszőleges sorozat, akkor létezik olyan ( a k l ) részsorozata, amely konvergens és lim ( a k l ) M
Bizonyítás: mivel M korlátos ( a k ) korlátos sorozat n -ben. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel szerint ennek létezik konvergens részsorozata a k l M , M zárt lim ( a k l ) M .

Definíció: legyen X tetszőleges metrikus tér! Egy MX halmazt sorozatkompaktnak nevezünk, ha tetszőleges M-beli sorozatnak van konvergens részsorozata, és limesze M .
Megjegyzés: a fenti tétel szerint n -ben minden korlátos és zárt halmaz sorozatkompakt.

Állítás: ha X tetszőleges metrikus tér sorozatkompakt halmaz korlátos és zárt, de ha egy metrikus térben egy halmaz korlátos és zárt, még nem következik, hogy sorozatkompakt is (természetesen n -ben igaz).
Bizonyítás: legyen MX sorozatkompakt halmaz! Először belátjuk, hogy M korlátos.
Indirekt bizonyítás: M nem korlátos. Legyen aX rögzített pont. Ha M nem korlátos x 1 M, x 1 B 1 ( a ) és x 2 M, x 2 B 2 ( a ) és… Belátjuk (indirekt), hogy az így nyert ( x l ) sorozatnak nincs konvergens részsorozata. Ha ugyanis lim ( x l k ) = x 0 M lim k ρ ( x l k ,a ) =ρ ( x 0 ,a ) , ez ellentmond annak, hogy x l k B l k ( a ) ρ ( x l k ,a ) > l k .
Most belátjuk, hogy M zárt. Tekintsük az ( a k ) M-beli elemekből álló konvergens sorozatokat! Mivel M sorozatkompakt, ezért ( a k ) -nak létezik ( a k l ) részsorozata, ami konvergens és lim ( a k l ) M , de lim ( a k l ) =lim ( a k ) lim ( a k ) M . Mint korábban bizonyítottuk, ez ekvivalens azzal, hogy M zárt.

Cauchy-féle konvergencia-kritérium, teljesség

Tétel: legyen X metrikus tér! Ha ( a k ) konvergens sorozat, lim ( a k ) =aX , akkor teljesül rá az ún. Cauchy-féle (konvergencia) kritérium: ε>0 k 0 :k,l> k 0 ρ ( a k , a l ) <ε .
Bizonyítás: mivel lim ( a k ) =a k 0 :k,l> k 0 ρ ( a k ,a ) < ε 2 ,ρ ( a l ,a ) < ε 2 ρ ( a k , a l ) ρ ( a k ,a ) +ρ ( a, a l ) < ε 2 + ε 2 =ε .
Kérdés: fordítva igaz-e? Általában nem.
Példák:

Definíció: egy X metrikus teret teljes metrikus térnek nevezzük, ha minden X-beli Cauchy-sorozatnak (vagyis melyre teljesül a Cauchy-féle konvergencia-kritérium) van limesze X-ben.

Tétel: n teljes metrikus tér.
Megjegyzés: a tétel azt mondja, hogy ha ( a k ) n -beli sorozatra teljesül a Cauchy-féle konvergencia-kritérium lim ( a k ) n .
Bizonyítás: legyen ( a k ) n , melyre teljesül a Cauchy-féle konvergencia-kritérium ε>0 k 0 :k,l> k 0 a k a l <ε . Először belátjuk, hogy ( a k ) korlátos.
Legyen ε:=1 , ekkor k 0 :k,l> k 0 a k a l <ε=1 . Legyen l= k 0 +1 rögzített, ekkor láthatjuk, hogy minden kl: a k a l <1 , vagyis k 0 fölött korlátos a sorozat. Mivel k 0 véges, ezért a 0 , a 1 ... a k 0 véges sok elem, így korlátos is.
Most belátjuk, hogy konvergens is. Alkalmazzuk a Bolzano-Weierstrass kiválasztási tételt, miszerint minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata ( a k l ) :lim ( a k l ) =a n . Belátandó még, hogy az ( a k ) sorozat is ehhez tart. Legyen ε/2>0 tetszőleges. Mivel lim ( a k l ) =a l 0 :l> l 0 a k l a < ε 2 . Másrészt mivel a Cauchy sorozat is, ezért k 1 :k,l> k 1 a k a l < ε 2 a k a k l < ε 2 a k a a k a k l + a k l a < ε 2 + ε 2 =ε .

Függvények limesze (határértéke)

A továbbiakban legyen X és Y metrikus terek, f:XY , D f X és R f Y !

Definíció: legyen aX az f függvény értelmezési tartományának torlódási pontja! Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az a pontban bY a határértéke (limesze), ha b bármely (kicsi) B ε ( b ) környezetéhez létezik a-nak olyan B δ ( a ) környezete, hogy x B δ ( a ) D f ,xaf ( x ) B ε ( b ) .
Megjegyzés: mivel a pont D f -nek torlódási pontja, ezért bármely δ>0 esetén xa:x B δ ( a ) D f , továbbá a függvény határértéke szempontjából mindegy, hogy f értelmezve van-e a-ban vagy sem és f ( a ) mivel egyenlő.

Állítás: a limesz egy pontban egyértelmű.

Definíció: legyen a D f . Ekkor f függvényt a pontban folytonosnak nevezzük, ha az f ( a ) Y bármely B ε ( f ( a ) ) környezetéhez található az a-nak olyan B δ ( a ) környezete, hogy x B δ ( a ) D f f ( x ) B ε ( f ( a ) ) .
Megjegyzés:

Példa: f ( x ) = { 0 ha x [ 0,2 ] \ { 1 } 1 ha  x=1 . Ez a függvény 1-ben nem folytonos, és határértéke 1-ben 0.

Definíció: ha f folytonos D f minden pontjában, akkor f-et folytonosnak nevezzük.

09.30

Átviteli elv

  1. Tétel: legyen a D f ' ( D f ' a torlódási pontok halmaza)! lim xa f ( x ) =b ( x k ) D f \ { a } ,lim ( x k ) =a esetén lim k f ( x k ) =b .
    Bizonyítás irányban: legyen lim xa f ( x ) lim a f=b . Legyen ( x k ) tetszőleges olyan sorozat, melyre x k D f \ { a } ,lim ( x k ) =a ! Belátandó, hogy ε>0 k 0 ,k> k 0 f ( x k ) B ε ( b ) . Mivel lim a f=bε>0δ>0:x { B δ ( a ) D f } \ { a } f ( x ) B ε ( b ) , másrészt lim ( x k ) =a, x k D f \ { a } δ>0 k 0 :k> k 0 x k B δ ( a ) , vagyis k> k 0 esetén f ( x k ) B ε ( b ) .
    Bizonyítás irányban: tfh ( x k ) D f \ { a } ,lim ( x k ) =a esetén lim k f ( x k ) =b , bizonyítandó: lim a f=b , vagyis ε>0δ>0,x { B δ ( a ) D f } \ { a } f ( x ) B ε ( b ) . Indirekt bizonyítunk: ε 0 >0δ>0,x { B δ ( a ) D f } \ { a } :f ( x ) B ε 0 ( b ) . Legyen δ:= 1 k ,k , ehhez x k B 1 k ( a ) , x k D f \ { a } :f ( x k ) B ε 0 ( b ) . Ekkor lim ( x k ) =a , de lim k f ( x k ) b , mert k -re f ( x k ) B ε 0 ( b ) , ez meg ellentmond a feltevésünknek.
  2. Tétel: legyen a D f ! Ekkor az f függvény a-ban folytonos pontosan akkor, ha ( x k ) D f ,lim ( x k ) =a esetén lim k f ( x k ) =f ( a ) .
    Bizonyítás: az előzővel analóg módon

Műveleti szabályok

Műveleti szabályok folytonosságra

(Az előző tételek bizonyítása az átviteli elvvel történik.)

A kompozíció függvény

  1. Tétel: legyenek X, Y , Z metrikus terek, f:XY,g:YZ . Ha f folytonos aX -ben, g pedig b=f ( a ) Y -ban, gf is folytonos a-ban.
    Bizonyítás: mivel g folytonos b=f ( a ) -ban, így g értelmezve van f ( a ) -ban, ezért gf értelmezve van a-ban, ( gf ) ( a ) =g ( f ( a ) ) . Az átviteli elvvel belátjuk, hogy gf folytonos a-ban. Legyen ( x k ) tetszőleges sorozat, melyre lim ( x k ) =a, x k a, x k D gf . Az utóbbi azt jelenti, hogy x k D f , másrészt f ( x k ) D g , igazolandó tehát, hogy lim k ( gf ) ( x k ) = ( gf ) ( a ) =g ( f ( a ) ) .
    Mivel f folytonos a-ban, lim k f ( x k ) =f ( a ) . Másrészt g folytonos f ( a ) -ban, így g-re alkalmazva az átviteli elvet, lim k g ( f ( x k ) ) =g ( f ( a ) ) .
    Kérdés: ha lim a f=b, lim b g=c lim a ( gf ) =c ? Általában nem. Példa: legyen g( y )={ 0 ha y=0 1 ha y0 , és f pedig a konstans 0 függvény, azaz f( x )=0 , valamint a=b=0 . Ekkor lim 0 g=1,( gf )( x )=0x lim 0 ( gf )( x )=0
  2. Tétel: legyenek X, Y , Z metrikus terek, f:XY,g:YZ . Ha lim a f=b és g folytonos b-ben, akkor lim a ( gf ) =g ( b ) .

Inverz függvény folytonossága

Egy tetszőleges függvény inverzét akkor tudjuk értelmezni, ha a függvény injektív, azaz x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) .

Definíció: ha f injektív, akkor inverzét így értelmezhetjük: f 1 : R f D f ,y R f esetén f 1 ( y ) =x , ahol x D f ,f ( x ) =y .

Állítás: ha f: és szigorúan monoton függvény, akkor f injektív.
Kérdés: Ha f folytonos és injektív, akkor inverze is? Általában nem. Pl: f ( x ) = { x ha  x<1 x1 ha  x2 .

Állítás: ha f: függvény szigorúan monoton, akkor inverze is.

Tétel: ha f:I szigorúan monoton függvény és I valamilyen intervallum f 1 folytonos.
Megjegyzés: az intervallumok az összefüggő részhalmazai. Egy A halmazt összefüggőnek nevezünk, ha x 1 , x 2 A, x 1 <x< x 2 xA .
Bizonyítás: legyen y 0 D f 1 = R f . Legyen x 0 = f 1 ( y 0 ) . Először tegyük fel, hogy x 0 intI . Azt szeretnénk belátni, hogy f 1 folytonos y 0 -ban. Legyen ε>0, x 0 ±εI (ilyen ε létezik, mert x 0 intI )! Ekkor f ( x 0 ε ) <f ( x 0 ) <f ( x 0 +ε ) , mivel f szigorúan monoton (növő). Ha y ( f ( x 0 ε ) ,f ( x 0 +ε ) ) , mivel f inverze is szigorúan monoton, ezért f 1 ( f ( x 0 ε ) ) < f 1 ( y ) < f 1 ( f ( x 0 +ε ) ) f 1 ( y 0 ) ε< f 1 ( y ) < f 1 ( y 0 ) +ε , vagyis f 1 folytonos y 0 -ban. Az x 0 I eset tárgyalása hasonló.

10.06

Példák:

  1. f:,x,x0,f ( x ) = x n ,n , ekkor f szigorúan monton nő, D f = [ 0, ) , f 1 folytonos az y R f pontokban és f 1 ( y ) = y n . (Később látjuk a Bolzano-tétellel, hogy R f =[ 0, ) .)
  2. f:,x,f ( x ) = e x , ekkor f szigorúan monoton nő, D f = , f 1 folytonos. (Később látjuk a Bolzano-tétellel, hogy D f 1 = R f = ( 0, ) .)

Tétel: legyenek X, Y metrikus terek, f:XY,fC ( D f ) , D f sorozatkompakt, f injektív f 1 C ( R f ) .
Bizonyítás: legyen y 0 D f 1 = R f . Belátjuk, hogy f 1 C [ y 0 ] . Alkalmazzuk az átviteli elvet! Legyen y k D f 1 = R f olyan, amelyre lim ( y k ) = y 0 . Belátandó: ( f 1 ( y k ) ) k f 1 ( y 0 ) . x k := f 1 ( y k ) , x 0 := f 1 ( y 0 ) y k =f ( x k ) , y 0 =f ( x 0 ) , vagyis belátandó: lim ( x k ) x 0 . Indirekt bizonyítunk: ha ez nem lenne igaz, akkor ε 0 >0, x k l :ρ ( x k l , x 0 ) ε 0 . Tekintsük az ( x k l ) sorozatot, amelyre x k l D f . Tudjuk, hogy D f sorozatkompakt, ekkor ( x k l j ) :lim ( x k l j ) =x* D f , de mivel fC [ x* ] lim j f ( x k l j ) =f ( x* ) és mivel lim j f ( x k l j ) =lim ( y k l j ) = y 0 =f ( x 0 ) f ( x 0 ) =f ( x* ) . De hát f injektív, vagyis x 0 =x* , ami meg ellentmondás, mert lim ( x k l j ) =x*= x 0 esetén j:ρ ( x k l j , x 0 ) < ε 0 , de ez ellentmond ρ ( x k l , x 0 ) ε 0 -nak.

A folytonos függvények alaptulajdonságai

Tétel: legyen X, Y metrikus terek, f:XY,fC ( D f ) , D f sorozatkompakt R f is sorozatkompakt. (Weierstrass tétele).
Bizonyítás: legyen ( y k ) R f tetszőleges sorozat! Azt kell megmutatni, hogy ( y k l ) részsorozata, mely konvergens és lim ( y k l ) R f . Mivel y k R f x k D f :f ( x k ) = y k . Mivel D f sorozatkompakt és x k D f ( x k l ) :lim ( x k l ) = x 0 D f . Mivel fC [ x 0 ] lim l f ( x k l ) =f ( x 0 ) = y 0 R f , node f ( x k l ) = y k l , ezért lim ( y k l ) = y 0 R f , és pont ezt akartuk belátni.

Következmények:

  1. D f sorozatkompakt R f korlátos és zárt (minden sorozatkompakt halmaz korlátos és zárt)
  2. ha Y= akkor is, ha D f sorozatkompakt R f korlátos és zárt. A korlátosság következménye: sup R f ,inf R f véges, és mivel az R f értékkészlet zárt x 1 , x 2 D f :f ( x 1 ) =inff,f ( x 2 ) =supf

Példák arra, hogy miért szükséges feltenni, hogy D f sorozatkompakt ( D f , R f sorozatkompaktsága -ben azt jelenti, hogy a halmazok korlátosak és zártak)

  1. D f = [ 0, ) zárt, de nem korlátos, f ( x ) =x , ekkor R f = [ 0, ) nem korlátos
  2. D f = ( 0,1 ] ,f ( x ) = 1 x , ekkor D f korlátos, de nem zárt, R f pedig nem korlátos.

Megjegyzés: az a tény, hogy egy f:XY,fC [ x 0 ] ε>0δ>0:x B δ ( x 0 ) D f f ( x ) B ε ( f ( x 0 ) ) , ahol δ függhet ε -tól és x 0 -tól is.

Definíció: azt mondjuk, hogy X, Y metrikus terek esetén egy f:XY függvény egyenletesen folytonos, ha ε>0δ>0: x 1 , x 2 D f ,ρ ( x 1 , x 2 ) <δρ ( f ( x 1 ) ,f ( x 2 ) ) <ε . Tehát ekkor δ csak ε -tól függ.

Tétel: ha f folytonos és D f sorozatkompakt f egyenletesen folytonos. (Heine tétele.)
Bizonyítás: tfh f folytonos, D f sorozatkompakt. Indirekt bizonyítunk: ε>0δ>0: x 1 , x 2 D f ,ρ ( x 1 , x 2 ) <δ , de ρ ( f ( x 1 ) ,f ( x 2 ) ) ε . Legyen δ:= 1 k ,k , ekkor tehát x k , x k ˜ D f :ρ ( x k , x k ˜ ) < 1 k de ρ ( f ( x k ) ,f ( x k ˜ ) ) ε . Tudjuk, hogy D f sorozatkompakt, így ( x k l ) D f :lim ( x k l ) = x 0 D f . Mivel ρ ( x k l , x k l ˜ ) < 1 k ,lim ( 1 k ) =0lim ( x k l ˜ ) =lim ( x k l ) = x 0 D f . Mivel fC [ x 0 ] , az átviteli elv alapján lim l f ( x k l ) =f ( x 0 ) , lim l f ( x k l ˜ ) =f ( x 0 ) , de ez meg ellentmondás a feltevésünkkel, miszerint ρ ( f ( x k ) ,f ( x k ˜ ) ) ε .
Példák:

  1. D f = [ 0, ) ez zárt, de nem korlátos, f ( x ) := x 2 nem egyenletesen folytonos
  2. D f = ( 0,1 ] ez korlátos, de nem zárt, f ( x ) := 1 x nem egyenletesen folytonos.

Tétel: legyen f: [ a,b ] ,fC [ a,b ] ,f ( a ) f ( b ) , ekkor tetszőleges η ( f ( a ) ,f ( b ) ) számhoz ξ ( a,b ) :f ( ξ ) =η . (Bolzano tétel)
Bizonyítás: tekintsük a következő halmazt: M:= { x [ a,b ] :f ( x ) <η } [ a,b ] M mivel aM , továbbá M korlátos. Legyen ξ:=supM . Belátjuk, hogy f ( ξ ) =η . Indirekt bizonyítunk: f ( ξ ) <η vagy f ( ξ ) >η nem lehetséges.
Első eset: ha f ( ξ ) <η lenne, akkor f ( b ) >ηξb , ezért ξ -nek megadható olyan jobboldali környezete, ahol a függvényértékek η -nál kisebbek, mert fC [ ξ ] , vagyis δ>0:x [ ξ,ξ+δ ] f ( x ) <η , ez pedig ellentmond annak, hogy ξ=supM .
Második eset: ha f ( ξ ) >η lenne, akkor f ( a ) <ηξa és fC [ a,b ] δ>0:x [ ξδ,ξ ] f ( x ) >η . Ez is ellentmond annak, hogy ξ=supM=sup { x [ a,b ] :f ( x<η ) } . Tehát mivel f ( ξ ) > η,f ( ξ ) < ηf ( ξ ) =η .

Következmények: legyen I valamilyen intervallum (véges vagy végtelen, nyílt vagy zárt), és tfh f:I,fC ( I ) . Ekkor x 1 , x 2 I,y ( f ( x 1 ) ,f ( x 2 ) ) esetén x 0 ( x 1 , x 2 ) :f ( x 0 ) =y .
Megjegyzés: az ilyen tulajdonságú függvényeket Darboux tulajdonságúaknak nevezzük. A Bolzano-tétel kimondja, hogy ha f:I,fC ( I ) f Darboux tulajdonságú.
Példa: f ( x ) = { sin 1 x ha  0<x1 0 ha  x=0 . Ez a függvény Darboux tulajdonságú, de nem folytonos 0-ban.

Állítás: egy A halmaz intervallum x 1 , x 2 A,x ( x 1 , x 2 ) esetén xA .
Ezen állítás segítségével a Bolzano tétel így is megfogalmazható:

Tétel: ha I intervallum, és f:I,fC ( I ) R f is intervallum.

Alkalmazás:

  1. I:= [ 0, ) ,f ( x ) = x n ,n ! Ekkor a tétel szerint mivel f folytonos, R f valamilyen intervallum, f szigorúan monoton nő, f ( 0 ) =0, lim x f ( x ) = R f = [ 0, ) D f 1 = [ 0, )
  2. I=,f:I,f ( x ) = e x f ( x ) C ( I ) , lim x f ( x ) =0, lim x f ( x ) = , f szigorúan monoton nő, R f = ( 0, ) D f 1 D ln = ( 0, ) .
10.13

Bolzano-tétel metrikus terekben

Definíció: Legyen X metrikus tér, [ α,β ] ,φ: [ α,β ] X,φC [ α,β ] . Ekkor azt mondjuk, hogy φ folytonos ívet, görbét határoz meg az X-ben. R φ = { φ ( t ) :t [ α,β ] } X . Ekkor φ ( α ) és φ ( β ) -t a görbe végpontjainak nevezzük. (Megj: van, amikor φ -t nevezzük görbének, nem pedig a „képét”.)

Definíció: azt mondjuk, hogy az AX halmaz ívszerűen összefüggő, ha az A halmaz bármely két pontja összeköthető az A-ban haladó folytonos görbével, ívvel, vagyis a,bAφ: [ α,β ] X,φC [ α,β ] , hogy φ ( α ) =a,φ ( β ) =b,t ( α,β ) φ ( t ) A

Tétel: legyenek X, Y metrikus terek, f:XY,fC ( D f ) ! Ha D f ívszerűen összefüggő, akkor R f is.
Bizonyítás: legyenek y 1 , y 2 R f . Belátjuk, hogy y 1 , y 2 összeköthető R f -ben haladó folytonos ívvel. Mivel y 1 , y 2 R f x 1 , x 2 D f :f ( x 1 ) = y 1 ,f ( x 2 ) = y 2 . Mivel D f ívszerűen összefüggő φ: [ α,β ] X,φC [ α,β ] , hogy φ ( α ) =x,φ ( β ) = x 2 ,t ( α,β ) φ ( t ) D f . Legyen ψ: [ α,β ] Y,ψ:=fφ ekkor ψ folytonos (kompozíció függvény tulajdonságából), továbbá t ( α,β ) ψ ( t ) =f ( φ ( t ) ) R f , sőt, ψ ( α ) =f ( φ ( α ) ) =f ( x 1 ) = y 1 ,ψ ( β ) =f ( φ ( β ) ) =f ( x 2 ) = y 2 .

Definíció: azt mondjuk, hogy az AX összefüggő (topológiai értelemben), ha nem adható meg G 1 és G 2 diszjunkt nyílt halmaz úgy, hogy G 1 G 2 A,A G 1 ,A G 2 .
Megjegyzés: belátható, hogy ha A ívszerűen összefüggő, akkor összefüggő.

Tétel: legyenek X, Y metrikus terek, f:XY,fC ( D f ) ! Ha D f összefüggő R f is. (Bolzano-tétel metrikus térben.)

Függvénysorok és sorozatok egyenletes konvergenciája

Definíció: legyenek X, Y metrikus terek, MX , és j -re f j :MY . Azt mondjuk, hogy f j függvények függvénysorozatot alkotnak, jelölése ( f j ) j .

Definíció: azt mondjuk, hogy az f j :MY függvényekből álló sorozat pontonként tart egy f:MY függvényhez, ha xM, lim j f j ( x ) =f ( x ) .
Kérdés: feltéve, hogy f j C ( M ) minden j-re, fC ( M ) ? Általában nem. Pl: f j ( x ) = x j ,0x1,j , ekkor f j C ( M ) , de lim j f j ( x ) = { 0 ha  0x<1 1 ha  x=1 .

Definíció: azt mondjuk, hogy az f j :MY függvényekből álló sorozat egyenletesen tart az f:MY függvényhez, ha ε>0 j 0 :j> j 0 ρ ( f j ( x ) ,f ( x ) ) <ε,xM .
Megjegyzés: j 0 csak ε -tól függ, és nem függ x-től. (Pontonkénti konvergencia esetén függhet x-től.)

Példa: f j ( t ) := t j ,0<a<1,0ta , ekkor f j egyenletesen tart 0-hoz a [ 0,a ] -n. Ugyanis legyen ε>0 tetszőleges, 0 t j <ε esetén 0 t j <ε mikor teljesül? Válasszuk meg j 0 számot úgy, hogy j> j 0 esetén a j <ε . Ezt mindig megtehetjük, ugyanis 0<a<1 , így 0ta esetén t j a j ε .

Tétel: legyen f j :MY,MX, f j C ( D f ) . Ha ( f j ) függvénysorozat egyenletesen tart egy f:MY függvényhez, akkor f folytonos.
Bizonyítás: legyen x 0 M . Belátjuk, hogy fC [ x 0 ] . Tetszőleges xM esetén ρ ( f ( x ) ,f ( x 0 ) ) ρ ( f ( x ) , f j ( x ) ) +ρ ( f j ( x ) , f j ( x 0 ) ) +ρ ( f j ( x 0 ) ,f ( x 0 ) ) . Legyen ε 3 >0 tetszőleges, ezért mivel ( f j ) egyenletesen tart f-hez, j 0 :j> j 0 ρ ( f ( x ) , f j ( x ) ) < ε 3 ,ρ ( f ( x 0 ) , f j ( x 0 ) ) < ε 3 . Választhatunk egy rögzített j> j 0 -t, mondjuk j= j 0 +1 . Továbbá tudjuk, hogy f j C [ x 0 ] δ>0:xM,ρ ( x, x 0 ) <δρ ( f j ( x ) , f j ( x 0 ) ) < ε 3 , tehát ρ ( f ( x ) ,f ( x 0 ) ) ρ ( f ( x ) , f j ( x ) ) <ε/3  mivel  j> j 0 + ρ ( f j ( x ) , f j ( x 0 ) ) <ε/3  ha x B δ ( x 0 ) + ρ ( f j ( x 0 ) ,f ( x 0 ) ) <ε/3  mivel  j> j 0 <ε .
Megjegyzés: f j ( t ) := t j ,0t1 függvények esetén ( f j ) függvénysorozat nem tart egyenletesen az f függvényhez.

Definíció: legyen X metrikus tér, Y=,MX, g k :M ( helyett lehetne is). Ekkor tekintsük a következő függvénysorozatot: f j := k=1 j g k . Az ilyen módon értelmezett ( f j ) sorozatot a g k tagokból álló függvénysornak nevezzük.

Definíció: azt mondjuk, hogy a g k tagokból álló sor pontonként konvergens és összege f:M függvény, ha xM esetén g k ( x ) tagokból álló számsor konvergens -ben, és a sor összege f ( x ) , és ezt így jelöljük: k=1 g k ( x ) =f ( x ) jelöljük.
Megjegyzés: k=1 g k ( x ) lim j f j ( x ) = lim j k=1 j g j ( x ) .

Definíció: azt mondjuk, hogy a ( g k ) tagokból álló függvénysor egyenletesen konvergál egy f:M függvényhez, ha f j = k=1 j g k esetén ( f j ) függvénysorozat egyenletesen tart f-hez.

Tétel: tfh g k :M folytonos és a g k tagokból álló sor egyenletesen konvergál egy f:M függvényhez fC ( D f ) .
Bizonyítás: f j = k=1 j g k folytonos, lim ( f j ) =f -hez egyenletesen konvergál fC ( D f ) .

Tétel: tfh g k :M függvényekre teljesül, hogy | g k | a k , a k és k=1 a k < . Ekkor a ( g k ) tagokból álló függvénysor egyenletesen konvergens.
Bizonyítás: legyen xM tetszőleges, rögzített pont. Először belátjuk, hogy k=1 | g k ( x ) | < . Legyen f j ( x ) := k=1 j g k ( x ) , ekkor j 0 :j>l> j 0 | f j ( x ) f l ( x ) | = | k=l+1 j g k ( x ) | k=l+1 j | g k ( x ) | k=l+1 j a k <ε , mivel k=1 a k < , vagyis ( f j ( x ) ) j számsorozatra teljesül a Cauchy-kritérium. Mivel teljes tér f ( x ) : lim j f j ( x ) =f ( x ) , vagyis a | g k ( x ) | és a g k ( x ) tagokból álló függvénysor konvergens.
Belátjuk, hogy a sor, illetve a vele ekvivalens ( f j ) függvénysorozat egyenletesen konvergál f-hez. Legyen ε>0 tetszőleges, a fentiek szerint, j határátmenetben a fenti egyenlőtlenségből kapjuk, hogy | f ( x ) f l ( x ) | k=l+1 a k <ε,xM , ha l> j 0 . De hisz ez pont az jelenti, hogy f k egyenletesen tart f-hez.

Hatványsorok

Definíció: egy c j x j ,x, c j ,j=0,1,2... tagokból álló függvénysort hatványsornak nevezünk.
Megjegyzés: a hatványsor tagjai folytonos függvények.
Kérdés: a hatványsor mely x-ekre konvergens, illetve egyeneltesen konvergens?

Definíció: legyen a k ,k . Az ( a k ) k valós számsorozat limesz szuperiorját illetve limesz inferiorját így értelmezzük: limsup ( a k ) k = limsup k a k jelenti azt a legnagyobb valós számot (vagy végtelent), amelyhez az ( a k ) egy alkalmas részsorozata konvergál. Ezzel analóg a liminf ( a k ) .
Megjegyzés:

  1. mindig létezik limesz inferior és limesz szuperior
  2. ha lim ( a k ) lim ( a k ) =limsup ( a k ) =liminf ( a k )
  3. limsup ( a k ) = lim k [ sup { a k , a k+1 ,... } ]

Tétel: legyen R:= 1 limsup | c k | k . Ha a nevező nulla lenne, akkor R:= , ha végtelen, akkor R:=0 . Ekkor | x | <R esetén a hatványsor konvergens, | x | >R esetén pedig divergens.
Bizonyítás: a gyökkritérium alapján…

Tétel: legyen 0< R 0 <R , ekkor a hatványsor egyenletesen konvergens az R 0 sugarú intervallumban (vagy körben).
Bizonyítás: Weierstrass kritériummal bizonyítjuk. Legyen g j ( x ) = c j x j ,j=0,1,... , ekkor | g j ( x ) | = | c j x j | = | c j | | x j | | c j | R 0 j . Azt kellene belátni, hogy | c j | R 0 j tagokból álló sor konvergens. Alkalmazzuk erre a gyökkritériumot! | c j | R 0 j j = R 0 | c j | j , limsup j | c j | R 0 j j = R 0 limsup j | c j | j = R 0 R <1 j=1 | c j | R 0 j konvergens (ez a gyökkritérium).

Következmény: a hatványsor összege folytonos a konvergenciakör belsejében. Például e x = j=0 x j j! , ennek a konvergencia-sugara végtelen, mert R= 1 limsup 1/n! n =limsup n! n = .

10.20

Differenciálhatóság

Definíció: egy f: vagy függvényt az x 0 pontban differenciálhatónak nevezünk, ha x 0 int D f és lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 és véges lim ε0 f ( x 0 +ε ) f ( x 0 ) ε és véges.
Megjegyzés: Hogy egy ilyen definíciót továbbvihessünk "többváltozós" függvényekre, szükségünk van a lineáris leképezések vizsgálatára.

Lineáris leképezések

Definíció: legyen X vektortér, azt mondjuk, hogy az MX halmaz elemei lineárisan függetlenek, ha bármely M -beli véges sok elemre i α i x i =0 α i =0 . Gyakran M-et nevezzük lineárisan függetlennek, nem pedig az elemeit.

Állítás: egy vektortér lineárisan független elemeinek maximális száma egyértelmű.

Definíció: az X vektortér dimenziójának nevezzük az X-beli lineárisan független elemek maximális számát (véges vagy végtelen is lehet).

Definíció: legyenek X és Y vektorterek, MX ! Egy A:MY leképezést lineárisnak nevezünk, ha

  1. x 1 , x 2 M x 1 + x 2 M , és xM,λλxM
  2. A ( x 1 + x 2 ) =A ( x 1 ) +A ( x 2 ) (additivitás)
  3. A ( λ x 1 ) =λA ( x 1 ) (homogenitás)
Megjegyzés: az első feltétel M-től megköveteli, hogy lineáris altér legyen, azonban gyakran A-t egy X-ről Y-ba képező függvényként definiáljuk, így M-re nincs is szükség.

Példák: X:= n ,Y:= m ,A: n m lineáris leképezés. Ekkor egyértelműen létezik egy olyan 𝒜 mátrix, hogy 𝒜x=Ax , és 𝒜 ilyen alakú: 𝒜:= ( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn )

Definíció: jelölje a lin ( X,Y ) =L ( X,Y ) az összes XY lineáris leképezések halmazát!

Definíció: legyen X, Y vektorterek, Alin ( X,Y ) ,Blin ( X,Y ) , ekkor A+B -t így értelmezzük: ( A+B ) ( x ) = Ax+Bx Y ,x -re.

Állítás: ( A+B ) lin ( X,Y )

Definíció: az Alin ( X,Y ) -nek λ számmal való szorzatát így értelmezzük: ( λA ) ( x ) =λ ( Ax ) .
Megjegyzés: a homogenitás miatt a zárójelet elhagyhatjuk, a művelet egyértelmű marad.

Állítás: λAlin ( X,Y )

Tétel: lin ( X,Y ) vektorteret alkot az előbbi két művelettel (vagyis az A+B között értelmezett összeadással és λA -val értelmezett szorzással).

Definíció: legyenek Y=X vektorterek! Egy Alin ( X,X ) ,Blin ( X,X ) szorzatát így értelmezzük: ( AB ) ( x ) =A ( B ( x ) ) , vagyis mint kompozíció, tehát ABAB .

Állítás: ABlin ( X,X ) .

Definíció: legyen

Ekkor Ilin ( X,X ) és 0lin ( X,X ) . Így igaz a következő

Tétel: lin ( X,X ) -ben érvényesek a következők:

  1. ( A+B ) C=AC+BC
  2. C ( A+B ) =CA+CB
  3. λ ( AB ) = ( λA ) B
  4. !0lin( X,X ):0A=A0=0A
  5. !Ilin( X,X ):IA=AI=AA

Definíció: egy Alin ( X,X ) hatványait így értelmezzük: A 0 =I , A 1 =A , A 2 =AA A n = AA...A n  db =A A n1 = A n1 A .

Állítás: legyen X:= n és A,Blin ( n , n ) . Ha 𝒜A,B , akkor 𝒜AB . (Itt 𝒜A azt jelenti, hogy Ax=𝒜x ; 𝒜 mátrixszorzást jelent).

Definíció: legyen X vektortér, Alin ( X,X ) ! Azt mondjuk, hogy λ szám az A leképezés sajátértéke és xX,x0 pedig a sajátvektora, ha Ax=λx .

Definíció: a ψ sajátérték rangjának (vagy geometriai multiplicitásának) a ψ -hoz tartozó lineárisan független sajátelemek (sajátvektorok) maximálás számát nevezzük.
Megjegyzés: a ψ -hoz tartozó sajátvektorok alteret alkotnak.
Speciális eset: X:= n ,A𝒜,I = ( 1 0 0 0 0 1 ) : det ( 𝒜λ ) =0 egyenlet megoldásai adják a ψ sajátértékeket.

Lineáris leképezések inverze

Legyen X vektortér! Egy Alin ( X,X ) leképezésnek mikor van inverze? (Tudjuk, hogy az inverz csak akkor értelmezhető, ha a függvény injektív).

Tétel: egy Alin ( X,X ) leképezésnek pontosan akkor van inverze, ha Ax=0x=0 , vagyis ha kerA= { 0 } .
Bizonyítás: belátjuk, hogy A injektív, ha kerA=0 , illetve kerA=0 ha A injektív. Első része: legyen x 1 , x 2 X és A x 1 =A x 2 A ( x 1 x 2 ) =0 , mivel kerA=0 , ezért x 1 x 2 =0 x 1 = x 2 , tehát A injektív, ha kerA=0 .
Most belátjuk, hogy kerA=0 ha A injektív, vagyis Ax=0x=0 . A0=0 és A injektív x=0 .

Állítás: Alin ( X,X ) injektív A 1 lin ( X,X )

Állítás: legyen Alin ( X,X ) olyan, hogy Blin ( X,X ) :AB=BA=I , ekkor A 1 és A 1 =B .

Lineáris és folytonos operátorok

Legyen a továbbiakban X, Y normált tér, Alin ( X,Y ) .
Kérdés: következik-e ebből, hogy A folytonos is? Általában nem.

Állítás: legyen Alin ( n , m ) , ekkor A folyonos.
Bizonyítás: legyen 𝒜 mátrix, melyre 𝒜x=Ax . Becsüljük meg amink van | Ax | -t! | Ax | 2 = | 𝒜x | 2 = j=1 m y j 2 j=1 m k=1 n a jk 2 k=1 n x k 2 = | x | 2 j=1 m k=1 n a jk 2 (lásd a megjegyzést), vagyis | Ax | 2 c 2 | x | 2 | Ax | c | x | , így | AxA x 0 | c | x x 0 | . Legyen ε>0 tetszőleges, δ:= ε c >0 . Ha | x x 0 | <δ= ε c | AxA x 0 | <c ε c =ε .
Megjegyzés: az első számítás során felhasználtuk, hogy y j = ( 𝒜x ) j = k=1 m a jk x k y j 2 ( k=1 m a jk 2 ) ( k=1 m x k 2 ) . (Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség).

Definíció: legyen X, Y normált tér, Alin ( X,Y ) ! Az A leképezést korlátosnak nevezzük, ha c0,c: Ax c x ,xX -re.

Tétel: legyen Alin ( X,Y ) . Ekkor A folytonos A korlátos.
Bizonyítás: irányban: tfh A korlátos, vagyis c0: Ax c x . Legyen x 0 X . Azt szeretnénk belátni, hogy ε>0δ>0: x x 0 <δ AxA x 0 <ε . Tudjuk, hogy AxA x 0 = A ( x x 0 ) c x x 0 , ezért legyen δ:= ε c >0 , így AxA x 0 <c ε c =ε .
irányban indirekt: tfh A nem korlátos, de folytonos, vagyis a nem korlátosságból adódóan c>0x: Ax >c x . Ekkor n számhoz x n X: A x n >n x n ,c:=n . Legyen x n ˜ := x n n x n , ekkor x n ˜ = 1 n x n x n = 1 n , vagyis lim ( x n ˜ ) =0 . Mivel A folytonos, így az átviteli elv segítségével lim A x n ˜ =0 , de tudjuk, hogy A x n ˜ = A x n n x n > n x n n x n =1 , tehát azt kaptuk, hogy A x n ˜ >1n -re, de ez meg ellentmond annak, hogy lim A x n ˜ =0

Definíció: egy f függvényt akkor nevezünk folytonosan differenciálhatónak egy [ α , β ] -n, ha folytonos az [ α , β ] -n, differenciálható a ( α , β ) -n és a deriváltjának létezik folytonos kiterjesztése az [ α , β ] -ra. Ezt a tényt így jelöljük: f C 1 [ 0,1 ] .
Példa lineáris, nem korlátos operátorra: X:=C [ 0,1 ] , művelet a szokásos összeadás és skalárral való szorzás, a norma f =sup | f | . Legyen f D A = C 1 [ 0,1 ] X , ahol A a differenciáloperátor, vagyis Af:=f'X . Vegyük észre, hogy Alin ( X,X ) , de nem folytonos. Ugyanis: az f j ( t ) = 1 j e j t , j , t [ 0,1 ] függvények folytonosan differenciálhatóak, normájuk f j ( t ) = 1 j lim j f j = 0 . Továbbá f j ' ( t ) = e j t f j ' ( t ) = 1 lim j f j ' = lim j A f j = 1 . Eszerint az A f = f ' , f folytonosan differenciálható, C[ 0,1 ]C[ 0,1 ] operátor nem folytonos, de lineáris (az A operátor a [ 0,1 ] intervallumon folytonos függvények halmazából képez a [ 0,1 ] intervallumon folytonos függvények halmazába).

11.04

Adott vektortérhez többféleképp is értelmezhető norma. Folytonos függvényekre (amik vektorteret alkotnak) egy lehetséges norma a következő: f 1 = 0 1 | f | vagy akár a következő: f =sup { | f | :t [ 0,1 ] } . Ez utóbbira lássuk be a norma tulajdonságait!

  1. f =0f=0 láthatóan teljesül
  2. λf =sup { | λf ( t ) | :t [ 0,1 ] } =sup { | λ | | f ( t ) | :t [ 0,1 ] } = | λ | sup { | f ( t ) | :t [ 0,1 ] } = | λ | f
  3. f+g =sup{ | f+g |( t ):t[ 0,1 ] }sup{ | f( t ) |+| g( t ) |:t[ 0,1 ] } sup{ | f( t ) |:t[ 0,1 ] }+sup{ | g( t ) |:t[ 0,1 ] }

Definíció: legyen X, Y normált tér, A lin ( X , Y ) és korlátos. Értelmezzük az A operátor normáját! A : = sup { A x : x = 1 } . Belátandó, hogy a norma tulajdonságai teljesülnek. Mivel A korlátos, c : A x c x = c , ha x = 1 .

  1. Nyilván A 0 és A=0 A =0 . Fordítva: A =0 Ax =0xX, x =1 . Bizonyítandó, hogy ekkor A=0Az=0zX . Ekkor Az=A ( z z z ) = z A ( z z ) normája  1 = z 0=0,zXA=0 .
  2. λA =sup { ( λA ) x | x =1 } =sup { | λ | Ax | x =1 } = | λ | sup { Ax | x =1 } =λ A .
  3. A+B =sup { ( A+B ) x : x =1 } sup { Ax + Bx : x =1 } sup { Ax : x =1 } +sup { Bx : x =1 } = A + B .

Tétel: legyen X, Y normált tér! Tekintsük a korlátos, lin ( X,Y ) -beli operátorokat az összeadással és számmal való szorzással és az előbb értelmezett normával. Ez normált teret alkot és L ( X,Y ) -nak jelöljük.
Megjegyzés: az X-en értelmezett Y-ba képező korlátos lineáris operátorok a szokásos műveletekkel vektorteret alkotnak, mert 2 korlátos, folytonos operátor összege is folytonos, korlátos és skalár szorosa is korlátos (utóbbi ekvivalens a folytonossággal, mint bizonyítottuk).

Állítás: legyen AL ( X,Y ) ! Ekkor A =min { c0: Ax c x ,xX } .
Bizonyítás: α:=inf { c0: Ax c x xX } . Mivel A =sup { Ax | x =1 } zX \ { 0 } elemet véve z= z z z . Ekkor Az = A z z z = z ( A ( z z ) ) z A A { c0: Ax c x ,xX } α A . Belátjuk, hogy α< A nem lehet, ha ugyanis α< A lenne, akkor c:0c< A , Ax c x , de ekkor A =sup { Ax | x =1 } sup { c x | x =1 } =c lenne, ami ellentmond c< A -nak.

Tétel: legyen X normált, Y teljes normált tér, ekkor L ( X,Y ) normált tér is teljes.
Bizonyítás: legyen ( A j ) j Cauchy-sorozat az L ( X,Y ) normált térben, vagyis ε>0 k 0 :j,k> k 0 A j A k <ε . Be kellene látni, hogy AL ( X,Y ) : lim j A j A =0 . Legyen xX tetszőleges rögzített elem! Tekintsük az ( A j x ) j Y-beli sorozatot! Belátjuk, hogy erre teljesül a Cauchy-kritérium.
A j x A k x = ( A j A k ) x A j A k x ε x . Mivel Y tér teljes, lim j ( A j x ) =A ( x ) Y . lim j A j xA( x ) =0,xX rögzített elemre. Nem nehéz belátni, hogy Alin ( X,Y ) . Belátandó, hogy korlátos is. A j x A j x . Mivel ( A j ) Cauchy sorozat, ε>0 j 0 :j,k> j 0 A j A k <ε . Legyen ε:=1,k:= j 0 +1 , ekkor A j A j 0 +1 <1 ha j> j 0 . A 1 , A 2 ... A j 0 , A k véges sok operátor, ezek korlátosak. Ebből következik, hogy c: A j c,j , továbbá a A j x A k x ε x egyenlőtlenségből követkeik k esetben, hogy A j xAx ε x , tehát A j x Ax c x és lim j A j A =0 .

Emlékeztető kalkulusról: f: függvény differenciálható egy x 0 pontban, ha lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 :=f' ( x 0 ) . Legyen ε ( x ) = f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 f' ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) =f' ( x 0 ) ( x x 0 ) +ε ( x ) ( x x 0 ) , ekkor egy f differenciálható, ha lim x x 0 ε ( x ) =0 . Ha f ( x ) f ( x 0 ) =f' ( x 0 ) ( x x 0 ) +ε ( x ) ( x x 0 ) teljesül úgy, hogy lim x x 0 ε ( x ) =0f differenciálható. Módosítás: η ( x ) :=ε ( x ) ( x x 0 ) , ekkor f ( x ) f ( x 0 ) =A ( x x 0 ) +η ( x ) , ahol lim x x 0 η ( x ) x x 0 =0 . Ezt, az eredetivel ekvivalens meghatározást tovább lehet általánosítani normált terekre.

Definíció: legyenek X, Y normált terek, f:XY , x 0 int D f ! Azt mondjuk, hogy f differenciálható az x 0 D f pontban, ha AL ( X,Y ) :f ( x ) f ( x 0 ) =A ( x x 0 ) +η ( x ) és lim x x 0 η ( x ) x x 0 =0Y .
Megjegyzés: X=Y= esetben visszaadja a klasszikus definíciót.

Állítás: ha f differenciálható az x 0 -ban, akkor A egyértelmű.
Bizonyítás
: tfh A, A ˜ L ( X,Y ) :f ( x ) f ( x 0 ) =A ( x x 0 ) +η ( x ) és f ( x ) f ( x 0 ) = A ˜ ( x x 0 ) + η ˜ ( x ) ahol lim x x 0 η ( x ) x x 0 =0= lim x x 0 η ˜ ( x ) x x 0 . Belátjuk, hogy A A ˜ =0 .
Legyen zX tetszőleges és a \ { 0 } . Ekkor x= x 0 +az benne van az x 0 kis környezetében, ha | a | elég kicsi. Ekkor 0= ( A A ˜ ) ( az ) + ( η η ˜ ) ( x 0 +az ) . Osszuk mindkét oldalt a-val! 0= ( A A ˜ ) z+ ( η η ˜ ) ( x 0 +az ) /a , így ( η η ˜ ) ( x 0 +az ) a = ( η η ˜ ) ( x 0 +az ) | a | = ( η η ˜ ) ( x 0 +az ) x x 0 z = ( η η ˜ ) x x x 0 0  ha  x x 0 z 0 , ezért ( A A ˜ ) z=0,z

Definíció: ha f differenciálható az x 0 -ban, akkor az AL ( X,Y ) korlátos lineáris operátort az f függvény x 0 beli deriváltjának nevezzük, és f' ( x 0 ) -nak jelöljük.
Megjegyzés: f' ( x 0 ) L ( X,Y ) , továbbá erre igaz, hogy f ( x ) f ( x 0 ) =f' ( x 0 ) ( x x 0 ) +η ( x ) , ahol lim x x 0 η ( x ) x x 0 =0 . Speciális eset: A=f' ( x 0 ) L ( n , m ) , ennek megfeleltethető egy 𝒜 mátrix: 𝒜x=Ax:𝒜= ( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn ) .

Állítás: ha f differenciálható x 0 -ban, akkor f folytonos x 0 -ban.
Bizonyítás: f ( x ) f ( x 0 ) =f' ( x 0 ) ( x x 0 ) +η ( x ) . Belátjuk, hogy lim x x 0 [ f ( x ) f ( x 0 ) ] =0 . Egyrészt f' ( x 0 ) ( x x 0 ) f' ( x 0 ) x x 0 0  ha  x x 0 . Másrészt η ( x ) = η ( x ) x x 0 x x 0 0  ha  x x 0 . Tehát lim x f ( x ) f ( x 0 ) = lim x f' ( x 0 ) ( x x 0 ) +η ( x ) lim x f' ( x ) ( x x 0 ) + lim x η ( x ) =0 .

11.18

A deriválás művelete, műveleti szabályok

Tétel: tfh f és g differenciálható x 0 -ban f+g is, és ( f'+g' ) ( x 0 ) =f' ( x 0 ) +g' ( x 0 ) . Továbbá tetszőleges λ esetén λf is differenciálható x 0 -ban és ( λf ) ' ( x 0 ) =λ ( f' ( x 0 ) ) .
Bizonyítás
: mivel f differenciálható x 0 -ban f értelmezve van B r 1 ( x 0 ) -n is, ha r 1 elég kicsi. Legyen x B r 1 ( x 0 ) ! Ekkor f ( x ) f ( x 0 ) =f' ( x 0 ) ( x x 0 ) + η 1 ( x ) , ahol lim x x 0 η 1 ( x ) x x 0 =0 . Mivel g differenciálható x 0 -ban g értelmezve van az B r 2 ( x 0 ) -n is, ha r 2 elég kicsi. Legyen x B r 2 ( x 0 ) , ekkor g ( x ) g ( x 0 ) =g' ( x 0 ) ( x x 0 ) + η 2 ( x ) , ahol lim x x 0 η 2 ( x ) x x 0 =0 . Ezekből következik, hogy r=min { r 1 , r 2 } esetén, x B r ( x 0 ) -re: [ f ( x ) +g ( x ) ] [ f ( x 0 ) +g ( x 0 ) ] =f' ( x 0 ) ( x x 0 ) +g' ( x 0 ) ( x x 0 ) + η 1 ( x ) + η 2 ( x ) = = [ f' ( x 0 ) +g' ( x 0 ) ] ( x x 0 ) + [ η 1 ( x ) + η 2 ( x ) ] . Továbbá mivel η 1 ( x ) + η 2 ( x ) x x 0 = η 1 ( x ) x x 0 0  ha  x x 0 + η 2 ( x ) x x 0 0  ha  x x 0 0  ha  x x 0 , lim x x 0 η 1 ( x ) + η 2 ( x ) x x 0 =0 .

Tétel (a kompozíció függvény deriválási szabálya): tfh X,Y,Z normált terek, f:XY , g:YZ , ekkor ( gf ) :XZ . Tfh f differenciálható x 0 X -ban és g differenciálható y 0 Y -ban úgy, hogy y 0 =f ( x 0 ) . Ekkor gf is differenciálható x 0 -ban és ( gf ) ' ( x 0 ) =g' ( f ( x 0 ) ) f' ( x 0 ) L ( X,Z ) .

Bizonyítás: mivel f differenciálható x 0 -ban, így f értelmezve van egy B r ( x 0 ) környezetben. Legyen x B r 1 ( x 0 ) , ekkor f ( x ) f ( x 0 ) =f' ( x 0 ) ( x x 0 ) + η 1 ( x ) ahol lim x x 0 η 1 ( x ) x x 0 =0 . Mivel g differenciálható y 0 =f ( x 0 ) -ban, ezért értelmezve van y 0 egy B r 2 ( y 0 ) környezetében. Legyen y B r 2 ( y 0 ) , ekkor g ( y ) g ( y 0 ) =g' ( y 0 ) ( y y 0 ) + η 2 ( y ) és lim y y 0 η 2 ( y ) y y 0 =0 . Mivel fC ( x 0 ) B r 2 ( y 0 ) = B r 2 ( f ( x 0 ) ) környezethez B r 1 ˜ ( x 0 ) :x B r 1 ˜ ( x 0 ) f ( x ) B r 2 ( f ( x 0 ) ) . Legyen r 1* :=min { r 1 , r 1 ˜ } . x B r 1 * ( x 0 ) esetén y helyébe f ( x ) -t írhatunk a g-re vonatkozó egyenletben g ( f ( x ) ) g ( f ( x 0 ) ) =g' ( f ( x 0 ) ) ( f ( x ) f ( x 0 ) ) + η 2 ( f ( x ) ) ( gf ) ( x ) ( gf ) ( x 0 ) = =g' ( f ( x 0 ) ) [ f' ( x 0 ) ( x x 0 ) + η 1 ( x ) ] + η 2 ( f ( x ) ) =g' ( f ( x 0 ) ) [ f' ( x 0 ) ( x x 0 ) ] + [ g' ( f ( x 0 ) ) η 1 ( x ) + η 2 ( f ( x ) ) ] η ( x ) . Azt kellene megmutatni, hogy lim x x 0 η ( x ) x x 0 =0 . Tekintsük először η ( x ) első tagját: g' ( f ( x 0 ) ) η 1 ( x ) x x 0 g' ( f ( x 0 ) ) η 1 ( x ) x x 0 = g' ( f ( x 0 ) ) η 1 ( x ) x x 0 0 , mert az utolsó tag 0 . Tehát már elegendő csak η 2 ( f ( x ) ) x x 0 0 állítást belátni. Ehhez használjuk a következő jelölést: ε ( y ) := { η 2 ( y ) y y 0 ha  y y 0 ,y B r 2 ( y 0 ) 0  ha  y= y 0 . Láthatjuk, hogy ekkor ε:Y,εC ( y 0 ) . Átrendezve: η 2 ( y ) =ε ( y ) y y 0 y B r 2 ( y 0 ) η 2 ( f ( x ) ) x x 0 =ε ( f ( x ) ) f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 = ε ( f ( x ) ) 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 bizbe: korlátos , a szorzat 0 , ha az utolsó tényező korlátos, ugyanis ε definíciójából következik, hogy lim x x 0 ε ( f ( x ) ) =ε ( f ( x 0 ) ) =0 , mert fC ( x 0 ) ,εC ( y 0 ) εC ( f ( x 0 ) ) . A második tényező valóban korlátos, ugyanis f ( x ) f ( x 0 ) =f' ( x 0 ) ( x x 0 ) + η 1 ( x ) f ( x ) f ( x 0 ) f' ( x 0 ) ( x x 0 ) + η 1 ( x ) f' ( x 0 ) x x 0 + η 1 ( x ) f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 f' ( x 0 ) rögz + η 1 ( x ) x x 0 0 .

Tétel (a valós függvény inverzének deriválási szabálya): legyen I egy -beli nyílt intervallum! Legyen f:IR szigorúan monoton függvény és fC ( D f ) . Ha f differenciálható a D f -ban és f' ( a ) 0 f 1 differenciálható f ( a ) -ban és ( f 1 ) ' ( b ) = 1 f' ( f 1 ( b ) ) .
Bizonyítás
: mivel f szigorúan monoton (növő), ezért f injektív, tehát létezik f 1 . Mivel D f =I intervallum, ezért R f =J is intervallum (Bolzano tétel), sőt, nyílt is, mivel f szigorúan monoton. Ekkor b=f ( a ) -t tekintve bint D f 1 = R f . f 1 értelmezve van b egy környezetében, ebből véve egy y pontot f 1 ( y ) f 1 ( b ) yb = 1 f ( x ) f ( a ) xa = 1 f ( f 1 ( y ) ) f ( f 1 ( b ) ) f 1 ( y ) f 1 ( b ) . h a ( x ) := { f ( x ) f ( a ) xa ha  xa f' ( a ) ha  x=a Ebből láthatjuk, hogy h a C ( a ) . Ekkor f 1 ( y ) f 1 ( b ) yb = 1 h a ( f 1 ( y ) ) . lim yb f 1 ( y ) =a mert f 1 C ( R f ) , f 1 ( b ) =a . Ha yb f 1 ( y ) a (mert f szigorúan monoton). Másrészt h a C ( a ) lim yb h a ( f 1 ( y ) ) = h a ( a ) =f' ( a ) .

Példák:

Differenciálhatóság n m -ben

A továbbiakban legyen X:= n ,Y:= m . Tegyük fel, hogy f: n m . Mit jelent az, hogy f differenciálható egy x 0 n pontban?

Definíció szerint AL ( n , m ) :f ( x ) f ( x 0 ) =A ( x x 0 ) +η ( x ) , lim x x 0 η ( x ) x x 0 =0,x B r ( x 0 ) . Tudjuk, hogy A-hoz egyértelműen megfeleltethető egy 𝒜= ( a 11 a 1n a m1 a mn ) mátrix, melyre A ( x x 0 ) =𝒜 ( x x 0 ) , így f ( x ) f ( x 0 ) =𝒜 ( x x 0 ) +η ( x ) .
Kérdés: mik a mátrixelemek, vagyis a ij =? Először legyen m=1 , azaz f: n . f differenciálhatósága azt jelenti, hogy f ( x ) f ( x 0 ) = j=1 n a 1j ( x j x 0j ) +η ( x ) ahol lim x x 0 η ( x ) x x 0 =0 . Legyen speciel x= ( x 0,1 , x 0,2 ... x 0,j1 , x j , x 0,j+1 ... x 0,n ) . Ekkor f ( x ) f ( x 0 ) = a 1j ( x j x 0,j ) +η ( x ) f ( x 0,1 , x 0,2 ... x 0,j1 , x j , x 0,j+1 ... x 0,n ) f ( x 0,1 , x 0,2 ... x 0,j1 , x 0,j , x 0,j+1 ... x 0,n ) x j x 0,j = a 1j + η ( x ) x j x 0 , ahol | η ( x ) x j x 0,j | = | η ( x ) | | x j x 0,j | = | η ( x ) | | x x 0 | 0 . Ezért a függvény j-edik változó szerinti parciális deriváltja x 0 -ban j f( y 0 )= f x j ( x 0 )= a 1j . Tehát a 1j = j f ( x 0 ) . Ez volt az m=1 eset. Általánosan, f: n m ,f ( x ) m esetre mi lesz? f ( x ) = ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) ... f m ( x ) ) . f k -t nevezhetjük a függvény koordináta-függvényének. f differenciálhatósága azt jelenti, hogy f ( x ) f ( x 0 ) =𝒜 ( x x 0 ) +η ( x ) , lim x x 0 | η ( x ) | | x x 0 | 0, η= ( η 1 , η 2 ... η n ) . Ugyanez koordinátánként kiírva: f k ( x ) f k ( x 0 ) = j=1 n a kj ( x j x 0,j ) + η k ( x ) , az előbbiek szerint a kj = j f k ( x 0 ) . Tehát a mátrixot ilyen alakban írhatjuk: 𝒜= ( 1 f 1 ( x 0 ) 2 f 1 ( x 0 ) n f 1 ( x 0 ) 1 f 2 ( x 0 ) 2 f 2 ( x 0 ) n f 2 ( x 0 ) 1 f m ( x 0 ) 2 f m ( x 0 ) n f m ( x 0 ) ) .

Tétel: ha f= ( f 1 , f 2 ... f n ) : n m függvény differenciálható egy x 0 n pontban, akkor k -ra f k parciálisan differenciálható minden változójában, továbbá f'( x 0 )L( n , m ) a fenti mátrixszal adható meg. Az 𝒜 mátrixelemei a koordináta függvények első parciális deriváltjai.
Megjegyzés: ha f: n parciálisan differenciálható x 0 -ban minden változója szerint, abból nem következik, hogy f differenciálható is.

Egyváltozós kitérés

Lokális növekedés, fogyás – lokális szélsőérték

Definíció: legyen f: , aint D f ! Azt mondjuk, hogy

Tétel: legyen f differenciálható a pontban! Ha f függvény a-ban lokálisan nő f' ( a ) 0 , és ha f' ( a ) >0f a-ban szigorúan lokálisan nő, illetve ha lokálisan fogy f' ( a ) 0 és ha f' ( a ) <0f a-ban szigorúan lokálisan fogy.
Bizonyítás: a) tfh f függvény a-ban lokálisan nő és f differenciálható a-ban. lim xa f ( x ) f ( a ) xa =f' ( a ) . Mivel f függvény a-ban lokálisan nő f ( x ) f ( a ) xa 0 ha 0< | xa | <δ lim xa f ( x ) f ( a ) xa 0 , azaz f' ( a ) 0 .
b) tfh f' ( a ) >0f értelmezve a egy környezetében. Mivel lim xa f ( x ) f ( a ) xa =f' ( a ) >0 , ezért δ>0:0< | xa | <δ f ( x ) f ( a ) xa >0 tehát f függvény a-ban szigorúan lokálisan nő.
Megjegyzés: fordítva nem igaz, tehát ha f szigorúan lokálisan nő f'>0 .
Példa: f ( x ) = x 3 , ekkor f' ( x ) =3 x 2 . Ez 0-ban szigorúan lokálisan nő, de f' ( 0 ) =0 .

Definíció: legyen f: ,aint D f . Azt mondjuk, hogy f-nek a-ban

Tétel: ha f differenciálható a-ban és a-ban lokális szélsőértéke van f' ( a ) =0 .
Bizonyítás
: indirekt, f' ( a ) 0 . Ha pl f' ( a ) >0a -ban szigorúan lokálisan nő, vagy ha f' ( a ) <0a -ban szigorúan lokálisan fogy.
Megjegyzés: f' ( a ) =0 f -nek a-ban lokális szélsőértéke van. Pl f ( x ) = x 3 ,a=0f' ( 0 ) =0 , pedig f 0-ban szigorúan lokálisan nő.

11.25

Monoton növekedés és fogyás

Definíció: azt mondjuk, hogy az f: egy I intervallumon

Rolle Tétel: tfh f: [ a,b ] folytonos és ( a,b ) -n differenciálható, f ( a ) =f ( b ) . Ekkor ξ ( a,b ) :f' ( ξ ) =0 .
Bizonyítás
: a) ha f ( x ) =f ( a ) =f ( b ) ,x , akkor f' ( x ) =0 x ( a,b ) .
b) ha létezik x ( a,b ) :f ( x ) f ( a ) =f ( b ) , pl f ( x ) <f ( a ) , akkor mivel fC [ a,b ] [ a,b ] sorozatkompakt halmaz -ben (ami korlátos és zárt) ezért R f sorozatkompakt korlátos és zárt. ξ [ a,b ] :f ( ξ ) =inff=minf . Mivel f ( x ) :f ( x ) <f ( a ) , ezért ξ ( a,b ) . Ezért f-nek ξ -ben lokális minimuma van. f differenciálható ξ -ben, tehát f' ( ξ ) =0 .

Lagrange-féle középérték Tétel: tfh f: [ a,b ] ,fC ( D f ) és f differenciálható ( a,b ) -n. Ekkor ξ ( a,b ) :f' ( ξ ) = f ( b ) f ( a ) ba .
Bizonyítás
: visszavezetjük a Rolle tételre. Értelmezzük a g függvényt a következő módon: g ( x ) =f ( x ) f ( b ) f ( a ) ba ( xa ) . Ekkor gC [ a,b ] és g differenciálható ( a,b ) -n. g ( b ) =f ( b ) f ( b ) f ( a ) ba ( ba ) =f ( a ) , de a definícióból látható, hogy g ( a ) =f ( a ) g ( b ) =g ( a ) . Alkalmazzuk Rolle tételét! ξ:g' ( ξ ) =0 , azaz 0=g' ( ξ ) =f' ( ξ ) f ( b ) f ( a ) ba

Tétel: legyen I intervallum! f:I,fC ( I ) , továbbá f differenciálható intI -ben. Ekkor f monoton nő az I-n f' ( x ) 0xintI .
Bizonyítás
: a) ha f monoton nő xintI -re f' ( x ) 0
b) tfh f' ( x ) 0xintI . Legyen x 1 , x 2 I , x 1 < x 2 ! Azt kellene belátni, hogy f ( x 1 ) f ( x 2 ) . Alkalmazzuk a Lagrange-féle középérték tételt! [ x 1 , x 2 ] Iξ ( x 1 , x 2 ) I:f' ( ξ ) = f ( x 2 ) f ( x 1 ) x 2 x 1 . A feltétel szerint f' ( ξ ) 0, x 2 x 1 >0f ( x 2 ) f ( x 1 ) 0f ( x 2 ) f ( x 1 ) .
Megjegyzés: azt hihetnénk, hogy f szigorúan monoton növekedése f' ( x ) >0xint D f , pedig nem.
Példa
: f ( x ) = x 3 ,x . Ekkor f szigorúan monoton nő, de f' ( 0 ) =0 .

Tétel: legyen I intervallum, f:I,fC ( I ) és f differenciálható intI -ben! Ekkor f szigorúan monoton nő I-n f' ( x ) 0 és I-nek nincs olyan J részintervalluma, ahol f' ( x j ) =0, x j J
Bizonyítás
: irányban: tfh f szigorúan monoton nő az I-n monoton nő f' ( x ) 0xintI . Indirekt tfh ( c,d ) I:f' ( x ) =0x ( c,d ) Lagrange-féle középérték tétel felhasználásából f= állandó ( c,d ) -n. Ez ellentmond annak, hogy f szigorúan monoton nő.
irányban: tfh f' ( x ) 0xintI és JI részintervallum, ahol f' ( x j ) =0 x j J . Mivel f' ( x ) 0f monoton nő. Ha f nem szigorúan monoton növő lenne, akkor x 1 , x 2 I, x 1 < x 2 :f ( x 1 ) =f ( x 2 ) (mivel f monoton nő) f ( x 1 ) = f ( x ) =f ( x 2 ) x ( x 1 , x 2 ) f' ( x ) =0 , ha x( x 1 , x 2 ) .

Tétel: tfh f: n , és ennek az összes elsőrendű parciális deriváltja létezik x 0 n valamely teljes környezetében, és ezek folytonosak x 0 -ban. Ekkor f differenciálható x 0 -ban.
Bizonyítás: a feltétel szerint egy x 0 bizonyos környezetében fekvő x= ( x 1 , x 2 ... x n ) pontra f ( x ) f ( x 0 ) = = [ f ( x 1 , x 2 ... x n ) f ( x 1,0 , x 2 ... x n ) ] + [ f ( x 1,0 , x 2 ... x n ) f ( x 1,0 , x 2,0 ... x n ) ] +...+ [ f ( x 1,0 , x 2,0 ... x n1,0 , x n ) f ( x 1,0 ... x n,0 ) ] , alkalmasan választott ξ i ( x i , x i,0 ) segítségével folytatva (Lagrange-féle középértéktétel felhasználásával): f ( x ) f ( x 0 ) = = 1 f ( ξ 1 , x 2 ... x n ) ( x 1 x 1,0 ) + 2 f ( x 1,0 , ξ 2 , x 3 ... x n ) ( x 2 x 2,0 ) +...+ n f ( x 1,0 , x 2,0 ... x n1,0 , ξ n ) ( x n x n,0 ) = = 1 f ( x 0 ) ( x 1 x 1,0 ) + 2 f ( x 0 ) ( x 2 x 2,0 ) +...+ n f ( x 0 ) ( x n x n,0 ) + [ 1 f ( ξ 1 , x 2 ... x n ) 1 f ( x 0 ) ] ( x 1 x 1,0 ) η 1 ( x ) + + [ 2 f ( x 1,0 , ξ 2 , x 3 ... x n ) 2 f ( x 0 ) ] ( x 2 x 2,0 ) η 2 ( x ) +...+ [ n f ( x 1,0 , x 2,0 ,..., x n1,0 ξ n ) n f ( x 0 ) ] ( x n x n,0 ) η n ( x ) . Azt kellene belátni, hogy lim x x 0 η ( x ) | x x 0 | =0 ahol η ( x ) = i=1 n η i ( x ) . Hasonló egyenlőség érvényes η ( x ) minden tagjára, pl. az 1-re: | [ 1 f ( ξ 1 , x 2 ... x n ) 1 f ( x 0 ) ] ( x 1 x 1,0 ) | | x x 0 | [ 1 f ( ξ 1 , x 2 ... x n ) 1 f ( x 0 ) ] x x 0  és  1 fC ( x 0 )  ez  0 | x 1 x 1,0 | | x x 0 | 1
Megjegyzés: a tétel feltétele elegendő, de nem szükséges f differenciálhatóságához.

Tétel: legyen f: n m ( m>1 ) . f= ( f 1 , f 2 ... f n ) . Az, hogy f differenciálható x 0 -ben j -re f j differenciálható x 0 -ban, f j : n . Következmény: ha k f j létezik x 0 egy környezetében és folytonos x 0 -ban j,k -ra, akkor f differenciálható x 0 -ban.
Bizonyítás: f differenciálható x 0 -ban f ( x ) f ( x 0 ) =𝒜 ( x x 0 ) +η ( x ) ahol lim x x 0 η ( x ) | x x 0 | =0, η= ( η 1 , η 2 , η 3 ... η n ) . „Koordinátás” alakban így is írhattuk volna: f j ( x ) f j ( x 0 ) = 𝒜 j ( x x 0 ) + η j ( x ) j -re, ahol 𝒜= ( a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn ) illetve 𝒜 k = ( a k1 , a k2 ... a kn ) . Ez pontosan azt jelenti, hogy f j koordinátafüggvény differenciálható x 0 -ban.

Definíció: legyen X, Y normált terek, f:X Y,ΩX tartomány (vagyis nyílt és összefüggő). Ha az f az Ω minden pontjában differenciálható, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható Ω -n.

Definíció: legyen f: n ,Ω ! Ha j -re j f ( x ) ,xΩ , akkor f egyszer parciálisan differenciálható Ω -ban. Ha j f folytonos is Ω minden pontjában j -re, akkor f egyszer folytonosan differenciálható Ω -n, f'C ( Ω ) .

Magasabbrendű differenciálhatóság

Definíció: legyenek X, Y normált terek, f:X Y . Tekintsük az összes xX pontot, melyben f differenciálható! Azt a függvényt, amely az ilyen xX ponthoz az f' ( x ) L ( X,Y ) deriváltat rendeli, f (első) derivált függvényének nevezzük, jele f' .

Definíció: legyenek X, Y normált terek, f:X Y . Ha f' differenciálható x 0 -ban (tehát értelmezve is van x 0 egy környezetében), akkor azt mondjuk, hogy f kétszer differenciálható x 0 -ban és definíció szerint f'' ( x 0 ) := ( f' ) ' ( x 0 ) .
Megjegyzés: f'' ( x 0 ) :X L ( X,Y ) , f'' ( x 0 ) lineáris folytonos operátor, így f'' ( x 0 ) L ( X,L ( X,Y ) ) .

Definíció: ha f' függvény értelmezve van és folytonos valamely ΩX tartományon, akkor azt mondjuk, hogy f egyszer folytonosan differenciálható Ω -n.
Megjegyzés: ez a definíció X= n ,Y= esetén ekvivalens a korábbi definícióval.

Definíció: ha f' függvény értelmezve van és folytonos valamely ΩX tartományon, akkor azt mondjuk, hogy f kétszer folytonosan differenciálható Ω -n.

Definíció: legyen f: n képező függvény! Ha valamely j-re a j f függvény a k-adik változója szerint parciálisan differenciálható egy x 0 n pontjában, akkor k j f ( x 0 ) := [ k ( j f ) ] x 0 . Hasonlóan értelmezhető f függvény magasabb rendű parciális deriváltjaira.
Kérdés: igaz-e, hogy j k f= k j f , j,k -ra? Általában nem (de azért a fizikában előforduló példákra általában igaz, mint ahogy látni is fogjuk).
Pl: f ( x,y ) := { x y 3 ( x 2 + y 2 ) ha  ( x,y ) ( 0,0 ) 0 ha  ( x,y ) = ( 0,0 ) . Ekkor 1 2 f ( 0,0 ) =0 de 2 1 f ( 0,0 ) =1 . Az eredmények nem triviálisak, segítségképp: 1 f= { y 5 x 2 y 3 ( x 2 + y 2 ) 2 ha  ( x,y ) ( 0,0 ) 0 ha  ( x,y ) = ( 0,0 ) illetve 2 f= { 3 x 3 y 2 +x y 2 ( x 2 + y 2 ) 2 ha  ( x,y ) ( 0,0 ) 0 ha  ( x,y ) = ( 0,0 ) .

Young Tétel 2 -ből -be képező függvényekre: legyen f: 2 , melyre ( x 0 , y 0 ) D f 2 pont környezetében létezik 1 2 f és 2 1 f is és folytonosak ( x 0 , y 0 ) pontban. Ekkor 1 2 f ( x 0 , y 0 ) = 2 1 f ( x 0 , y 0 ) .
Bizonyítás: F ( x ) :=f ( x,y ) f ( x, y 0 ) G ( y ) :=f ( x,y ) f ( x 0 ,y ) } F ( x ) F ( x 0 ) =G ( y ) G ( y 0 ) . Alkalmazzuk először a Lagrange középérték-tételt F és G függvényekre! ξ az x, x 0 között, hogy F ( x ) F ( x 0 ) =F' ( ξ ) ( x x 0 ) = [ 1 f ( ξ,y ) 1 f ( ξ, y 0 ) ] ( x x 0 ) és η az y, y 0 között, hogy G ( y ) G ( y 0 ) =G' ( η ) ( y y 0 ) = [ 2 f ( x,η ) 2 f ( x 0 ,η ) ] ( y y 0 ) , ezért a fenti egyenlőség miatt [ 1 f ( ξ,y ) 1 f ( ξ, y 0 ) ] ( x x 0 ) = [ 2 f ( x,η ) 2 f ( x 0 ,η ) ] ( y y 0 ) . Még 2x alkalmazzuk a Lagrange-féle középérték tételt: y 1 f ( ξ,y ) függvényre és x 2 f ( x,η ) függvényre. ξ ˜ , η ˜ : 2 ( 1 f ) ( ξ, η ˜ ) ( y y 0 ) ( x x 0 ) = 1 ( 2 f ) ( ξ ˜ ,η ) ( x x 0 ) ( y y 0 ) , ahol ξ ˜ egy x, x 0 között, η ˜ pedig egy y, y 0 között van. 2 ( 1 f ) ( ξ, η ˜ ) = 1 ( 2 f ) ( ξ ˜ ,η ) . ( x,y )( x 0 , y 0 ) esetén, mivel 1 2 f és 2 1 f folytonosak ( x 0 , y 0 ) -ban, 2 ( 1 f ) ( x 0 , y 0 ) = 1 ( 2 f ) ( x 0 , y 0 ) .

Következmény: ha f: n -be képez és az f-nek az összes második parciális deriváltja létezik x 0 egy környezetében és folytonos x 0 -ban j k f ( x 0 ) = k j f ( x 0 ) .

12.02

Definíció: azt mondjuk, hogy egy f: n függvény k-szor ( k1 ) folytonosan differenciálható Ω -n, ha minden legfeljebb k-ad rendű parciális derivált létezik és folytonos az Ω n tartományon.

Tétel: ha f:Ω függvény k-szor folytonosan differenciálható, akkor f minden legfeljebb k-adrendű parciális deriváltjában a deriválások sorrendje tetszőlegesen felcserélhető.
Jelölés: feltéve, hogy f függvény k-szor folytonosan differenciálható, a továbbiakban használandó a következő jelölés a legfeljebb k-adrendű parciális deriváltakra: α= ( α 1 , α 2 ... α n ) , α j 0, α j esetén α f:= 1 α 1 2 α 2 ... n α n f . A deriválás rendje | α | = j=1 n α j k .
Megjegyzés: ha f: n függvény k-szor folytonosan differenciálható Ω -n f minden legfeljebb ( k1 ) -edrendű parciális deriváltja differenciálható.

Bilineáris operátorok

Azért kellenek, mert f'' ( x 0 ) L ( X,L ( X,Y ) ) , és ezt összefüggésbe akarjuk hozni az X×X-ből Y-ba képező operátorokkal.

Definíció: legyenek X, Y vektorterek, ekkor X×Y: { ( x,y ) |xX,yY } és X×Y-n értelmezzük az összeadást és a valós számmal való szorzást: ( x 1 , y 1 ) + ( x 2 , y 2 ) = ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , λ esetén λ ( x 1 , y 1 ) = ( λ x 1 ,λ y 1 ) .

Állítás: az X×Y a fenti tulajdonságokkal vektorteret alkot.

Definíció: legyenek X, Y normált terek. Ekkor az X, Y vektortérben vezessük be a következő normát: ( x,y ) := x 2 + y 2 !
(Megj: más normát is lehetne definiálni, pl x,y := x + y ).

Állítás: X×Y a fenti normával normált tér.

Definíció: legyenek X, Y, Z normált terek, tekintsük az X×Y vektorteret! Egy A ˜ :X×YZ operátort bilineárisnak nevezünk, ha minden rögzített xX esetén y A ˜ ( x,y ) , yY lineáris és minden rögzített yY esetén x A ˜ ( x,y ) , xX lineáris.
Megjegyzés: az X×Y-ből Z-be képező bilineáris operátorok vektorteret alkotnak a következő művelettel: ( A ˜ + B ˜ ) L ( X×Y,Z ) ( x,y ) X×Y = A ˜ ( x,y ) Z + B ˜ ( x,y ) Z és λ esetén ( λ A ˜ ) ( x,y ) =λ A ˜ ( x,y ) Z .
Kérdés: legyenek X, Y, Z normált terek (tehát vektorterek is). Továbbá legyen A ˜ :X×YZ bilineáris operátor. Következik-e ebből, hogy A ˜ folytonos? Általában nem.

Tétel: az A ˜ :X×Y Z bilineáris operátor folytonos c0: A ˜ ( x,y ) c x y , xX,yY -ra.
Megjegyzés: ha az utóbbi teljesül, akkor A ˜ bilineáris operátort korlátosnak nevezzük.
Bizonyítás irányban: tfh A ˜ korlátos. Belátjuk, hogy A ˜ folytonos ( x 0 , y 0 ) X×Y rögzített elemnél. A ˜ ( x,y ) A ˜ ( x 0 , y 0 ) = [ A ˜ ( x,y ) A ˜ ( x 0 ,y ) ] + [ A ˜ ( x 0 ,y ) A ˜ ( x 0 , y 0 ) ] [ A ˜ ( x,y ) A ˜ ( x 0 ,y ) ] + [ A ˜ ( x 0 ,y ) A ˜ ( x 0 , y 0 ) ] A ˜ ( x x 0 ,y ) + A ˜ ( x 0 ,y y 0 ) c x x 0 y +c x 0 y y 0 ezért nyílván ε>0δ>0: ( x,y ) ( x 0 , y 0 ) = x x 0 2 + y y 0 2 <δc x x 0 y +c x 0 y y 0 <ε
irányban: tfh folytonos, de nem korlátos (indirekt): n x n X, y n Y: A ˜ ( x n , y n ) > n 2 x n y n . Legyen x n ˜ := x n n x n 0 és y n ˜ := y n n y n 0 . Ebből már látszik az állítás.

Definíció: legyenek X, Y, Z normált terek, A ˜ :X×Y Z korlátos, folytonos bilineáris operátor. Ekkor A ˜ normáját így értelmezzük: A ˜ :=sup { A ˜ ( x,y ) : x =1, y =1 } .

Állítás: A ˜ =min { c A ˜ ( x,y ) c x y , ( x,y ) X×Y } . (A bizonyítása hasonló lineáris korlátos operátorok esetéhez.)

Tétel: tekintsük az X×YZ képező korlátos bilineáris operátorokat az előbb bevezetett összeadással és skalárral való szorzással, és vegyük hozzá a fenti normát. Ekkor egy normált teret kapunk.
Észrevétel: legyenek X, Y, Z normált terek, AL ( X,L ( Y,Z ) ) . Értelmezzük az A ˜ :X×YZ operátort: A ˜ ( x,y ) := ( Ax ) y Z . Ekkor A ˜ :X×YZ korlátos bilineáris operátor.
Bizonyítás: a) a fentiek szerint A ˜ :X×YZ
b) belátjuk először, hogy A ˜ bilineáris operátor A ˜ ( λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ,y ) = [ A ( λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) ] y= ( λ 1 A x 1 + λ 2 A x 2 ) y= λ 1 [ ( A x 1 ) y ] + λ 2 [ ( A x 2 ) y ] = λ 1 A ˜ ( x 1 ,y ) + λ 2 A ˜ ( x 2 ,y ) A ˜ ( x, λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = ( Ax ) ( λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = λ 1 ( Ax ) y 1 + λ 2 ( Ax ) y 2 = λ 1 A ˜ ( x, y 1 ) + λ 2 A ˜ ( x, y 2 ) .
c) belátjuk, hogy A ˜ korlátos: A ˜ ( x,y ) = ( Ax ) y Ax y A x y A ˜ korlátos, továbbá A ˜ A .

Tétel: legyenek X, Y, Z normált terek, AL ( X,L ( Y,Z ) ) . Ekkor az A ˜ ( x,y ) := ( Ax ) y,xX,yY képlettel értelmezett A ˜ :X×YZ bilineáris operátor. Fordítva: minden A ˜ :X×YZ bilineáris operátort ilyen alakú: !A:L ( X,L ( Y,Z ) ) : A ˜ ( x,y ) = ( Ax ) y .
Bizonyítás: az első állítást beláttuk. Fordítva: tfh A ˜ :X×YZ korlátos bilineáris operátor. Tekintsük tetszőleges, rögzített xX esetén a következő A ( x ) operátort: y A ˜ ( x,y ) . Ez egyrészt lineáris, másrészt korlátos, hiszen a feltétel szerint A ˜ korlátos: [ A ( x ) ] ( y ) = A ˜ ( x,y ) = x y A ˜ ( x x , y y ) A ˜ x y = ( A ˜ x ) y a fenti operátor korlátos operátor és normája A ˜ x . Jelölje A ( x ) ezt az L ( Y,Z ) -beli operátort A ˜ ( x,y ) = ( A ( x ) ) y . Nem nehéz belátni, hogy A ( x ) x-től lineárisan függ. A korlátos is, hisz A ( x ) A ˜ x ,xXA korlátos is, sőt A A ˜ A ˜ = A . (lásd az előbbi tételt)
Megjegyzés: A ˜ ( x,y ) = ( Ax ) y képlet lineáris normatartó leképezést definiál a bilineáris operátorok és L ( X,L ( Y,Z ) ) között.

Multilineáris leképezések

Definíció: legyenek X 1 , X 2 ... X n ,Z vektorterek. Egy X 1 × X 2 ×...× X n Z leképezést multilineárisnak nevezünk, ha minden koordinátájában lineáris (midőn a többit rögzítjük).

Definíció: legyenek X 1 , X 2 ... X n ,Z normált terek! Egy A ˜ : X 1 × X 2 ×...× X n Z multilineáris leképezés korlátos c0: A ˜ ( x 1 , x 2 ,..., x n ) c x 1 x 2 ... x n x j X j .

Tétel: A ˜ folytonos A ˜ korlátos.

Tétel: egy A ˜ multilineáris folytonos operátor általános alakja A ˜ ( x 1 , x 2 , x 3 ... x n ) = ( ( ( A x 1 ) x 2 ) x 3 ... x n ) ,AL ( X 1 ,L ( X 2 ...L ( X n ,Z ) ) ) .

Alkalmazás a magasabbrendű deriváltak értelmezésére

Legyenek X, Y normált terek, f:X Y . Ha f differenciálható x 0 X -ben, akkor f' ( x 0 ) L ( X,Y ) . f' függvény X-ből L ( X,Y ) -ba képező függvény. Ezért f'' ( x 0 ) = ( f' ) ' ( x 0 ) L ( X,L ( X,Y ) ) . Az f'' ( x 0 ) L ( X,L ( X,Y ) ) -beli operátornak a fentiek szerint egyértelmű módon megfelel egy X×XY bilineáris folytonos operátor: A:=f'' ( a ) L ( X,L ( X,Y ) ) , A ˜ ( x 1 , x 2 ) := ( A x 1 ) x 2 = ( ( f'' ( a ) ) x 1 ) x 2 , ( x 1 , x 2 ) X×X .

Speciális eset: X:= n ,Y:= . Ekkor f: n , L( n , )f'( a )( 1 f( a ), 2 f( a ),..., n f( a ) ) n (a jel a megfeleltethetőséget jelenti). f': n L ( n , ) . Ez úgy is felfogható, hogy f': n n . f'' ( a ) L ( n ,L ( n , ) ) tekinthető n × n bilineáris operátornak, de tekinthető L ( n , n ) -beli operátornak is, ennek megfelel egy n×n-es mátrix. f'= ( 1 f, 2 f,..., n f ) , f'' ( a ) ( 1 2 f ( a ) 2 1 f ( a ) n 1 f ( a ) 1 2 f ( a ) 2 2 f ( a ) n 2 f ( a ) 1 n f ( a ) 2 n f ( a ) n 2 f ( a ) ) =𝒜 . [ f'' ( a ) ] ( x 1 , x 2 ) = 𝒜 x 1 , x 2 = j=1 n [ k=1 n j k f ( a ) x 1k ] x 2j .

Speciális eset: X:= , Y tetszőleges normált tér, f:XY , L( ,Y )f'( a )yY (a nyíl a megfeleltethetőséget jelenti) a következő képlettel: tytY , -ből Y-ba képező lineáris operátor. Ekkor f' ( a ) azonosítható yY elemmel.
Magyarázat: ebben az esetben az Yf' ( a ) lim h0 f ( a+h ) f ( a ) h , f'' ( a ) bY , ugyanis f’ is tekinthető Y függvénynek, x 1 , x 2 , [ f'' ( a ) ] ( x 1 , x 2 ) = [ f'' ( a ) x 1 ] x 2 = ( b x 1 ) x 2 .

A Lagrange középértéktétel többváltozós függvényekre

Legyen X normált tér, Y:= .

Tétel: legyen a,bX,L ( a,b ) := { a+t ( ba ) :t [ 0,1 ] } . Tfh f:X folytonos L ( a,b ) -n és differenciálható int ( L ( a,b ) ) . Ekkor ξint ( L ( a,b ) ) : f ( b ) Y f ( a ) Y = f' ( ξ ) L ( X,Y ) ( ba ) X Y .
Bizonyítás: visszavezetjük az függvényekre. ϕ ( t ) :=a+t ( ba ) ,t [ 0,1 ] . Ekkor ϕ: [ 0,1 ] X , ϕC ( 0,1 ) és itt differenciálható is. ϕ' ( t ) = ( ba ) X , g ( t ) =f ( ϕ ( t ) ) = ( fϕ ) ( t ) ,t [ 0,1 ] , ekkor g: [ 0,1 ] . Mivel fC ( L ( a,b ) ) fϕC [ 0,1 ] , továbbá fϕ differenciálható ( 0,1 ) -n, g' ( t ) = ( fϕ ) ' ( t ) =f' ( ϕ ( t ) ) ϕ' ( t ) L ( , ) , g függvényre alkalmazzuk a Lagrange-féle középérték-tételt: τ ( 0,1 ) :g ( 1 ) g ( 0 ) =g' ( τ ) ( 10 ) , g ( 1 ) =f ( ϕ ( 1 ) ) =f ( b ) , g ( 0 ) =f ( a ) , g' ( τ ) =f' ( ϕ ( τ ) ) ϕ' ( τ ) =f' ( ϕ ( τ ) ) ( ba ) . ξ:=ϕ ( τ ) =a+τ ( ba ) .
Kérdés: mi a helyzet akkor, ha Y . Egyszerű példa: X:= , Y:= 2 . Ebben az esetben a fenti állítás általában nem igaz. f= ( f 1 , f 2 ) : 2 , f 1 ( t ) :=sint , t [ 0,2π ] , f 2 ( t ) :=cost . Ekkor f ( 0 ) =f ( 2π ) = ( 0 1 ) , f' ( τ ) = ( cosτ sinτ ) , ( 0 0 ) =f ( 2π ) f ( 0 ) =f' ( τ ) 2π0 ( 0=a , 2π=b ).

Tétel: legyenek X, Y normált terek, f:X Y , a,bX , fC [ L ( a,b ) ] és f differenciálható int ( L ( a,b ) ) . Ekkor f( b )f( a ) sup ξL( a,b ) f'( ξ )( ba ) . Ez a Lagrange egyenlőtlenség.

12.09

Alkalmazás

Állítás: legyenek X, Y normált terek, ΩX tartomány (azaz nyílt és összefüggő) Ω nyílt és bármely két pontja összeköthető egy Ω -ban haladó törött vonallal. Tfh f:ΩY és f differenciálható Ω minden pontjában és f' ( x ) =0,xΩf állandó.
Bizonyítás
: legyen x 1 Ω, x 2 Ω tetszőleges. Belátjuk, hogy f ( x 1 ) =f ( x 2 ) Y . Kössük össze az x 1 és x 2 pontokat egy Ω -ban haladó törött vonallal! A töréspontok legyenek x 1 , ξ 1 , ξ 2 ,..., ξ k , x 2 . Először alkalmazzuk a Lagrange-egyenlőtlenséget L ( x 1 , ξ 1 ) -re! f( ξ 1 )f( x 1 ) sup η 1 L( x 1 , ξ 1 ) f'( η 1 )( ξ 1 x 1 ) =0f( ξ 1 )=f( x 1 ) . Alkalmazva L ( ξ 1 , ξ 2 ) -re, L ( ξ 2 , ξ 3 ) -ra,…, L ( ξ k , x 2 ) -re, kapjuk, hogy f ( ξ 1 ) =f ( ξ 2 ) ,f ( ξ 2 ) =f ( ξ 3 ) ,...,f ( ξ k ) =f ( x 2 ) f ( x 1 ) =f ( x 2 ) .

Függvénysorok és sorozatok integrálása és deriválása

Legyenek f k : [ a,b ] , egyszerűség kedvéért folytonos függvények, k . Tfh x [ a,b ] esetén lim k f k ( x ) =f ( x ) . Ekkor mondtuk, hogy ( f k ) függvény sorozat pontonként tart egy f függvényhez.
Kérdés: ebből következik-e, hogy lim k a b f k ( x ) dx = a b f ( x ) dx ? Általában nem. Pl.: f k ( x ) := { x/ ( 1/2k )  ha 0 x1/2k x/ ( 1/2k ) +2k  ha  1/2k<x1/k 0  egyébként

Tétel: egy f k : [ a,b ] , f k C [ a,b ] és ( f k ) f egyenletesen ( fC [ a,b ] ). Ekkor lim k a b f k ( x ) dx = a b f ( x ) dx .
Bizonyítás
: lim k | a b f k ( x ) dx a b f ( x ) dx | =0 ezt kellene belátni. | a b f k ( x ) dx a b f ( x ) dx | = | a b [ f k ( x ) f ( x ) ] dx | a b | f k ( x ) f ( x ) | dx . Mivel ( f k ) f egyenletesen ε>0 k 0 :k> k 0 | f k ( x ) f ( x ) | <ε,x [ a,b ] . Így a b | f k ( x ) f ( x ) | dx<ε ( ba ) , ebből következik a tétel állítása.

Tétel: legyen g j : [ a,b ] , g j C [ a,b ] , j=1 g j =f sor egyenletesen konvergens (vagyis ha a részletösszegek sorozata egyenletesen konvergál f-hez, ekkor amúgy f folytonos) j=1 a b g j ( x ) dx = a b f ( x ) dx .

Tétel: tfh f k : ( a,b ) függvény folytonosan differenciálható, továbbá ( f k ' ) g egyenletesen ( a,b ) -n, továbbá egy alkalmas c ( a,b ) helyre lim k f k ( c ) =α véges. Ebből következik, hogy ( f k ) f egyenletesen ( a,b ) -n, f folytonosan differenciálható és f' ( x ) = lim k [ f k ' ( x ) ] .
Bizonyítás
: alkalmazzuk a Newton-Leibniz formulát az f k folytonosan differenciálható függvényekre, x ( a,b ) rögzített. f k ( x ) f k ( c ) = c x f k ' ( t ) dt f k ( x ) = c x f k ' ( t ) dt + f k ( c ) c x g ( t ) dt +α , mert f k ' ( t ) g ( t ) egyenletesen, t [ x,c ] vagy t [ c,x ] . Továbbá f k egyenletesen tart [ c x g ( t ) dt+α ] f ( x ) -hoz, ugyanis | f k ( x ) f ( x ) | = | [ c x f k ' ( t ) dt + f k ( c ) ] [ c x g ( t ) dt+α ] | | c x ( f k ' ( t ) g ( t ) ) dt | + | f k ( c ) α | <ε  ha  k> k 0 | xc | sup( | f k '( t )g( t ) | ) <ε ha k> k 1 +ε( ba )ε+ε és kmax { k 0 , k 1 } ( f k ) f egyenletesen ( a,b ) -n. Kellett, hogy ( ba ) véges legyen! f ( x ) = c x g ( t ) dt +αf' ( x ) =g ( x ) ,x ( a,b ) .

Tétel: tfh ϕ j : ( a,b ) folytonosan differenciálható. j=1 ϕ j ' =g egyenletesen konvergens ( a,b ) -n, továbbá c ( a,b ) : j=1 ϕ j ( c ) =α véges. Ekkor j=1 ϕ j egyenletesen konvergens ( a,b ) -n, f:= j=1 ϕ j függvény differenciálható ( a,b ) -n és f' ( x ) = j=1 ϕ j ' ( x ) ,x ( a,b ) .
Bizonyítás: f k = j=1 k ϕ j

Cauchy-féle középérték Tétel: tfh f,g: [ a,b ] , folytonosak, ( a,b ) -n differenciálhatóak és g' ( x ) 0,x ( a,b ) . Ekkor ξ ( a,b ) : f ( b ) f ( a ) g ( b ) g ( a ) = f' ( ξ ) g' ( ξ ) . (Ha g ( x ) =x , akkor ez a Lagrange középérték tétel)
Bizonyítás: g ( b ) g ( a ) 0 , ugyanis ha g ( b ) g ( a ) =0 lenne, akkor a Rolle tétel szerint g függvényre η ( a,b ) :g' ( η ) =0 . Legyen F ( x ) :=f ( x ) f ( b ) f ( a ) g ( b ) g ( a ) [ g ( x ) g ( a ) ] . Ekkor F folytonos [ a,b ] -n és differenciálható ( a,b ) -n, F ( a ) =f ( a ) , F ( b ) =f ( b ) f ( b ) f ( a ) g ( b ) g ( a ) [ g ( b ) g ( a ) ] =f ( a ) . F ( a ) =F ( b ) Rolle tétel segítségével ξ ( a,b ) :F' ( ξ ) =0 , azaz 0=F' ( ξ ) =f' ( ξ ) f ( b ) f ( a ) g ( b ) g ( a ) g' ( ξ ) .

L’ Hôpital szabály
Tétel (alapeset): tfh f, g értelmezve van és differenciálható a egy környezetében (a-ban nem is kell), továbbá lim xa f ( x ) lim a f=0 és lim b g=0 . Ekkor lim a f g = lim a f' g' , ha létezik ez utóbbi.
Bizonyítás
: értelmezzük az f és g függvényt a-ban! f ( a ) :=0 , g ( a ) :=0 . Ezért f, g folytonosak a egy környezetében és deriválhatók is x kivételével, g' ( x ) 0 . Alkalmazzuk a Cauchy-féle középérték-tételt: a környezetében levő x pont és a által meghatározott intervallumra ξ ( a,b ) : f ( x ) g ( x ) = f ( x ) f ( a ) g ( x ) g ( a ) = f' ( ξ ) g' ( ξ ) xa esetén ξa lim xa f ( x ) g ( x ) = lim ξa f' ( ξ ) g' ( ξ ) , ha ez utóbbi létezik.

Általánosítások: a) a:=± és lim a f=0, lim a g=0 , ekkor is igaz, hogy lim a f g = lim a f' g' , ha ez utóbbi létezik
b) lim a f=± és lim a g=± esetén hasonló állítás.

Hatványsorok integrálása és deriválása

k=0 c k ( xa ) k , a,x ezt nevezzük x-nek a körüli hatványsornak. Ez egy speciális függvénysor. Legyen ennek a konvergencia sugara R! Tudjuk, hogy | xa | <R esetén a hatványsor konvergens x-ben. Azt is tudjuk, hogy δ>0 esetén a hatványsor egyenletesen konvergens [ aR+δ,a+Rδ ] intervallumon.

Tétel: legyen a hatványsor konvergencia sugara R>0 és R . Ekkor egyrészt tetszőleges [ c,d ] ( aR,a+R ) esetén a hatványsor tagonként integrálható, vagyis c d k=0 c k ( xa ) k dx = k=0 c d c k ( xa ) k dx .

Tétel: legyen a hatványsor konvergencia sugara R>0 és R . Ekkor | xa | <R esetén a hatványsor x-ben tagonként deriválható: ( k=0 c k ( xa ) k ) '= k=0 ( c n ( xa ) k ) ' .
Bizonyítás
: alkalmazzuk a függvénysorok tagonkénti deriválásáról szóló tételt! Világos, hogy a hatványsor tagjai folytonosak, akárhányszor differenciálhatóak. Kérdés: mi a tagok deriváltjaiból alkotott hatványsor konvergencia sugara? Látható, hogy ugyanaz. A derivált sor k-adik tagja: c k k ( xa ) k1 , erre ugyanaz a konvergencia sugár adódik. Tehát a deriváltakból álló sor egyenletesen konvergens [ c,d ] -n ha [ c,d ] ( aR,a+R ) , | xa | <R , [ c,d ] -t megválaszthatjuk úgy, hogy x [ c,d ] .

Taylor formula

tfh egy hatványsor konvergencia sugara > 0, f ( x ) = k=0 c k ( xa ) k , | xa | <R>0 . (Definíció szerint itt 0 0 =1 .)
Az előbbiek szerint | xa | <R esetén
f' ( x ) = k=0 c k k ( xa ) k1 f'' ( x ) = k=0 c k k ( k1 ) ( xa ) k2 f ( j ) ( x ) = k=0 c k k ( k1 ) ( k2 ) ... ( kj+1 ) ( xa ) kj
Ekkor f ( j ) ( a ) = c j j ( j1 ) ( j2 ) ...21= c j j! c j = f ( j ) ( a ) j! .

Állítás: ha f ( x ) = k=0 c k ( xa ) k , | xa | <R>0 c k = f ( k ) ( a ) k! . Speciális eset, ha f polinom, azaz f= P N (N-edfokú polinom), vagyis f= k=0 N c k ( xa ) k , ekkor c k = P ( k ) ( a ) k! , más szóval P ( x ) = k=0 N P ( k ) ( a ) k! ( xa ) k .

Taylor formula Lagrange- féle maradéktaggal

Tétel: tfh f függvény N+1-szer differenciálható a egy környezetében. Ebben a környezetben fekvő tetszőleges x pontjára f ( x ) = k=0 N f ( k ) ( a ) k! ( xa ) k + f ( N+1 ) ( ξ ) ( N+1 ) ! ( xa ) N+1 , alkalmasan választott ξ ( x,a ) elemre.
Megjegyzés: N=0 esetén megkapjuk a Lagrange-féle középértéktételt.
Bizonyítás: jelölje g ( x ) :=f ( x ) k=0 N f ( k ) ( a ) k! ( xa ) k =f ( x ) P ( x ) . Ekkor g ( a ) =f ( a ) P ( a ) , de P ( a ) =f ( a ) , így g ( a ) =0 . Továbbá g' ( a ) =f' ( a ) P' ( a ) , node f' ( a ) =P' ( a ) , így g' ( a ) =0 g ( n ) ( a ) = f ( n ) ( a ) P ( n ) ( a ) =0 . Tekintsük: g ( x ) ( xa ) N+1 = g ( x ) g ( a ) ( xa ) N+1 ( aa ) N+1 = g' ( ξ ) ( n+1 ) ( ξ 1 a ) N , felhasználva a Cauchy-féle középérték tételt. További alkalmazása segítségével g ( x ) ( xa ) N+1 = g' ( ξ 1 ) g' ( a ) ( N+1 ) ( ξ 1 a ) N ( N+1 ) ( aa ) N = g'' ( ξ 2 ) ( N+1 ) N ( ξ 2 a ) =...= f ( N+1 ) ( ξ N+1 ) ( N+1 ) ! g ( x ) ( x1 ) N+1 = f ( N+1 ) ( ξ N+1 ) ( N+1 ) !
Következmény: ha f akárhányszor differenciálható a egy környezetében, akkor (ha tudom, hogy ξ ( a,x ) : lim N f ( N+1 ) ( ξ ) ( N+1 ) ! ( xa ) N+1 =0 ξ -ben egyenletesen) f ( x ) = k=0 f ( k ) ( a ) k! ( xa ) k , ez f Taylor sorfejtése. Egyszerű, elegendő (de nem szükséges) feltétel, ha ξ ( a,x ) , | f ( n+1 ) ( ξ ) | egyenletesen korlátos, ugyanis lim n ( xa ) n+1 ( n+1 ) ! =0 .

Definíció: tfh egy f függvény a egy környezetében akárhányszor differenciálható! Ekkor k=0 f ( k ) ( a ) k! ( xa ) k hatványsort az f függvény Taylor sorának nevezünk.
Megjegyzés: lehetséges, hogy f akárhányszor differenciálható, de a Taylor sora az a pont kivételével nem állítja elő a függvényt. pl: f ( x ) = { 0 ha  x=0 e 1 x 2 egyébként . Ennek lim x0 f ( x ) =0, lim x0 f' ( x ) =0... lim x0 f ( k ) ( x ) =0,kf akárhányszor deriválható az a=0 helyen. lim h0 f ( h ) f ( 0 ) h0 =0 , tehát f' ( 0 ) =0,f'' ( 0 ) =0...f Taylor sora 0, pedig f ( x ) >0 ha x0 .