\documentclass[20pt]{article}

\pdfpagewidth 8.5in
\pdfpageheight 11.6in

\setlength{\textwidth}{18.2cm}
\setlength{\textheight}{26cm}
\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\evensidemargin}{-1.cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-1.cm}

\usepackage{amsmath}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[pdftex]{graphicx}

\begin{document}

\begin{center}
\LARGE{\textbf{Folyadékok Belső Súrlódásának Mérése}}
\end{center}
\large
\begin{flushleft}
Mérést végezte: Varga Bonbien \\ Mérőtárs neve: Megyeri Balázs \\  Mérés időpontja: 2008.03.11\\ Jegyzőkönyv Leadásának időpontja: 2008.03.18
\end{flushleft}

\noindent{\textbf{\large{A Mérés célja:}}} \\

Egy folyadék, jelen esetben a glicerin viszkozitási tényezőjének mérése, Höppler-féle viszkoziméterrel valamint a Stokes-féle súrlódási törvény alapján.\\

\noindent\textbf{\large{A Mérőeszközök:}}\\
\begin{itemize}
	\item üveggolyók több méretben
	\item piknométer  
	\item érzékeny mérleg
	\item glicerinnel töltött üveghenger a Stokes méréshez
	\item csavarmikrométer
	\item fémvonalzó
	\item areométer a glicerin sűrűségének méréséhez
  \item Höppler-féle viszkoziméter
\end{itemize} \\

\noindent\textbf{\large{A Mérés rövid leírása:}}\\

Először megmértem az üveggolyók sűrűségéhez szükséges adatokat a piknométerrel. Az üres piknométer $\mu_1$ tömegét mértem először. Ezután beleszórtam az üveggolyókat és így megmértem a $\mu_2$ tömeget, majd vizet töltöttem bele, és így mértem a teljes $\mu_3$ tömeget. Végül, kiszórtam a golyókat, és csak vizet öntöttem bele, majd megmértem az így kapott $\mu_4$ tömeget.\\
A sűrűség mérése után, és a stokes-féle méréshez előkészített, két fajta golyó méretből hármat-hármat vettem ki. Előszedtem a csavarmikrométert, és minden egyes golyónak 3 különböző irányból mértem meg az átmérőjét. Ez összesen 18 átmérő adatot jelent, a 6 golyóra. Az előkészített üveghengeren a fémvonalzóval megmértem a felső és alsó jel közötti távolságot, majd egyesével beleraktam a golyókat. Mikor a golyó odért a felső jelhez, elindítottam a stoppert, és az alsó jelnél megállítottam. A folyadék tulajdonságai miatt elég gyorsan beálltak állandó esési sebességre az üveggolyók, és ezt a fent mért időből és a megtett útból határoztam meg.\\
Ennél a mérésnél fontos, hogy a folyadékrétegek áramlása lamináris legyen, azaz ne legyenek örvények vagyis a folyadékrétegek egymáshoz képest párhuzamosan mozogjanak, hiszen csak ilyen körülmények között érvényes a stokes-féle törvény. A Reynolds számmal tudjuk ellenőrizni a laminaritást. Ha a Reynolds szám egy kritikus értéknél nagyobb akkor már nem beszélhetünk lamináris áramlásról, és így a Stokes törvény elveszíti érvényességét.\\

Az üveghengerben levő glicerin sűrűségét, a rendelkezésre álló areométerrel mértem meg. A mérőeszközön hőmérő is volt és így azt is mérni tudtam. Ez azért fontos mert a glicerin sűrűsége erősen függ a hőmérséklettől.\\

Ezek után a Höppler-féle módszerrel mértem. Az eszköz egy nagy üveghengerből állt, melyben az általunk viszgált folyadék volt. A hengerben, annak átmérőjável csaknem azonos átmérőjű fémgolyó állt. Csak megmértem, hogy az üveghengerben lévő golyó mennyi idő alatt halad át a két jel között. És a megadott összefüggésekből kiszámoltam a viszkozitást.\\
A korábban említett Reynolds szám kiszámításhoz ismernünk kell a folyadék viszkozitását. Ehhez a Höppler módszer során kapott viszkozitás értéket használtam.\\

\noindent\textbf{\large{Mérési adatok:}}\\

Az üveggolyók sűrűsége a mérési leírás szerint:

$$\rho_g = \rho_v\dfrac{\mu_2 -\mu_1}{\mu_4-\mu_1-\mu_3+\mu_2}$$

itt $\rho_v$ a piknométerbe öntött desztillált víz sűrűsége, melyet most $1000kg/m^3$ nagyságúnak veszünk.

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\multicolumn{5}{c}{üveggolyók sűrűsége}\\\hline
 $\mu_1$ (g)& $\mu_2$ (g)&$\mu_3$ (g) &$\mu_4$ (g) & $\rho_g$ (kg/$m^3$)\\\hline
 27&74&128&102&2238\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}

A glicerin $\rho_f$ sűrűsége és $T$ hőmérséklete az areométer alapján:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|}\multicolumn{2}{c}{glicerin sűrűsége}\\\hline
  $T$ ($^{°} C$) & $\rho_f$ (kg/$m^3$)\\\hline
 23&1224\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}

A Höppler-féle viszkoziméterben a viszkozitás megadható egy empirikus formulával. Ez pedig a következő:
$$\eta = K(\rho_{gh}-\rho_f)t$$
Ahol $K$ a golyóállandó. Értéke az összeállításra : $K= 0,13 \frac{mPa\cdot cm^3}{g}= 1,3\cdot 10^{-7}\frac{Pa\cdot m^3}{kg}$, $\rho_{gh}$ a golyó sűrűsége, értéke: $\rho_{gh}=8100\frac{kg}{m^3}$. $t$ az esési idő, és $\rho_f$ a glicerin sűrűsége.

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|}\multicolumn{2}{c}{viszkozitás a Höppler módszer alapján}\\\hline
  $t$ (s) & $\eta$ ($Pa\cdot s$)\\\hline
 120,05&0,107\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}

Most térjünk rá a Stokes mérés során a következő összefüggést használtuk a viszkozitás megállapítására:
$$\eta = \dfrac29 \dfrac{(\rho_g -\rho_f)r^2g}{v}$$
Ahol, $\rho_g$ a golyók sűrűsége, $rho_f$ a glicerin sűrűsége, $r$ a golyók sugara, $v$ pedig a golyók állandósult sebessége.\\
Ezt a sebességet, úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk, a jelek közti $d=24.2cm = 0,242m$ megtett utat, a $t$ esési idővel. a $g$ értékét $9,81 m/s^2$-nek veszem.\\ 
A golyók $r$ közepes sugarát, a mért átmérők átlagából határozom meg.\\
Megadom a Reynolds számot is az egyes esetekben. A Reynolds szám alatt a következőt értjük:
$$\text{Re}=\dfrac{\rho_f r v}{\eta}$$ 
Az áramlás akkor tekinthető laminárisnak hogy ha $\text{Re} < 0,1$.
Ahhoz, hogy ezt kiszámítsuk, ismernünk kell a viszkozitási együtthatót. Ezt a Höppler mérés során nyert értékkel teszem.

\pagebreak

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\multicolumn{8}{c}{Stokes mérés adatai}\\\hline
 $t$ (s)&1.átmérő(mm)&2.átmérő(mm)&3.átmérő(mm)& $r$(mm) &$v$ (m/s)& $\eta$ (Pa $\cdot$ s)& Re szám\\\hline
 2,42&5,18&5,17&5,12&2,578&0,1&0,147&2,949\\\hline
 2,8&4,95&4,91&4,89&2,458&0,086&0,155&1,418\\\hline
 2,53&5,04&5,07&5,09&2,533&0,095&0,149&2,752\\\hline
 27,5&1,19&1,2&1,22&0,602&0,0088&0,091&0,0606\\\hline
 27,02&1,35&1,32&1,31&0,663&0,0089&0,109&0,0675\\\hline
 27,76&1,21&1,19&1,23&0,605&0,0087&0,093&0,0602\\\hline
 \end{tabular}  
\end{center}

.\\

\noindent\textbf{\large{A Mérési adatok kiértékelése:}}\\

Az egyes golyók esetére, láthatóan kiszámoltuk a Reynolds számokat. Azt kaptuk, hogy az első fajta golyóknál, azaz a nagy golyóknál a Reynolds szám nagyobb a stokes törvény érvényéssegi határához tartozó kritikus $0,1$ értéknél.\\
Tehát a nagy golyók esetében nem számolhatunk a stokes törvénnyel, mivel az nem érvényes olyankor.\\

A három kisebb golyónál viszont azt látjuk, hogy Reynolds szám kisebb a kritikus $0,1$ értéknél, így ott már alkalmazhatjuk a stokes törvényt.\\ 


\noindent\textbf{Hibaszámítás:}\\ 

végezzük el a hibaszámítást a stokes féle mérésre. A leírás szerint, a sűrűségadatok hibáit hanyagoljuk el.\\
A stokes módszerben a viszkozitási együtthatót így írhatjuk:

$$\eta = \dfrac29 \dfrac{(\rho_g -\rho_f)r^2g}{v}= \dfrac29(\rho_g -\rho_f)g\cdot\dfrac{ r^2t}{d}$$

\noindent itt $d$ a megtett útja a golyónak az üveghengerben.\\

Ebből a képletből, mi az $r$, $t$, és $d$ mennyiségeket mértük, tehát ezeknek lehet hibája.(A sűrűségmérés hibáját mint már említettem elhanyagoljuk.). Az $\eta$ viszkozitási együttható ezektől a mennyiségektől, az alábbi módon függ:

$$\eta \sim \dfrac{r^2\cdot t}{d}$$

Tehát az $\eta$ relatív hibája, a honlapon található elméleti részben írottak alapján:

$$\dfrac{\Delta\eta}{\eta} = 2\cdot\dfrac{\Delta r}{r}+\dfrac{\Delta t}{t}+\dfrac{\Delta d}{d}$$

Mivel az átmérők mérése egyszerű mérés, ezért a kövekezőképpen értjük, a $\Delta r$ abszolút hibáját:

$$\Delta r = 3\cdot \sqrt{\dfrac{\sum_{k=1}^3(r_k-\bar{r})^2}{3}}$$

Az időt csak egyszer kellett mérni minden golyónál. Ezért annak hibájára, az emberi reflexidőt veszem. Ez kb. $0,15$s, tehát indítással és megállítással összesen: $\Delta t = 0,3$s\\

A megtett $d$ út abszolút hibáját: $|\Delta d| =  2$mm-re becsülöm.

Tehát ezekkel az egyes mérésekhoz tartozó relatív, és abszolút hibák:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\multicolumn{7}{c}{A viszkozitás hibája a Stokes mérésnél}\\\hline
 golyók&1&2&3&4&5&6\\\hline
 $\eta$(Pa $\cdot$ s)& 0,147&0,155&0,149&0,091&0,109&0,093\\\hline
 $\Delta \eta/\eta$ &0,163&0,146&0,151&0,081&0,096&0,100 \\\hline
 $\Delta \eta$&0,024&0,023&0,022&0,007&0,010&0,009\\\hline
 \end{tabular}
\end{center} 


\noindent\textbf{Diszkusszió:}\\

A mérések során kimért viszkozitás értékek, láthatóan mintegy tized részei az egyes szakirodalomban találhatóaknak. De megállapíthatjuk, hogy az egyes mérések biztosan nem okozhatnak ekkora hibát. Ezt az eltérést, az okozza, hogy általában a szakirodalomban a tiszta 100\%-os glicerin adatai vannak megadva, $20^{\circ}$C-os hőmérsékleten.\\
De azt tudjuk a kémia óráról, hogy a glicerin igen jól megköti a vizet, és legtöbbször nem tisztán találkozunk vele. Továbbá, a glicerin viszkozitása, nagyon erősen függ a víztartalmától, és a hőmérséklettől is.\\
Ezek miatt elkezdtem keresni az interneten részletes viszkozitás táblázatot, és az alábbi oldalon találtam:\\
http://www.kayelaby.npl.co.uk/general\_physics/2\_2/2\_2\_3.html \\

Láthatjuk,hogy 23$^{\circ}$C-on 90tömeg\%-os glicerin esetén, az általunk mért eredmények a mérési hibán belül vannak.

A fenti oldalon található adatokat is használva, a következő táblázatban foglalhatjuk össze a mért eredményeket:
A szakirodalmi adatok 20-30$^{\circ}$C-ra, és 80-95tömeg\%-os glicerinre vonatkoznak.

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\multicolumn{9}{c}{Eredménytáblázat}\\\hline
  &\multicolumn{6}{c}{stokes mérés}\vline&Höppler mérés&szakirodalom\\\hline
  $\eta$ (Pa $\cdot$ s)&0,147&0,155&0,149&0,091&0,109&0,093&0,107&0,033$\dots$0,521\\\hline
  $\Delta \eta$ (Pa $\cdot$ s)&0,024&0,023&0,022&0,007&0,010&0,009&&\\\hline
  Re szám&2,949&1,428&2,752&0,061&0,067&0,060&&\\\hline
 \end{tabular}
\end{center}
  

\end{document}